高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修一）第18講311函數(shù)及其表示方法

3.1.1函數(shù)及其表示方法TOC\o"13"\h\z\u題型1區(qū)間的表示 ③圖像法∶函數(shù)圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長(zhǎng)的平滑曲線，也可能是一些點(diǎn)、一些線段、一段曲線等，但不是任何一個(gè)圖形都是函數(shù)圖象.注意：函數(shù)的圖像：將函數(shù)y=f（x），x∈A中的自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(diǎn)（x，y）組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A}.知識(shí)點(diǎn)三.分段函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù).知識(shí)點(diǎn)四.同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同（即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等），則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù).知識(shí)點(diǎn)五.區(qū)間及相關(guān)概念（1）一般區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí)，包含端點(diǎn)的那一端用中括號(hào)表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號(hào)表示.定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．（3）特殊區(qū)間的表示定義符號(hào)數(shù)軸表示≥≤題型1區(qū)間的表示【例題1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）用區(qū)間表示下列數(shù)集：(1){x|x≥?1}；(2){x|x<0}；(3){x|?1<x<1}；(4)R；(5){x|?1≤x<0}；(6){x|0<x<1?或2≤x≤4}【答案】(1)[?1,+∞(2)(?∞(3)(?1,1)；(4)(?∞(5)[?1,0)；(6)0,1∪【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)所給集合，寫出對(duì)應(yīng)數(shù)集的區(qū)間形式.【詳解】（1）{x|x≥?1}=?1,+（2）{x|x<0}=?（3）{x|?1<x<1}=?1,1（4）R=（5）{x|?1≤x<0}=?1,0（6）{x|0<x<1?或2≤x≤4}=【變式11】1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知區(qū)間[2a?1,11]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(?∞,6) C．(1,6) D．(?1,6)【答案】A【分析】由區(qū)間的定義列式即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，2a?1<11，解得a<6.故選：A.【變式11】2.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知區(qū)間(a+1,7]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】(?【分析】根據(jù)區(qū)間的含義，列不等式即可得答案.【詳解】由題意可知a+1<7，即a?6<0，解得a<6，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞故答案為：(?【變式11】3.（2022秋·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習(xí)）不等式x2+1x【答案】(?【分析】分式不等式先轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的整式不等式，然后再用數(shù)軸穿根法解.【詳解】原式等價(jià)于x等價(jià)于2x+2數(shù)軸穿根法易得：x∈(?∞故答案為：(?【變式11】4.（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.（Cantor）”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0,1]均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段13,2A．29,13 B．227,【答案】C【分析】根據(jù)題意依次寫出即可.【詳解】第一次操作剩下：0,1第二次操作剩下：0,1第三次操作剩下：0,1即從左到右第四個(gè)區(qū)間為827故選：C.題型2函數(shù)概念◆類型1函數(shù)定義的理解【例題21】（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列說法：①函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)；②函數(shù)的定義域和值域一定都是無限集；③若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域中也只有一個(gè)元素；④對(duì)于任意的一個(gè)函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同；⑤fa表示當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f其中說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用函數(shù)的定義域和值域定義判斷①②③的真假，利用函數(shù)值的定義判斷④⑤的真假.【詳解】解：函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的一個(gè)或多個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故①不正確；函數(shù)的定義域和值域不一定都是無限集，故②不正確；根據(jù)函數(shù)的定義，可知③正確；對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，如果x不同，那么y的值可能相同，也可能不同，故④不正確；由函數(shù)值的定義，可知⑤正確.故選：B．【變式21】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某校有一班級(jí)，設(shè)變量x是該班同學(xué)的姓名，變量y是該班同學(xué)的學(xué)號(hào)，變量z是該班同學(xué)的身高，變量w是該班同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．y是x的函數(shù) B．w是y的函數(shù)C．w是z的函數(shù) D．w是x的函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】對(duì)于AD，由于同學(xué)姓名非數(shù)字，故AD錯(cuò)誤；對(duì)于B，任意一個(gè)學(xué)號(hào)都對(duì)應(yīng)一位確定的同學(xué)，則該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)也是唯一確定的，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)班級(jí)中有兩位身高相同的同學(xué)，則這個(gè)身高可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，故C錯(cuò)誤；故選：B.【變式21】2.（2022秋·黑龍江雞西·高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)于函數(shù)f:A→B，若a∈A，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）①f②fa③若fa=f④若a=b，則fA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的基本概念判斷即可.【詳解】解：對(duì)于函數(shù)f:A→B，若a∈A，b∈A，則根據(jù)函數(shù)的定義可得fa∈B，且故有若a=b，有fa=fb若fa=fb，則不一定a=b，如fx=x2故說法正確的個(gè)數(shù)為3.故選：B.【變式21】3.(多選)（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的說法正確的是（

）A．y是x的函數(shù) B．x是y的函數(shù)C．對(duì)于不同的x，y也不同 D．f(a)表示x=a時(shí)，f(x)的函數(shù)值是一個(gè)常數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可得A、D正確，取函數(shù)y=x2，取y=1，x=±1，x不是根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于不同的x，y可以相同，例如f(x)=1，故C錯(cuò)誤.故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，注意在函數(shù)f:A→B的定義中，要求對(duì)A中的任意一個(gè)元素，在集合B中存在唯一個(gè)元素按對(duì)應(yīng)法則與前者對(duì)應(yīng)，本題屬于基礎(chǔ)題．【變式21】4.（多選）（2022秋·湖北黃石·高一?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)u=t2，t∈(?∞?，B．直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)C．滿足“值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同”的函數(shù)組不存在D．滿足“定義域相同，值域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同”的函數(shù)有無數(shù)個(gè)【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，以及函數(shù)的三個(gè)要素：定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A;函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域相同，故為同一個(gè)函數(shù)，A正確，對(duì)于B;根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)任意的自變量x,都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，故直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，B正確，對(duì)于C；如fx=x對(duì)于D；例如對(duì)任意的一次函數(shù)y=kx+b,k≠0，定義域值域均為R,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故D正確，故選：ABD【變式21】5.（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．依賴關(guān)系不一定是函數(shù)關(guān)系B．函數(shù)關(guān)系是依賴關(guān)系C．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n也是變量m的函數(shù)D．如果變量m是變量n的函數(shù)，那么變量n不一定是變量m的函數(shù)【答案】ABD【分析】由已知條件結(jié)合函數(shù)關(guān)系和依賴關(guān)系的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A、B選項(xiàng)：由依賴關(guān)系及函數(shù)關(guān)系的定義知A、B正確；對(duì)于C、D選項(xiàng)：如m=n2，則故選：ABD.◆類型2已知對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷函數(shù)【例題22】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：(1)x→2x，x≠0，(2)x→y，這里y2=x，x∈N，(3)當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x→1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，x→0.【答案】(1)是函數(shù)(2)不是函數(shù)(3)是函數(shù)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義這個(gè)函數(shù)可以表示為f(x)=2x(（2）利用函數(shù)定義及特殊值進(jìn)行判斷；（3）可以表示為y=1,【詳解】（1）對(duì)于任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x，2x由x唯一確定，所以當(dāng)x≠0時(shí)x→2x是函數(shù)，這個(gè)函數(shù)也可以表示為f(x)=（2）考慮輸入值為4，即當(dāng)x=4時(shí)輸出值y由y2=4給出，得y=2和y=?2.這里一個(gè)輸入值與兩個(gè)輸出值對(duì)應(yīng)，所以，x→y（y（3）由題意知，對(duì)于任意的有理數(shù)x，總有唯一的元素1與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于任意的無理數(shù)x，總有唯一的元素0與之對(duì)應(yīng)，.因此，根據(jù)函數(shù)的定義，可知這個(gè)對(duì)應(yīng)是函數(shù)，可以表示為y=1,所以（1）是函數(shù)；（2）不是函數(shù)；（3）是函數(shù).【變式22】1.（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合A到集合B的函數(shù)的為（

）A．A=R，B=yy>0，fB．A=Z，B=Z，f：x→y=C．A=x?1≤x≤1，B=0，D．A=1,2,3，B=

【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】A不是，集合A中的元素0在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的元素．B是，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)整數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)C是，對(duì)于集合A中任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=0，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0和它對(duì)應(yīng)．D不是，集合A中的元素3在集合B中沒有對(duì)應(yīng)的元素，且A中的元素2在集合B中有5和6兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．故選：BC.【變式22】2.（多選）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（）A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：開平方B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：x012y121C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，對(duì)應(yīng)關(guān)系：

D．A＝R，B＝{1，0}，?x∈A，y∈B，對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為1，當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為0【答案】AC【分析】利用函數(shù)的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即得.【詳解】對(duì)于A，集合A中的元素1開平方與集合B中的－1和1對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性，對(duì)于C，同樣不滿足唯一性，故A和C錯(cuò)誤；對(duì)于B和D，都滿足函數(shù)概念，故正確.故選：AC【變式22】3.（多選）（2021·高一課時(shí)練習(xí)）下列從集合M到集合N的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，對(duì)應(yīng)關(guān)系f是集合M上的一個(gè)函數(shù)的是（

）A．M=xx∈Z，N=B．M=xx>0,x∈R，N=C．M=xx∈R，N=D．M=xx∈R，N=【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義作出判斷即可.【詳解】對(duì)于A，M中的每個(gè)元素在N中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，f是M上的一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，M中的每個(gè)元素在N中都有兩個(gè)不同的元素與之對(duì)應(yīng)，f不是M上的一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，M中的每個(gè)元素在N中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，f是M上的一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，M中的元素0在N中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，f不是M上的一個(gè)函數(shù).故選：AC．【變式22】4.（2023秋·高一單元測(cè)試）下列對(duì)應(yīng)或關(guān)系式中是A到B的函數(shù)的序號(hào)為．①A=B=0,1，x②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖：

③A=R,B=R,④A=Z,B=Z【答案】①②【分析】利用函數(shù)的概念即可求解.【詳解】①A=B=0,1，x②A中每一個(gè)元素在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，符合函數(shù)的定義，是A到B的函數(shù)；③A=R,B=R,④A=Z,B=Z,f:x→y=故答案為：①②【變式22】5.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知A=x1≤x≤2，B=y1≤y≤4，下列對(duì)應(yīng)法則不可以作為從A．f:x→y=2x B．f:x→y=C．f:x→y=1x 【答案】C【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)法則中y的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y=2x∈2,4，且2,4?B，A中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從A到對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y=x2∈1,4，且B=1,4對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y=1x∈12,1，且對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，?3≤x?4≤?2，則y=x?4∈2,3D中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從A到B的函數(shù).故選：C.【變式22】6.（2022秋·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高?？计谥校┮阎螾=x|0≤x≤4，Q=A．f:x→y=12x B．f:x→y=13x【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可得出答案.【詳解】集合P=x|0≤x≤4，集合Q=f：x→y=12x，∵若0≤x≤4f：x→y=13x，∵若0≤x≤4f：x→y=23x，∵若x=4f：x→y=18x2，∵若故選:C.◆類型3已知解析式判斷函數(shù)【例題23】（2022秋·河北石家莊·高一?？计谥校┫铝兴膫€(gè)式子中，y是x函數(shù)的是（

）A．y2=x B．y=C．y=x2,x≤0?【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，依次判斷選項(xiàng)，即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，y2=x，定義域?yàn)槎x域內(nèi)每個(gè)值按對(duì)應(yīng)法則不是唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，y=x?2定義域?yàn)閤?2≥01?x>0所以不是函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，y=x2,x≤0對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)值都有唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)，C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，y=當(dāng)x=1時(shí)，y有兩個(gè)值0，1與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C.【變式23】1.（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列等量關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（）A．x2+y2=1 B．|y|=x【答案】C【分析】利用函數(shù)定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝±1，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝±1，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，滿足函數(shù)的定義，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝±2，不符合函數(shù)的定義，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.【變式23】2.（2022·高一單元測(cè)試）下列表示y關(guān)于x的函數(shù)的是（

）A．y=B．yC．y=D．x1234y00－611【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，逐一判斷選項(xiàng)的正誤即可【詳解】對(duì)于A，由x?4≥03?x≥0，解得x∈?，所以y不是x對(duì)于B，當(dāng)x>0時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)；對(duì)于C，當(dāng)x=1時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)；對(duì)于D，滿足y是x的的函數(shù).故選：D.【變式23】3.（多選）（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一鐵路一中?？计谥校┫铝凶兞縳與y的關(guān)系式中，能構(gòu)成y是x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．x?y=1 B．x?2y2=1 C．x【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷.【詳解】選項(xiàng)A可化為y=x?1，對(duì)實(shí)數(shù)集中任一x只有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，能構(gòu)成y是x的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)B，對(duì)一個(gè)正數(shù)x有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不能構(gòu)成y是x的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C可化為y=x2?1，對(duì)實(shí)數(shù)集中任一x選項(xiàng)D可化為y=12(x?1)，對(duì)[0,+故選：ACD．【變式23】4.（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于x、y的關(guān)系中，y可以表示為x的函數(shù)關(guān)系式的有（

）A．x2+yC．y=|x+2| D．y【答案】CD【分析】利用函數(shù)的定義直接判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)關(guān)系中任意一個(gè)x都有唯一的y對(duì)應(yīng)，可看出：選項(xiàng)A，B的關(guān)于x、y的關(guān)系式中一個(gè)x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C，D中的任意一個(gè)x都有唯一的y對(duì)應(yīng)，能構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.故選：CD【變式23】5．（多選）（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有（

）A．fx?2=x C．f1x2【答案】BD【分析】利用換元法結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)A：令t=x?2，則x=t+2或x=?t+2∴對(duì)于自變量t對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值x=t+2、x=?t+2，A錯(cuò)誤；對(duì)B：令t=x+1，則x=t?1，f∴對(duì)于自變量t對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值t2對(duì)C：令t=1x2，則x=∴對(duì)于自變量t對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值tt、?對(duì)D：令t=x2+2x則x+1=t+1，即∴對(duì)于自變量t對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值t+1，D正確；故選：BD.◆類型4函數(shù)圖像的判斷【例題24】（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進(jìn)行分析判斷即可得解..【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)x只有一個(gè)y和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.故選：ABD.【變式24】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列曲線能作為函數(shù)圖像的是．（寫出所有滿足要求的圖像序號(hào)）【答案】①【分析】根據(jù)函數(shù)的概念可得答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的概念，垂直于x軸的直線與函數(shù)的圖象最多一個(gè)公共點(diǎn)，在②③中，直線x=0與圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，而①符合題意，所以滿足的只有①.故答案為：①【變式24】2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合A=x0≤x≤4，集合A． B．C． D．【答案】D【分析】存在點(diǎn)使一個(gè)x與兩個(gè)y對(duì)應(yīng)，A錯(cuò)誤；當(dāng)2<x≤4時(shí)，沒有與之對(duì)應(yīng)的y，B錯(cuò)誤；y的范圍超出了集合B的范圍，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：存在點(diǎn)使一個(gè)x與兩個(gè)y對(duì)應(yīng)，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)2<x≤4時(shí)，沒有與之對(duì)應(yīng)的y，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)C：y的范圍超出了集合B的范圍，不符合，排除；對(duì)選項(xiàng)D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D【變式24】3.(多選)（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合M=x?2≤x≤2，集合N=y0≤y≤2，下列能表示從集合A．

B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：顯然當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，在集合N中，沒有與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故不表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)x∈[?2,2]時(shí)，任意一個(gè)x，在集合N中，都有唯一與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然當(dāng)x=0時(shí)，在集合N中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故不表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)x∈[?2,2]時(shí)，任意一個(gè)x，在集合N中，都有唯一與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)符合題意，故選：BD【變式24】4.（多選）（2023秋·陜西西安·高一校聯(lián)考期末）設(shè)集合P=x∣0≤x≤4,Q=y∣0≤y≤4，則下列圖象能表示集合PA． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，明確圖象中的函數(shù)關(guān)系以及定義域和值域，逐一判別，可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，其定義域是0,2，不是P，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，其定義域是0,4=P，值域0,2對(duì)于C選項(xiàng)，其與函數(shù)定義相矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，其定義域是0,4=P，顯然值域包含于集合Q故選：BD.題型3函數(shù)求值【例題31】（2023秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求f2(2)求fx【答案】(1)f2=(2)?【分析】（1）將自變量的值代入函數(shù)解析式即可得解；（2）根據(jù)分式不等式的解法計(jì)算即可.【詳解】（1）由fx得f2=3（2）fx>0，即所以x+1x+2>0，解得x>?1或所以fx>0【變式31】1.（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的函數(shù)值：(1)已知fx=3x?2，求(2)已知fx=x2?1,x≥0,(3)已知fx=x2?3x+2，g【答案】(1)?5(2)?3；0(3)0；3【分析】（1）先求出f(13)（2）根據(jù)自變量范圍代入f(x)即可；（3）先求出g(2)，即可求出f(g(2))，同理可得gf【詳解】（1）∵fx∴f(1∴ff（2）∵?5<0，∴f(?5)=?5+2=?3，∵?1<0，∴f(?1)=?1+2=1，∴f(f(?1))=f(1)=1（3）∵g(2)=?2+3=1，∴f(g(2))=f(1)=1∵f(2)=2∴g(f(2))=g(0)=?0+3=3.【變式31】2.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx=x+1和(1)f2(2)fa(3)ff【答案】(1)12；(2)1；(3)3.【分析】（1）（2）（3）利用給定的函數(shù)式，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）函數(shù)fx=x+1，所以f（2）函數(shù)fx=x+1，所以f（3）函數(shù)fx=x+1，則f0所以ff【變式31】3.（2022秋·浙江杭州·高一杭州市西湖高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)求f?2【答案】(1)?(2)?【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的具體形式求函數(shù)的定義域；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，代入數(shù)值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域需滿足x2?4≥0x?3≠0，解得：x≥2或x≤?2所以函數(shù)的定義域?yàn)?∞（2）f?2=0+1所以f?2【變式31】4.（2022秋·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谥校┑聡?guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)，”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)對(duì)應(yīng)的法則是公式、圖象，表格或是其它形式．已知函數(shù)fx由下表給出，則f(2022f(xx≤11<x<2x≥2y123A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出f(1【詳解】∵12≤1，∴∴2022f1則f2022f故選：D.【變式31】5.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=3?x2(1)求f(3)，f(4)，f(g(3))及f(g(4))的值.(2)求f(g(x))，并證明f(x)+f(g(x))為常數(shù).【答案】(1)f(3)=?35，f(4)=?1317(2)f(g(x))=3【分析】（1）直接代入計(jì)算即可；（2）計(jì)算f(g(x))=3x2【詳解】（1）f(3)=3?f(4)=3?f(g(3))=f1f(g(4))=f1（2）因?yàn)閒(x)=3?f(g(x))=f1所以f(x)+f(g(x))=3?題型4函數(shù)個(gè)數(shù)的判斷【例題4】（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c}，f:A→B為集合到集合B的一個(gè)函數(shù)，那么該函數(shù)的值域C的不同情況有A．7種 B．4種 C．8種 D．12種【答案】A【分析】值域C只可能是集合B的真子集，求出B的真子集的個(gè)數(shù)即可．【詳解】值域C可能為：只含有一個(gè)元素時(shí)，{a}，，{c}3種；有兩個(gè)元素時(shí)，{a，b}，{a，c}，{b，c}3種；有三個(gè)元素時(shí)，{a，b，c}1種；∴值域C的不同情況有3+3+1=7種．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義的應(yīng)用問題，也考查了集合的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．【變式41】1.（2021秋·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合A=1，2，B=a，b，c，f:A→B為集合A到A．2 B．3 C．6 D．7【答案】C【分析】定義域相同時(shí)，函數(shù)不同其值域必不同，故本題求函數(shù)值域C的不同情況的問題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)有多少種不同情況，根據(jù)函數(shù)的定義，按函數(shù)對(duì)應(yīng)的方式分為一對(duì)一，二對(duì)一，兩類進(jìn)行研究．【詳解】由函數(shù)的定義知，此函數(shù)可以分為二類來進(jìn)行研究若函數(shù)對(duì)應(yīng)方式是二對(duì)一的對(duì)應(yīng)，則值域?yàn)閧a}、、{c}三種情況若函數(shù)是一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，{a，b}、{b，c}、{a，c}三種情況綜上知，函數(shù)的值域C的不同情況有6種故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了映射的定義及函數(shù)的概念，函數(shù)的定義，由于函數(shù)是一個(gè)一對(duì)一或者是多對(duì)一的對(duì)應(yīng)，本題解決值域個(gè)數(shù)的問題時(shí)，采取了分類討論的方法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．【變式41】2.（2022秋·江蘇南通·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=1,2，B=3,4，f:A→B為集合A到B的一個(gè)函數(shù)，則這樣的函數(shù)有【答案】4【分析】列舉出滿足題意得出函數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】滿足題意得出函數(shù)為：f1=3f2=3或f故滿足條件的函數(shù)個(gè)數(shù)為4.故答案為：4.【變式41】3.（2022春·吉林長(zhǎng)春·高二統(tǒng)考期末）已知集合A=B=0,1,2,3，f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，那么該函數(shù)的值域的不同情況有【答案】15【分析】由函數(shù)的定義，結(jié)合集合B中有4個(gè)元素，值域?yàn)榉强占?，即可得到函?shù)的值域的情況.【詳解】由函數(shù)的定義知，此函數(shù)可分為四類：若函數(shù)是四對(duì)一對(duì)應(yīng)，則值域?yàn)?,若函數(shù)是三對(duì)一對(duì)應(yīng)，則值域?yàn)?,1,若函數(shù)是二對(duì)一對(duì)應(yīng)，則值域?yàn)?,1,2,若函數(shù)是一對(duì)一對(duì)應(yīng)，則值域?yàn)?,1,2,3，共1種情況.綜上，該函數(shù)的值域的不同情況有4+6+4+1=15種.故答案為：15.【變式41】4.（2020秋·江蘇無錫·高一期中）已知集合A=B=1,2,3，設(shè)f:A→B為從集合A到集合B【答案】277【分析】分析函數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，利用定義域中的任意一個(gè)元素都可以對(duì)應(yīng)集合B的任何一個(gè)元素，由此計(jì)算出函數(shù)的個(gè)數(shù)；分析函數(shù)的值域時(shí)，考慮對(duì)應(yīng)關(guān)系為一對(duì)一、多對(duì)一的情況，由此得到值域的種數(shù).【詳解】因?yàn)槎x域中有三個(gè)元素：1,2,3，其中每個(gè)元素都可以對(duì)應(yīng)到集合B中的三個(gè)元素中的任意一個(gè)，所以對(duì)應(yīng)關(guān)系共有：3×3×3=27種，所以函數(shù)的個(gè)數(shù)為：27；將對(duì)應(yīng)關(guān)系分為：一對(duì)一，多對(duì)一（二對(duì)一、三對(duì)一）若為一對(duì)一，值域有：1,2,3，共1種情況，若為二對(duì)一，值域有：1,2,1,3,若為三對(duì)一，值域有：1,2,所以值域有7種.故答案為27；7.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算函數(shù)和值域的種數(shù)，難度一般.根據(jù)“f:A→B為從集合A到集合B的函數(shù)”去計(jì)算函數(shù)或者值域的種數(shù)時(shí)，注意：函數(shù)的定義域?yàn)榧螦，但是值域是集合B的子集.題型5同一個(gè)函數(shù)的判斷【例題5】（多選）（2023秋·四川成都·高一校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A．fx=x+1;gxC．fx=x【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由同一函數(shù)的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，兩函數(shù)的解析式不同，所以不是同一函數(shù)；對(duì)于B，兩函數(shù)的定義域都相同為R，其次x2對(duì)于C，函數(shù)fx=x2的定義域?yàn)镽，而函數(shù)對(duì)于D，兩函數(shù)的定義域相同都為R，且解析式相同，所以是同一函數(shù)；故選：BD【變式51】1.（多選）（2022秋·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）下列各選項(xiàng)給出的兩個(gè)函數(shù)中，表示相同函數(shù)的有（

）A．fx=B．fx=x+1C．fx=D．fx=【答案】AC【分析】根據(jù)相等函數(shù)的定義逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.【詳解】對(duì)于A，g(x)=x2=|x|對(duì)于B，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞,+∞)，函數(shù)對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，都是(?∞對(duì)于D，因?yàn)間x=x??2x的定義域?yàn)??故選：AC【變式51】2.（多選）（2022秋·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（

）A．fx=xB．fx=x+1C．fx=D．ft=【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由同一函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)fx=xx∈R，函數(shù)gx對(duì)于B，函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，函數(shù)gx的定義域?yàn)閷?duì)于C，函數(shù)fx=1,x>0對(duì)于D，函數(shù)ft=t?1故選:ACD【變式51】3.（多選）（2020秋·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（

）A．y=x2?1C．f(x)=?2x3【答案】BC【分析】看兩個(gè)函數(shù)是否相同，要看定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，都相同則為相同函數(shù)；若函數(shù)三個(gè)要素中有一個(gè)不同則為不同函數(shù).選項(xiàng)A、D，很容易識(shí)別兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)y=x2?1x?1定義域?yàn)檫x項(xiàng)B，g(v)=v2=選項(xiàng)C，f(x)=?2x3選項(xiàng)D，f(x)=x0=1，但函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x≠0故選：BC.【變式51】4.（多選）（2022秋·福建福州·高一福州四中?？计谥校┫铝兴慕M函數(shù)中，表示同一函數(shù)的有（

）A．f(x)=x，g(x)=B．f(x)=1x≠±1C．f(x)=x+1xD．f(x)=x+1?【答案】AC【分析】逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同即可得正確選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A：函數(shù)y=fx，y=gx的定義域都是?∞，+∞對(duì)于B：f(x)=1?x≠±10?對(duì)于C：函數(shù)f(x)=x+1x和g(t)=t+1對(duì)于D：f(x)=x+1?x?1的定義域?yàn)閤x≥1，g(x)=x故選：AC.【變式51】5.(多選)（2022秋·江西·高一江西師大附中?？计谥校┲形摹昂瘮?shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．fx=x，gx=C．fx=x?1，gx=x【答案】AD【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念逐一分析各選項(xiàng)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閒x=x與g對(duì)于B，fx=x0+1的定義域?yàn)閤|x≠0對(duì)于C，fx=x?1的定義域是R，gx對(duì)于D，fx=x+1=x+1,x≥?1?x?1,x<?1，故選：AD.題型6函數(shù)的定義域及其求法【方法總結(jié)】求函數(shù)定義域常見結(jié)論：(1)分式的分母不為零；(2)偶次根式的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；(5)正切函數(shù)y＝tanx，x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(6)零次冪的底數(shù)不能為零；(7)實(shí)際問題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求．◆類型1已知函數(shù)解析式求定義域【例題61】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx(5)fx【答案】(1)x|x≠1(2)x|x≥(3)x|x≥?1且x≠3(4)x|x≠?2且x≠4，(5)x|x>?1【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的定義列出不等式解出即可.【詳解】（1）由題意得x?1≠0，即x≠1，故定義域?yàn)閤|x≠1；（2）由題意得3x?2≥0，解得x≥23，故定義域?yàn)椋?）由題意得x+1≥0x+1?2≠0，解得x≥?1且故定義域?yàn)閤|x≥?1且x≠3.（4）由題意得x2?2x?8≠0，解得x≠?2且故定義域?yàn)閤|x≠?2且x≠4，（5）由題意得x+1>0，解得x>?1，故定義域?yàn)閤|x>?1.【變式61】1.（2023秋·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fxA．?1,+∞ B．?1,0 C．?1,0∪0,+【答案】C【分析】根據(jù)根式和分式的性質(zhì)，列不等式即可求解.【詳解】fx=x+1+1x的定義域需滿足故定義域?yàn)?1,0∪故選：C【變式61】2.（2023秋·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)f(x)=(1?2x)A．(?12,+C．(?12,1]【答案】B【詳解】由函數(shù)fx=1?2x02x+1有意義，得1?2x≠0所以原函數(shù)的定義域是(?1故選：B【變式61】3.（2023秋·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx=x+4【答案】?4,0【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件，列出不等式組，解出即可.【詳解】由x+4≥01?x≥0得函數(shù)的定義域?yàn)?4,0∪故答案為：?4,0∪◆類型2抽象函數(shù)定義域問題◆考點(diǎn)一已知f(x)求f(x+a)型【例題62】（2022秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)fx的定義域?yàn)?1,2，則函數(shù)f【答案】?2,?【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,2于是有?1≤3+2x≤2??2≤x≤?1即函數(shù)f3+2x的定義域?2,?故答案為：?2,?【變式62】1.（2023秋·天津武清·高一天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù)y=f【答案】?【分析】抽象函數(shù)定義域問題，同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則下，括號(hào)內(nèi)的式子取值范圍相同，即可求解.【詳解】令?2≤2x+1≤2，得?3≤2x≤1，從而?3所以函數(shù)y=f(2x+1)的定義域?yàn)?3故答案為：?【變式62】2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)fx=2x+1的定義域?yàn)?2,2，則y=f【答案】?1,1【分析】利用抽象函數(shù)的定義域可得出關(guān)于x的不等式組，即可求得函數(shù)y=fx?1【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2x+1的定義域?yàn)閷?duì)于函數(shù)y=fx?1+fx+1，則有?2≤x?1≤2因此，函數(shù)y=fx?1+fx+1故答案為：?1,1【變式62】3.（2023秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)y=fx的定義域是0,4，則函數(shù)gA．0,2 B．0,2 C．0,1∪1,2 【答案】C【分析】先由函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?,4求出y=f2x的定義域，再由【詳解】函數(shù)y=fx的定義域是f2x滿足0≤2x≤4，即0≤x≤2又分母不為0，則x≠1，所以函數(shù)y=gx的定義域?yàn)椋汗蔬x：C.【變式62】4.（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)fx的定義域?yàn)閤?2<x≤4，則函數(shù)A．?1,2 B．?2,2∪2,4 C．?4,2∪【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪底數(shù)不為零以及抽象函數(shù)的定義域的求解方法得到結(jié)果.【詳解】已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閤?2<x≤4，又函數(shù)則?2<2x≤4且x?2≠0解得?1<x≤2且x≠2.所以函數(shù)?x的定義域?yàn)?1,2故選：A.【變式62】5.（2023秋·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,2，則函數(shù)gA．3,+∞ B．2,4 C．4,5 D．【答案】C【分析】先由函數(shù)fx的定義域求出fx?3的定義域，再由【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?,2，所以fx?3滿足0<x?3<2，即又函數(shù)gx=fx?3x?4所以函數(shù)gx=f故選：C【變式62】6.（2023秋·黑龍江大慶·高二肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?1,1則y=【答案】?2,?1【分析】抽象函數(shù)定義域求解，x+1需整體在?1,1范圍內(nèi)，從而解出x的范圍，同時(shí)注意需保證x2【詳解】由已知，fx的定義域?yàn)?1,1，所以對(duì)于x需滿足?1≤x+1≤1x2故答案為：?2,?1.【變式62】7.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?1，2【答案】?【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法即可解決【詳解】∵函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椤??x2∈故函數(shù)y=f1?x◆考點(diǎn)二已知f(x+a)求f(x)型【例題63】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第三十二中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x+1)的定義域是[?2,2]，則函數(shù)f(x)的定義域是．【答案】[?1,3]【分析】利用函數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域求法即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇?2,2]，所以?2≤x≤2，則?1≤x+1≤3，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇?1,3]，故答案為：[?1,3].【變式63】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)y=f2x?1的定義域?yàn)?2，A．?1，1 B．?1，2 C．【答案】D【分析】定義域?yàn)閤的取值范圍，結(jié)合同一對(duì)應(yīng)法則下括號(hào)內(nèi)范圍相同，求出答案.【詳解】由題意得x∈12，32，故2x?1∈故選：D【變式63】2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)f3x+1的定義域?yàn)?,7，則函數(shù)f【答案】4,22【分析】由f3x+1的定義域確定3x+1的取值范圍，即可確定函數(shù)f【詳解】函數(shù)f3x+1的定義域?yàn)?,7，即1≤x≤7，得3x+1∈所以函數(shù)fx的定義域?yàn)?,22故答案為：4,22【變式63】3.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知f(2x+1)的定義域?yàn)?3,0，求函數(shù)fx【答案】(?5,1).【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的意義，列出不等式求解即可.【詳解】因?yàn)閒(2x+1)的定義域?yàn)?3,0，則由?3<x<0得：?5<2x+1<1，所以函數(shù)fx定義域是(?5,1)【變式63】4.（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知fx2?1的定義域?yàn)?【答案】[【分析】令t=x2?1，x∈[32【詳解】解：令t=x2?1由二次函數(shù)的性質(zhì)可得t∈[5所以fx的定義域?yàn)閇【變式63】5.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)y=f(1+1?x)的定義域?yàn)閧x?【答案】[1【分析】令u=1+1?x【詳解】令u=1+1?x，由0≤x≤1得：?1≤?x≤0?0≤1?x≤1所以0≤1?x≤1?1≤1+1?x所以，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇1?故答案為：[1◆考點(diǎn)三已知f(x+a)求f(x+b)型【例題64】（2022秋·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┮阎瘮?shù)fx+1的定義域?yàn)?,5，則fA．?1,3 B．0,4 C．1,5 D．3,7【答案】D【分析】根據(jù)題意先求出fx的定義域，再可求出f【詳解】由1≤x≤5，得2≤x+1≤6，所以fx的定義域?yàn)閇2,6]由2≤x?1≤6，得3≤x≤7，所以fx?1的定義域?yàn)?,7故選：D【變式64】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx+1的定義域?yàn)?,2，則f2x【答案】1,【分析】先由題意求出函數(shù)fx的定義域?yàn)?,3，再由2≤2x≤3【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx+1的定義域?yàn)?,2，所以2≤x+1≤3即函數(shù)fx的定義域?yàn)?,3由2≤2x≤3解得1≤x≤3因此f2x的定義域?yàn)?,故答案為：1,【變式64】2.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知f(x?1)的定義域?yàn)?,3，求f3x+2【答案】?【分析】根據(jù)f(x?1)的定義域求出f(x)的定義域，再求出f3x+2【詳解】f(x?1)的定義域?yàn)?,3∴2≤x≤3，∴1≤x?1≤2即f(x)的定義域?yàn)?,2；∴1≤3x+2≤2，即?所以f3x+2的定義域【變式64】3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f2x的定義域?yàn)閇12【答案】?2,?1【分析】由x∈[12,2]，可知1≤2x≤4，再解關(guān)于x【詳解】因?yàn)閤∈[12,2]，即12≤x≤2，所以1≤2x≤4故答案為：?2,?1∪【變式64】4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f3x+1的定義域?yàn)??1,6]，求f【答案】3【分析】由f3x+1的定義域?yàn)??1,6]可得?2<3x+1≤19，由?2<2x?5≤19【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)f3x+1的定義域?yàn)??1,6]即函數(shù)f3x+1中?1<x≤6所以?2<3x+1≤19；所以函數(shù)f2x?5中?2<2x?5≤19解得：32即x∈(3所以f2x?5的定義域?yàn)?【變式64】5．（2021秋·河南信陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx+1x?1的定義域?yàn)??2,0)，則A．(?12,12) B．(?5,?1)【答案】C【分析】由已知條件求得fx的定義域，再由fx的定義域求出【詳解】∵函數(shù)fx+1x?1的定義域?yàn)??2,0)，即∴x+1x?1又∵?1<2x?1<13，解得∴f(2x?1)的定義域?yàn)?0,2故選：C.【變式64】6.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)y=f2x的定義域?yàn)?2,4，則y=fA．?2,2 B．?2,4C．?4,4 D．?8,8【答案】C【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)fx的定義域，對(duì)于函數(shù)y=fx?f?x，可列出關(guān)于【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f2x的定義域?yàn)?2,4，則?2≤x≤4，可得?4≤2x≤8所以，函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?4,8對(duì)于函數(shù)y=fx?f?x，則有?4≤x≤8因此，函數(shù)y=fx?f?x故選：C.【變式64】7.（2021秋·陜西漢中·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)fx2+1的定義域是?1,3【答案】?7,?2【分析】由抽象函數(shù)定義域的求解方法進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)fx2+1∴令t=x2+1，當(dāng)?1≤x≤3時(shí)，0≤x2即ft的定義域是t∈∴fx的定義域是1,10∴令1≤x2+15≤104≤x2≤49?x2即fx2+1故答案為：?7,?2∪◆考點(diǎn)四復(fù)合函數(shù)的定義域【例題65】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=4?x2【答案】?【分析】解法1、先求得函數(shù)fx的定義域?yàn)?2,2，令?2≤g解法2、根據(jù)題意求得fg【詳解】解法1：由函數(shù)fx=4?x2即函數(shù)fx的定義域?yàn)?2,2對(duì)于函數(shù)y=fgx，令?2≤gx≤2，即即函數(shù)y=fgx的定義域?yàn)榻夥?：由fx=4?可得fg令?4x2?4x+3≥0，解得?32故答案為：?3【變式65】1.（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，則函數(shù)【答案】(?2,3]【分析】由題意可得x+2>0，且3?x≥0，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意得x+2>03?x≥0，解得?2<x≤3所以Fx=fx+2故答案為：(?2,3]【變式65】2.（2023春·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)?2,3，則函數(shù)y=f【答案】?2,1【分析】x+2整體在?2,3范圍內(nèi)，同時(shí)注意保證x+2≥0，最后求出交集即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?2,3所以?2≤x+2≤3解得?2則函數(shù)y=fx+2+x+2故答案為：?2,1.【變式65】3.（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=f2x?1的定義域?yàn)?1,2，求函數(shù)g(x)=【答案】?3,1【分析】根據(jù)函數(shù)f2x?1的定義域求出fx的定義域，再求出【詳解】y=f2x?1的定義域?yàn)?1,2∴?1<x<2,?3<2x?1<3,所以fx的定義域?yàn)?3,3函數(shù)g(x)=f(x)則?3<x<3x解得?3<x<1或2<x<3所以g(x)的定義域?yàn)椋?3,1∪88．【變式65】4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9]，且當(dāng)1≤x≤9時(shí)，f(x)=x+2，則y=[f(x)]A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【答案】C【分析】首先由f(x)的定義域得出y=[f(x)]2+f(x2【詳解】由f(x)的定義域?yàn)閇1,9]，y=[f(x)]則1≤x2≤9所以y=(x+2)因?yàn)閤∈[1,3]，所以函數(shù)y在x∈1,3當(dāng)x=1,y=12，當(dāng)x=3,y=36，故函數(shù)y的值域?yàn)?2,36.故選：C．【變式65】5.（2022秋·江蘇南京·高一南京師大附中校考階段練習(xí)）若函數(shù)fx=3?xA．0,2 B．?2,0∪0,2 C．?2,2 【答案】C【分析】由fx=3?x+1+x可解得fx的定義域?yàn)椤驹斀狻??x≥01+x≥0??1≤x≤3，則fx令?1≤x2?1≤3，得?2≤x≤2，即f故選：C.【變式65】6.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f2x?1的定義域?yàn)?3,1，則y=A．1 B．1,32 C．32【答案】D【分析】根據(jù)題意先求得函數(shù)fx的定義域?yàn)?7,1，然后結(jié)合抽象函數(shù)定義域與x?1【詳解】由題意可知?3≤x≤1，所以?7≤2x?1≤1，要使函數(shù)y=f3?4xx?1有意義，則?7≤3?4x≤1,故選：D◆類型3已知定義域求參數(shù)取值范圍【例題66】（2023秋·河南商丘·高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fxA．a(chǎn)0≤a≤12 B．C．a(chǎn)0≤a<1 D．a(chǎn)a≤0,【答案】C【分析】根據(jù)分式函數(shù)中分母不為0得?x∈R，ax2?2ax+1≠0恒成立，分類討論，a=0【詳解】由函數(shù)fx=x+1ax當(dāng)a=0時(shí)，1≠0恒成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=4a2綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a0≤a<1故選：C.【變式66】1.（2022秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)y=mx2?6mx+m+8的定義域?yàn)锳．0<m<1 B．0≤m<1C．0<m≤1 D．0≤m≤1【答案】D【分析】要使函數(shù)y=mx2?6mx+m+8的定義域?yàn)椤驹斀狻坑深}意函數(shù)y=mx2則當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y=22，其定義域?yàn)镽當(dāng)m≠0時(shí)，需滿足mx2?6mx+m+8≥0即m>0Δ=?6m綜上可知：0≤m≤1.故選：D.【變式66】2.（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)y=1kx2+2kx+3【答案】0≤k<3.【詳解】解：當(dāng)k=0時(shí)，y=1當(dāng)k≠0時(shí)，綜上：0≤k點(diǎn)睛：定義域?yàn)镽，分母在R上都不為0，注意分母不一定為二次，所以先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零．【變式66】3.（2023秋·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)y=1ax2?ax+1【答案】0,4【分析】由函數(shù)定義域?yàn)镽，分類討論a是否為0，在根據(jù)題意分析即可.【詳解】∵函數(shù)y=1ax∴ax2?ax+1>0①當(dāng)a=0時(shí)，1>0恒成立，滿足題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，要使ax2?ax+1>0則a>0,Δ=a綜上若函數(shù)y的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4．故答案為：0,4.【變式66】4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)y=ax+1的定義域?yàn)锳，且?3∈A，則a【答案】?【分析】由?3∈A，可知?3a+1≥0，解不等式即可.【詳解】由?3∈A，可知?3a+1≥0，解得a≤1故答案為：?∞【變式66】5.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)=m(1)當(dāng)m=?1時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)?2,1(2)0,8【分析】（1）令mx2+mx+2≥0（2）對(duì)m分類討論，根據(jù)一元二次不等式的相關(guān)性質(zhì)即可求解,【詳解】（1）依題意，滿足函數(shù)f(x)有意義，則：mx當(dāng)m=?1時(shí)，則?x解得：?2≤x≤1（2）若函數(shù)f(x)=mx2則對(duì)任意的x∈R，m當(dāng)m=0時(shí)，2≥0顯然成立.當(dāng)m≠0時(shí)，由m>0Δ=m2綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍0,8.【變式66】6.（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)fx【答案】m∣m>1【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，等價(jià)為mx【詳解】解：∵函數(shù)f(x)=3x?1m∴mx若m=0，則x≠?3，不滿足條件．，若m≠0，則判別式Δ=1?12m<0，解得m>112【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．【變式66】7.（2021秋·河北衡水·高一河北阜城中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=k(1)當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1){xx≤1或x≥5}(2)0,1.【分析】（1）把k=2代入后，要使函數(shù)有意義使得根式下不小于0，解不等式得答案；（2）分k=0和k≠0求解，當(dāng)k≠0時(shí)轉(zhuǎn)化為不等式組k>0Δ≤0求解（1）當(dāng)k=2時(shí)，fx由題意得2x2?12x+10≥0，即2x?1x?5∴函數(shù)fx的定義域?yàn)閧xx≤1或（2）設(shè)gx由題意得gx=kx當(dāng)k=0時(shí)，gx當(dāng)k≠0時(shí)，必須滿足k>0Δ≤0，即k>036k2綜上：0≤k≤1，即k∈0,1題型7求函數(shù)解析式◆類型1待定系數(shù)法【例題71】（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)y=fx為一次函數(shù)，滿足ffxA．?4x?53 B．4x?53 C．【答案】AD【分析】設(shè)fx=kx+b，代入ffx=16x+5【詳解】設(shè)fx=kx+b，由于所以kkx+b所以k2=16kb+b=5，解得k所以fx=4x+1或故選：AD【變式71】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)f(x)為一次函數(shù)且f(f(x))=4x+8，求f(0).【答案】f(0)=83【分析】設(shè)fx【詳解】設(shè)f(x)=ax+b(a≠0)，則f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a又f(f(x))=4x+8，∴a2即a2=4ab+b=8，解得a=2∴f(x)=2x+83或∴f(0)=83或【變式71】2.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知fx為二次函數(shù)，且f2x+1+f（2）已知f1x=【答案】2x2【分析】（1）設(shè)fx=ax2+bx+c（2）采用換元法，設(shè)1x=t，可求得ft【詳解】（1）設(shè)fx∴f2x+1+f2x?1∴8a=164b=?42a+2c=6，解得：a=2（2）令1x=t，則t≠0，∴ft=1故答案為：2x2?x+1【變式71】3.（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)f(x)的最大值是f12=254【答案】f(x)=?【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)與待定系數(shù)法求解．【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)f(x)=ax?又過點(diǎn)(2,4)，則a解得a=?1，故f(x)=?【變式71】4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)fx滿足f(2)=?1,f(1?x)=f(x)，且fx的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式為A．?4x2+4x+7C．?4x2?4x+7【答案】A【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為f(x)=ax?【詳解】根據(jù)題意，由f(1?x)=f(x)得:f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=1設(shè)二次函數(shù)為f(x)=ax?因f(x)的最大值是8，所以a<0，當(dāng)x=12時(shí)，即二次函數(shù)f(x)=ax?由f(2)=?1得:f(2)=a2?12則二次函數(shù)f(x)=?4x?故選：A.◆類型2換元法【例題72】（2023秋·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)fx+1=x且faA．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】應(yīng)用換元法求得ft=t?1，再由【詳解】令t=x+1，則x=t?1，故ft所以fa故選：C【變式72】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f1?x=1?A．1x?12?1x≠0 B．1x?12【答案】B【分析】利用換元法令t=1?x，運(yùn)算求解即可.【詳解】令t=1?x，則x=1?t，且x≠0，則t≠1，可得ft所以fx故選：B.【變式72】2.（2022秋·江西·高一江西師大附中?？计谥校┮阎猣x+1=3x+【答案】f【分析】利用換元法求解解析式即可.【詳解】fx+1=3x+x，令所以ft所以fx故答案為：fx【變式72】3.（2022秋·福建泉州·高一校考期中）已知fx+1=x【答案】f【分析】利用換元法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閒x+1=x2?x所以ft所以fx故答案為：f【變式72】4.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知f(1x)=【答案】x【分析】令1x=t，得到ft【詳解】令1x=t，則x=1t且所以函數(shù)fx的解析式為f故答案為：x【變式72】5.(多選)（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知fx+A．f(x)=x+12C．f2=1 【答案】BD【分析】運(yùn)用換元法求得f(x)的解析式，再通過賦值可求得f(2)、【詳解】令t=x+12，則所以f(t)=[t?12]所以f(2)=[2故選：BD.【變式72】6.（2022秋·湖北鄂州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx+1x=A．fx=xC．fx=x【答案】D【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.【詳解】令t=x+1x，可得所以f(t)=t?1因此f(x)的解析式為f(x)=x故選：D.【變式72】7.（多選）（2021秋·湖北宜昌·高一宜昌市夷陵中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時(shí)，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)”．下列對(duì)應(yīng)法則f滿足函數(shù)定義的有（

）A．fx?2=x C．f1x=x【答案】BCD【分析】根據(jù)題中函數(shù)的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，令t=x?2，可得x=2±t，則f(t)=2±t，可判斷A選項(xiàng)；令t=x+1，則x=t?1，則f(t)=t?12+2t?1=t【詳解】解：對(duì)于A中，令t=x?2，可得x=2±t，則f(t)=2±t對(duì)于B中，令t=x+1，則x=t?1，則f(t)=t?1對(duì)于C中，令t=1x，則x=1對(duì)于D中，由于函數(shù)y=x2+2x=所以f(x故選：BCD.◆類型3方程組法【例題73】（湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟20232024學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx滿足f(x)+2f(?x)=4x，則f2等于A．?8 B．8 C．?6 D．6【答案】A【分析】由題意在f(x)+2f(?x)=4x中分別令x=2、x=?2即可得到關(guān)于f2【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx滿足f(x)+2f(?x)=4x所以在f(x)+2f(?x)=4x中分別令x=2、x=?2，可得f(2)+2f(?2)=8f(?2)+2f(2)=?8解不等式組得f2故選：A.【變式73】1.（2022秋·甘肅酒泉·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)fx=2f(1A．1 B．?1 C．10 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到f(1x)=2f【詳解】由fx=2f(1聯(lián)立方程組fx=2f(1x)+1故選：B.【變式73】2.（2023秋·山西晉中·高三校考開學(xué)考試）若函數(shù)fx滿足fx+2f【答案】?73【分析】根據(jù)x,1【詳解】因?yàn)閒x所以有f1②×2?①，得fx所以f3故答案為：?【變式73】3.（2023秋·湖北荊門·高一鐘祥市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知fx滿足3fx+2f【答案】f【分析】用1?x代x得出一個(gè)式子，利用方程思想求解函數(shù)解析式.【詳解】由3fx用1?x代x可得，3f1?x由3×①?2×②可得：f故答案為：f【變式73】4.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)對(duì)定義域{x∣x≠0}內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x滿足f(2x)?2f2【答案】?【分析】先把x都化為2x，進(jìn)行化簡(jiǎn)得到f(x)?2f4x=2x，再把x替換為4【詳解】由f(2x)?2f2x=4x，得f(2x)?2f42x=2?(2x)，即f(x)?2f4x=2x①，將x故答案為：?2◆類型4配湊法法【例題74】（多選）（2023秋·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）已知f(2x＋A．f(?3)=16 B．f(x)=4C．f(x)=16x2+16x+4【答案】AD【分析】利用配湊法求出函數(shù)解析式，再逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】依題意，f(2x+1)=(2x+1)2?2(2x+1)+1顯然f(?3)=(?3)故選：AD【變式74】1.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知fx+1x【答案】fx=【分析】利用立方和公式將函數(shù)變形，令t=x+1x，利用基本不等式求出【詳解】因?yàn)閒x+令t=x+1x，當(dāng)x>0時(shí)t=x+1x≥2當(dāng)x<0時(shí)t=x+1x=??x+所以t∈?∞,?2∪2,+∴fx=x【變式74】2.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知fx?1x=x【答案】x2【分析】利用換元法可求出f(x)，進(jìn)一步可得f(3).【詳解】令x?1x=t所以f(t)=t2+2所以f(3)=3故答案為：x2+2；題型8分段函數(shù)◆類型1分段函數(shù)求值問題【例題81】（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xA．8 B．12 C．?34【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式先求出f?2的值，在求出f【詳解】因?yàn)閒x所以f?2所以ff故選：B.【變式81】1.（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3x,x≥0,A．6 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】由分段函數(shù)概念，代入對(duì)應(yīng)解析式求解即可.【詳解】∵f∴f?4故選：A.【變式81】2.（2022秋·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)f(x)=x+2??????x>0A．π+2 B．0 C．π D．?1【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】由題可知f(?1)=0，f(0)=π，f(f{f[f(?1)]}=f{f[0]}=f{故選：A【變式81】3.（2022秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)=x2+1,x<0A．0 B．5 C．54 D．【答案】C【分析】根據(jù)解析式，先求出f(1)，再把該值代入解析式即可.【詳解】f(x)=x2+1,x<0x?2故選：C【變式81】4.（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1,x為有理數(shù)0,x為無理數(shù)，gxA．1，0 B．0，0 C．1，1 D．0，1【答案】A【分析】分x為有理數(shù)和無理數(shù)，利用fx和g【詳解】解：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，gx=0，fg當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，gx=1，fgx=f故選：D◆類型2含參問題【例題82】（2023秋·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=x2?1,x≥1x?2,x<1，若A．3 B．0 C．3或0 D．±【答案】A【分析】對(duì)a進(jìn)行分類討論，直接計(jì)算可求解.【詳解】a≥1時(shí)，f(a)=a2?1進(jìn)一步分類討論，a2?1≥1時(shí)，即a≥2時(shí)，f(a2a2?1<1時(shí)，即1≤a≤2時(shí)，f(a<1時(shí)，f(a)=a?2，f(f(a))=f(a?2)，進(jìn)一步分類討論，a?2≥1時(shí)，即a≥3時(shí)，與a<1不符；a?2<1時(shí)，即a<3，所以a<1時(shí)，有ffa=f(a?2)=a?4=3故選：A【變式82】1.（2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)f(x)=x3+1,x<1x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閒(x)=x3+1,x<1所以ff0=f故選：C【變式82】2.（2022秋·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=x2?1,x≥1A．3 B．?3 C．±3【答案】A【分析】先令fx=3，解得x=2，再令fa【詳解】當(dāng)x≥1時(shí)，x2?1=3，解得當(dāng)x<1時(shí)，x?2=3，解得x=5，不合要求，舍去，令fa當(dāng)a≥1時(shí)，a2?1=2，解得當(dāng)a<1時(shí)，a?2=2，解得a=4，不合要求，舍去，綜上：a=3故選：A【變式82】3.（多選）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）(多選)設(shè)函數(shù)fx=x,x≥0?xA．?3 B．3C．?1 D．1【答案】CD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，對(duì)a進(jìn)行分類討論計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閒?1=所以fa(1)當(dāng)a≥0時(shí)，fa=a(2)當(dāng)a<0時(shí)，fa=?a綜上可知a=1或a=?1.故選：CD【變式82】4.（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一雙鴨山一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求f?2，f1，(2)若fm(3)求不等式fn【答案】(1)f?2=9，f1(2)m=?73或(3)?2【分析】（1）將x=?2,x=1,x=2分別代入求解即可；（2）分m>1、m≤1分別求解即可；（3）分n>1、n≤1分別求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)fx所以f?2=9，f1（2）解：當(dāng)m>1時(shí)，m2?2m=10，解得m=1+11當(dāng)m≤1時(shí)，?3m+3=10，解得m=?7所以m的值為m=?73或（3）解：當(dāng)n>1時(shí)，n2?2n≤5，解得1?6當(dāng)n≤1時(shí)，?3n+3≤5，解得?2所以n的取值范圍為?2【變式82】5.（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(1)求f?5,f?3(2)若fa=3,求實(shí)數(shù)(3)若fm>m,求實(shí)數(shù)【答案】(1)f?5=?4;f(2)a=1或a=(3)?【分析】（1）根據(jù)x的范圍,分別將?5,?3（2）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,解方程求解即可;（3）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,解不等式求解即可.【詳解】（1）由題可得f?5f?因?yàn)閒?所以ff（2）①當(dāng)a≤?2時(shí),fa解得a=2,不合題意,舍去;②當(dāng)?2<a<2時(shí),fa=a解得a=1或a=?3,因?yàn)?∈?2,2,?3?所以a=1;③當(dāng)a≥2時(shí),fa解得a=5綜合①②③知,當(dāng)fa=3時(shí),a=1或（3）由fm得m≤?2m+1>m或?2<m<2m2解得m<?1或0<m<2或m>2,故所求m的取值范圍是?∞【變式82】6.（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(1)求f1(2)若ffa=3【答案】(1)f1=3(2)a=?1或?32【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式直接代入求解；（2）令fa=t，分t≤0和【詳解】（1）因?yàn)?>0，則f1又因?yàn)?2<0，所以f?2（2）令fa=t，則當(dāng)t≤0時(shí)，則2t+3=3，解得：t=0≤0，即fa=0，可得a≤02a+3=0或a>0當(dāng)t>0時(shí)，則t+2t=3，解得：t=1或2，即f可得a≤02a+3=1或a≤02a+3=2或a>0a+2a=1或綜上所述：a=?1或?32或【變式82】7.（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(1)求f?5,f1(2)若fa【答案】(1)?4，8，1(2)?【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的每一段的定義域求解；（2）先得到fa2+2=2a【詳解】（1）解：因?yàn)?5∈(?∞所以f?5ff（2）因?yàn)閍2所以fa則不等式fa2+2解得a≥1或a≤?1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?∞◆類型3分段函數(shù)求解析式【例題83】（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其中∠DAO=45°．用直線l：x=t（t∈(0,2)）截這個(gè)正方形，將正方形分為兩個(gè)部分，其中包含了頂點(diǎn)D部分的面積記為S，將S表示為t的函數(shù)，則其解析式為．【答案】S=【分析】討論當(dāng)直線x=t在AC的左側(cè)時(shí)，利用三角形的面積公式可求解；當(dāng)直線x=t在AC的右側(cè)時(shí)，利用間接法即可求解.【詳解】由題意∠DAO=45°可知△AOD為等腰直角三角形，OA=2當(dāng)直線x=t在AC的左側(cè)時(shí)，即直線與正方形ABCD的交點(diǎn)在DC,DA上時(shí)，即當(dāng)0<t≤1時(shí)，直線x=t的左側(cè)為等腰直角為三角形，此時(shí)S(t)=1當(dāng)直線x=t與正方形ABCD的交點(diǎn)在CB,AB上時(shí)，即1<t<2，直線x=t的左側(cè)為五邊形，則S(t)=2?1所以S表示為t的函數(shù)解析式為S=t故答案為：S=t【變式83】1.（2022秋·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┤鐖D，等腰梯形OABC中，OA=4,AB=BC=CO=2，記梯形OABC位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為ft，試求函數(shù)y=ft的解析式，并畫出函數(shù)

【答案】答案見解析【分析】依題意可知，對(duì)參數(shù)t進(jìn)行分類討論，對(duì)不同取值范圍的圖形面積分段表示并寫成分段函數(shù)的形式即可，根據(jù)解析式即可畫出對(duì)應(yīng)的圖象.【詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)0<t<1時(shí)x=t(t>0)左側(cè)的圖形為直角三角形，根據(jù)梯形邊長(zhǎng)可知此時(shí)兩直角邊長(zhǎng)度分別為t,3所以面積為ft=1當(dāng)1≤t≤3時(shí)，x=t(t>0)左側(cè)的圖形為一個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形組成的，直角三角形面積為32，矩形面積為3所以此時(shí)面積為ft=3當(dāng)3<t<4時(shí)，x=t(t>0)左側(cè)的圖形為一個(gè)直角三角形、一個(gè)矩形、再加上一部分梯形組成的，易知直角三角形和一個(gè)矩形的面積和為32梯形面積為12所以此時(shí)面積為ft=5當(dāng)t≥4時(shí)，x=t(t>0)左側(cè)的圖形為整個(gè)大梯形面積，即ft因此函數(shù)y=ft的解析式為f畫出函數(shù)圖象如下圖所示：

【變式83】2.（2022秋·湖北十堰·高一鄖陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=fxx≥?2的圖象如圖示，在直線x=1的左側(cè)是經(jīng)過兩點(diǎn)A?2,0,B1,3的線段（包括兩個(gè)端點(diǎn)），在直線x=1(1)求函數(shù)y=fx(2)求ff(3)求方程fx【答案】(1)f(x)=(2)5(3)?1,4【分析】（1）利用待定系數(shù)法，分段求解解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，代入求值即可；（3）分段討論解方程，再綜合得解.【詳解】（1）當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，設(shè)fx∵fx的圖象過A∴?2k+b=0且k+b=3，解得k=1,b=2，∴fx當(dāng)x>1時(shí)，fx∵fx的圖象過點(diǎn)C2,3，∴a2?1=3，解得綜上，f(x)=3（2）ff（3）當(dāng)?2≤x≤1時(shí)，fx=x+2，由fx=1，得當(dāng)x>1時(shí)，fx=3x?1，由fx綜上，方程fx=1的解為：【變式83】3.（2023秋·山東青島·高一山東省萊西市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)用分段函數(shù)的形式表示函數(shù)fx(2)畫出函數(shù)fx的圖象，并寫出函數(shù)f【答案】(1)f(2)作圖見解析，fx的值域?yàn)椤痉治觥浚?）根據(jù)零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，由此將fx（2）根據(jù)fx的解析式畫出fx的圖象，結(jié)合圖象求得【詳解】（1）解：當(dāng)0≤x≤2時(shí)，fx當(dāng)?2<x<0時(shí)，fx所以fx（2）解：得fx=1,0≤x≤2

由圖象知，fx的值域?yàn)?,3【變式83】4.（2023秋·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）新定義：若存在x0滿足f(f(x0))=x0，且f(x0)≠(1)當(dāng)a=12時(shí)，判斷15(2)求出f(f(x))的解析式，并求出函數(shù)f(x)在[0,a]上的次不動(dòng)點(diǎn).【答案】(1)15是函數(shù)f(2)ffx=【分析】寫出函數(shù)解析式，利用新定義，建立方程，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)a=12時(shí)，fx因?yàn)閒f15=f35=（2）由0≤?1ax+1≤a得a?由a<?1ax+1≤1得0≤x<a?由0≤11?ax?a≤a得由a<11?ax?a≤1得所以f當(dāng)0≤x<a?a2時(shí)，由ff此時(shí)fa?a21+a?a當(dāng)a?a2≤x≤a時(shí)，由f此時(shí)fa1+a=a1+a綜上可知函數(shù)fx在0,a上的次不動(dòng)點(diǎn)為a?◆類型4分段函數(shù)的圖像【例題84】（2023秋·甘肅武威·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）將函數(shù)y=?A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)化為分段函數(shù)的形式，得到其大致圖像，即可判斷平移之后的函數(shù)圖像.【詳解】

因?yàn)閥=3?將其向