2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計(jì)2.1.3分層抽樣學(xué)案含解析新人教A版必修3

PAGE2．1.3分層抽樣[目標(biāo)]1.記住分層抽樣的特點(diǎn)和步驟；2.會(huì)用分層抽樣從總體中抽取樣本；3.給定實(shí)際抽樣問(wèn)題會(huì)選擇合適的抽樣方法進(jìn)行抽樣．[重點(diǎn)]用分層抽樣抽取樣本．[難點(diǎn)]三種抽樣方法的聯(lián)系與區(qū)分以及抽樣方法的選擇．學(xué)問(wèn)點(diǎn)一分層抽樣的概念[填一填]1．定義一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣．2．適用范圍當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往采納分層抽樣．[答一答]1．分層抽樣適合于什么樣的總體？分層抽樣有什么特點(diǎn)？提示：當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，用分層抽樣．分層抽樣仍具有逐個(gè)抽取、不放回、等可能性等特點(diǎn)．2．分層抽樣有什么優(yōu)點(diǎn)？提示：分層抽樣使樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且在每個(gè)層中進(jìn)行抽樣時(shí)，又可敏捷地采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或其他抽樣方法．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二分層抽樣的步驟[填一填]1．依據(jù)已駕馭的信息，將總體分成若干部分；2．依據(jù)總體中的個(gè)體數(shù)N和樣本容量n計(jì)算出抽樣比k＝eq\f(n,N)；3．依據(jù)抽樣比k計(jì)算出各層中應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)：eq\f(n,N)·Ni(其中Ni為第i層所包含的個(gè)體總數(shù))．4．按步驟3所確定的數(shù)在各層中隨機(jī)抽取個(gè)體，并合在一起得到容量為n的樣本．[答一答]3．分層抽樣公允嗎？提示：分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無(wú)關(guān)．4．某全日制高校共有學(xué)生5600人，其中?？粕?300人，本科生有3000人，探討生有1300人，現(xiàn)采納分層抽樣的方法調(diào)查學(xué)生利用因特網(wǎng)查找學(xué)習(xí)資料的狀況，抽取的樣本容量為280，則應(yīng)在?？粕?、本科生與探討生這三類學(xué)生中分別抽取65人，150人，65人．解析：抽樣比是eq\f(280,5600)＝eq\f(1,20)，則應(yīng)在?？粕?、本科生與探討生這三類學(xué)生中分別抽取1300×eq\f(1,20)＝65(人)，3000×eq\f(1,20)＝150(人)，1300×eq\f(1,20)＝65(人)．類型一分層抽樣的概念[例1](1)下列問(wèn)題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)是1～40.有一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽(tīng)眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽(tīng)取看法，要留下32名聽(tīng)眾進(jìn)行座談B．從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，凹地4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量D．從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)(2)分層抽樣又稱為類型抽樣，即將相像的個(gè)體歸入一類(層)，然后每層各抽若干個(gè)個(gè)體構(gòu)成樣本，所以分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，必需進(jìn)行()A．每層內(nèi)等可能抽樣B．每層內(nèi)不等可能抽樣C．全部層用同一抽樣比D．全部層抽同樣多樣本容量[解析](1)A的總體容量較大，宜采納系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法比較便利；C的總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采納分層抽樣方法；D與B類似．(2)由分層抽樣的定義和特點(diǎn)可知，全部層用同一個(gè)抽樣比，等可能抽樣．[答案](1)C(2)C分層抽樣運(yùn)用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)分，而層內(nèi)個(gè)體間差異較小，每層中所抽取的個(gè)體數(shù)可按各層個(gè)體數(shù)在總體的個(gè)體數(shù)中所占比例抽取.[變式訓(xùn)練1]某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)愛(ài)好與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采納的抽樣方法是(D)A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法解析：由于被抽取的個(gè)體的屬性具有明顯差異，所以宜采納分層抽樣法．類型二分層抽樣的設(shè)計(jì)[例2]某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級(jí)機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革的看法，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請(qǐng)具體實(shí)施操作．[分析]eq\x(視察特征)→eq\x(確定抽樣方法)→eq\x(求出比例)→eq\x(確定各層樣本數(shù))→eq\x(從各層中抽樣)→eq\x(成樣)[解]因機(jī)構(gòu)改革關(guān)系到每個(gè)人的不同利益，故采納分層抽樣方法較妥．∵eq\f(100,20)＝5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.∴從副處級(jí)以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．因副處級(jí)以上干部與工人數(shù)都較少，將他們分別按1～10和1～20編號(hào)，然后采納抽簽法分別抽取2人和4人；對(duì)一般干部70人采納00,01，…，69編號(hào)，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．這樣便得到了一個(gè)容量為20的樣本．分層抽樣的特點(diǎn)(1)適用于總體由差異明顯的幾部分組成的狀況．(2)更充分體現(xiàn)和反映了總體的狀況．(3)等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等．[變式訓(xùn)練2]某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的寵愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查，參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000，其中持各種看法的人數(shù)如下表所示：很寵愛(ài)寵愛(ài)一般不寵愛(ài)2435456739261072電視臺(tái)為了進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和看法，準(zhǔn)備從中再抽取60人進(jìn)行更為具體的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣？解：采納分層抽樣，由題意知抽樣比為eq\f(60,12000)＝eq\f(1,200).“很寵愛(ài)”的有2435人，應(yīng)抽取2435×eq\f(1,200)≈12(人)；“寵愛(ài)”的有4567人，應(yīng)抽取4567×eq\f(1,200)≈23(人)；“一般”的有3926人，應(yīng)抽取3926×eq\f(1,200)≈20(人)；“不寵愛(ài)”的有1072人，應(yīng)抽取1072×eq\f(1,200)≈5(人)．因此，采納分層抽樣的方法，從“很寵愛(ài)”“寵愛(ài)”“一般”“不寵愛(ài)”的人中分別抽取12人，23人，20人和5人．類型三三種抽樣方法的綜合應(yīng)用[例3]為了考察某學(xué)校的教學(xué)水平，將抽取這個(gè)學(xué)校高三年級(jí)的部分學(xué)生本學(xué)年的考試成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，為了全面反映實(shí)際狀況，實(shí)行以下三種方式進(jìn)行抽查(已知該學(xué)校高三年級(jí)共有20個(gè)教學(xué)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào)，假定該校每班學(xué)生人數(shù)都相同)：①?gòu)娜昙?jí)20個(gè)班中隨意抽取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嚯S意抽取20人，考察他們的學(xué)習(xí)成果；②每個(gè)班都抽取1人，共計(jì)20人，考察這20個(gè)學(xué)生的成果；③把學(xué)生按成果分成優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)級(jí)別，從中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察(已知若按成果分，該校高三學(xué)生中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人)．依據(jù)上面的敘述，回答下列問(wèn)題：(1)上面三種抽取方式中，其總體、個(gè)體、樣本分別指什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，其樣本容量分別是多少？(2)上面三種抽取方式中各自采納何種抽樣方法？(3)試分別寫(xiě)出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟．[解](1)三種抽取方式中，其總體都是高三全體學(xué)生本學(xué)年的考試成果，個(gè)體都是指高三年級(jí)每個(gè)學(xué)生本學(xué)年的考試成果．第一種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成果，樣本容量為20；其次種抽取方式中，樣本為所抽取的20名學(xué)生本學(xué)年的考試成果，樣本容量為20；第三種抽取方式中，樣本為所抽取的100名學(xué)生本學(xué)年的考試成果，樣本容量為100.(2)三種抽取方式中，第一種方式采納的是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；其次種方式采納的是系統(tǒng)抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法；第三種方式采納的是分層抽樣法和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法．(3)第一種方式抽樣的步驟如下：第一步：在這20個(gè)班中用抽簽法隨意抽取一個(gè)班；其次步：從這個(gè)班中按學(xué)號(hào)用隨機(jī)數(shù)法或抽簽法抽取20名學(xué)生，考察其考試成果．其次種方式抽樣的步驟如下：第一步：各個(gè)班的學(xué)生按1,2,3，…編號(hào)；其次步：在第一個(gè)班中，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法隨意抽取某一學(xué)生，記其編號(hào)為a；第三步：在其余的19個(gè)班中，選取編號(hào)為a的學(xué)生，共計(jì)20人．第三種方式抽樣的步驟如下：第一步：分層．若按成果分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人，總體由差異明顯的三部分組成，所以在抽取樣本時(shí)，應(yīng)把全體學(xué)生分成三個(gè)層次．其次步：確定各個(gè)層次抽取的人數(shù)．因?yàn)闃颖救萘颗c總體個(gè)體數(shù)的比為1001000＝110，所以在每個(gè)層次抽取的個(gè)體數(shù)依次為eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15,60,25.第三步；按層次分別抽?。趦?yōu)秀生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取15人；在良好生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取60人；在一般生中用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法抽取25人．選擇抽樣方法的步驟(1)推斷總體是否由差異明顯的幾個(gè)部分組成，若是，則選用分層抽樣；否則，考慮用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣；(2)推斷總體容量和樣本容量的大?。?dāng)總體容量較小時(shí)，采納抽簽法；當(dāng)總體容量較大、樣本容量較小時(shí)，采納隨機(jī)數(shù)法；當(dāng)總體容量較大、樣本容量也較大時(shí)，采納系統(tǒng)抽樣．[變式訓(xùn)練3]完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①?gòu)哪成鐓^(qū)70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會(huì)購(gòu)買實(shí)力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從某中學(xué)的15名藝術(shù)特長(zhǎng)生中選出3名調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)狀況．這兩項(xiàng)調(diào)查宜采納的抽樣方法依次是(B)A．①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，②系統(tǒng)抽樣B．①分層抽樣，②簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣C．①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣D．①②都用分層抽樣解析：①總體中高收入、中等收入、低收入家庭有明顯差異，故用分層抽樣；②總體容量與樣本容量都較小，故采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．1．分層抽樣適合的總體是(C)A．總體容量較多B．樣本容量較多C．總體中個(gè)體有差異D．任何總體解析：總體中個(gè)體差異明顯時(shí)，采納分層抽樣較好．故選C.2．某校高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康狀況，從男生中隨意抽取25人，從女生中隨意抽取20人進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是(D)A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)表法 D．分層抽樣法解析：因?yàn)槟猩团慕】禒顩r不一樣，所以宜采納分層抽樣，且有eq\f(25,500)＝eq\f(20,400)＝eq\f(1,20).故該抽樣方法為分層抽樣．3．一批燈泡400只，其中20W、40W、60W的數(shù)目之比是431，現(xiàn)用分層抽樣的方法產(chǎn)生一個(gè)容量為40的樣本，三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為(A)A．20,15,5 B．4,3,1C．16,12,4 D．8,6,2解析：三種燈泡依次抽取的個(gè)數(shù)為40×eq\f(4,8)＝20,40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.故選A.4．在120人中，青年人有65人，中年人有15人，老年人有40人，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本．(1)求采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣時(shí)，每個(gè)人被抽到的概率；(2)寫(xiě)出用分層抽樣抽取樣本的步驟．解：(1)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6)；系統(tǒng)抽樣，將120人隨機(jī)勻稱地分成20組，每組6人，每組取1人，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是eq\f(1,6)；分層抽樣，青年人、中年人、老年人的人數(shù)之比為1338，即抽取青年人的人數(shù)是20×eq\f(13,24)＝eq\f(65,6)≈11，每個(gè)青年人被抽到的概率是eq\f(65,6)÷65＝eq\f(1,6)；同理，可求得每個(gè)中年人、老年人被抽到的概率都是eq\f(1,6).綜上可知，不論采納哪一種抽樣方法，每個(gè)人被抽到的概率都是eq\f(1,6).(2)第一步：依據(jù)青年、中年、老年把總體分為三層；其次步：計(jì)算各層的抽取人數(shù)：青年人的人數(shù)為20×eq\f(65,120)＝eq\f(65,6)≈11，中年人的人數(shù)為20×eq\f(15,120)＝eq\f(5,2)≈2，老年人的人數(shù)為20×eq\f(40,120)＝eq\f(