第11講 三角形內(nèi)角和 （教師版）

第11講三角形內(nèi)角和（教師版）一、第11講三角形內(nèi)角和1.如圖，四邊形ABCD為任意的四邊形，求它的內(nèi)角和．【答案】解：連結(jié)AC，四邊形ABCD就劃分成兩個三角形，即ABC與ACD，

∴四邊形ABCD的內(nèi)角和就等于兩個三角形內(nèi)角和；

∵一個三角形的內(nèi)角和為180°，

∴四邊形的內(nèi)角和為180°×2=360°．

【解析】【分析】本題通過連結(jié)AC，把一個四邊形劃分成兩個三角形，這種方法可以推廣，即一般地，要求n邊形的內(nèi)角和，可從它的一個頂點(diǎn)A1出發(fā)，連結(jié)A1A3，A1A4，…，A1An，將這個n邊形劃分成n-2個三角形．因此n邊形的內(nèi)角和為：180°×(n-2)(如圖).

這個式子可以作為一個公式來用．如求100邊形的內(nèi)角和，則由上面的公式，得出它的內(nèi)角和為：180°×(100-2)=17640°．2.求證：三角形的外角和等于360°．一般地，n邊形的外角和等于360°【答案】證明：如圖，

△ABC中，∠1、∠2∠3為三個內(nèi)角，∠4、∠5、∠6為三個外角，我們有，

∠1＋∠4=180°，

∠2＋∠5=180°，

∠3＋∠6=180°．

所以∠4＋∠5＋∠6=3×180°-(∠1＋∠2＋∠3)

=3×180°-180°

=360°．

同理，若∠α1，∠α2…∠αn°是n邊形的n個內(nèi)角，∠β1，∠β2,…,∠βn是它們所對應(yīng)的n個外角，則有，

∠α1＋∠β1=180°，

∠α2＋∠β2=180°，

……

∠αn+∠βn=180°．

所以

∠β1+∠β2+…+∠βn=n×180°-(∠α1+∠α2+…+∠αn)

=n×180°-(n-2)×180°

=360°．【解析】【分析】三角形有三個內(nèi)角，根據(jù)其對應(yīng)的外角是其鄰補(bǔ)角，可知其外角和=3×180°-三角形的內(nèi)角和；此方法可以推廣，即一般地，要求n邊形的外角和，可知由n對鄰補(bǔ)角，而這個n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°．因此n邊形的外角和為：n×180°-180°×(n-2)=360°.3.已知一個四邊形的第二個內(nèi)角是第一個內(nèi)角的3倍，第三個內(nèi)角是第二個內(nèi)角的一半，第四個內(nèi)角比第三個內(nèi)角大10°．求它的第一個內(nèi)角．【答案】解：設(shè)它的第一個內(nèi)角為x，則它的第二個內(nèi)角為3x，第三個內(nèi)角為x，第四個內(nèi)角為x＋10°．由四邊形的內(nèi)角和為360°，知

x＋3x＋x＋(x＋10°)=360°，

解得x=50°．

答:它的第一個內(nèi)角為50°.【解析】【分析】設(shè)第一個內(nèi)角為x，根據(jù)題意分別表示出其他三個內(nèi)角：3x；x；x+10°；再由四邊形的內(nèi)角和為360°列出方程，解之即可得第一個內(nèi)角的度數(shù).4.如果一個三角形中最大角是最小角的4倍，求它的最小角的取值范圍．【答案】解：設(shè)∠A是它的最小角，∠C是最大角，∠B是中間的角，則∠A≤∠B≤∠C，又∠C=4∠A．由

可得∠A＋∠A＋4∠A≤180°，即么A≤30°．

可得∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，即∠A≥20°．

所以最小角的取值范圍為20°≤4≤30°．【解析】【分析】設(shè)∠A≤∠B≤∠C，根據(jù)題意知∠C=4∠A，再由三角形內(nèi)角和為180°，即∠A+∠B+∠C=180°，列出方程組，代入可得：∠A＋∠A+4∠A≤180°，或∠A＋4∠A＋4∠A≥180°，解之即可得出最小角的取值范圍.5.如圖，在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，CD是外角∠ACE的平分線．

求證：∠D=

∠A．

【答案】證明：根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠3+∠4=∠1+∠2+∠A．因?yàn)锽D、CD是∠ABC和∠ACE的平分線，

所以∠1=∠2，∠3=∠4．

從而2∠4=2∠1+∠A，即∠4=∠1+

∠A①

在△BCD中，∠4是一個外角，

所以∠4=∠1+∠D，②

由①、②即得∠D=∠A．【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形外角性質(zhì)可得2∠4=2∠1+∠A，∠4=∠1+∠D,等量代換即可得證.6.如圖，在七星形ABCDEFG中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】解：由三角形的外角性質(zhì)，得，

∠1=∠C+∠F，

∠2=∠B+∠E，

∠4=∠D+∠G，

∠3=∠4+∠A=∠D+∠G+∠A．

從而∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=∠1+∠2+∠3

=180°．

【解析】【分析】本題中，所求的7個角很分散，直接求它們的和很困難．因此，我們利用三角形的外角性質(zhì)，把它們集中到一個三角形中，從而解決問題．7.如圖，D為△ABC中一點(diǎn)．證明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．

【答案】證明：如圖，延長BD，交AC于點(diǎn)E．因?yàn)椤螧DC是△CDE的外角，

所以∠BDC=∠DEC+∠ACD．

又因?yàn)椤螪EC是△AEB的外角，

所以∠DEC=∠A+∠ABD．

由以上二式得∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．【解析】【分析】延長BD交AC于點(diǎn)E；利用三角形外角的性質(zhì)可得∠BDC=∠DEC+∠ACD，∠DEC=∠A+∠ABD，等量代換即可得證.本題的結(jié)論常常用到，有人稱之為“飛鏢定理”．注意D必須在△ABC內(nèi)(即四邊形ABDC是一個在D點(diǎn)凹進(jìn)去的凹四邊形)．否則，結(jié)論不成立．8.如圖，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF相交于點(diǎn)G．若∠BDC=140°∠BGC=100°，求∠A的度數(shù).

【答案】解:由上例得，∠BGC=∠A+∠2+∠4，①

∠BDC=∠A+(∠1+∠2)+(∠3+∠4)．②

又因?yàn)锽E平分∠ABD，CF平分∠ACD，

所以∠1=∠2，∠3=∠4.

所以②即∠BDC=∠A+2(∠2+∠4)．③

由①×1-③得∠A=2∠BGC-∠BDC=2×100°-140°=60°．【解析】【分析】根據(jù)“飛鏢定理”可知∠BGC=∠A+∠2+∠4

①，∠BDC=∠A+(∠1+∠2)+(∠3+∠4)②，再根據(jù)角平分線性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∠4；代入②式變形為∠BDC=∠A+2(∠2+∠4)

③，再由由①×1-③得即可求得∠A度數(shù).9.如圖，已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，CE垂直AD于E．求證：∠ACE>∠B．

【答案】證明：延長CE交AB于點(diǎn)F．

因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，

所以∠1=∠2．

又因?yàn)镃E垂直AD，

所以∠AEC=∠AEF=90°，

在△AEF中，∠AFC=180°-(∠1+∠AEF)，

在△AEC中，∠ACE=180°-(∠2+∠AEC)，

所以∠ACE=∠AFC．

因?yàn)椤螦FC是△BCF的一個外角，

所以∠AFC=∠B+∠BCF>∠B．

從而∠ACE>∠B．【解析】【分析】延長CE交AB于點(diǎn)F．利用已知條件，構(gòu)造∠AFC作為橋梁．一方面它等于∠ACE．另一方面，它又是△BFC的一個外角，它應(yīng)大于不相鄰的任一內(nèi)角，從而解決問題．10.如圖，在△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠CAE，∠DAE=

∠BAC．求∠BAC的度數(shù)．

【答案】解：設(shè)∠BAE、∠EAD、∠DAC分別為α，β，γ，則

β=即2β=γ+α

①又∠BDA=∠BAD=α+β，②

∠C