人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第16講-角的證明與相關(guān)計(jì)算

PAGEPAGE1第16講角知識(shí)導(dǎo)航1．角的有關(guān)概念及表示法；2．角的比較與運(yùn)算；3．余角與補(bǔ)角【板塊一】角的有關(guān)概念及表示法方法技巧1．角的定義有靜態(tài)和動(dòng)態(tài)定義兩種．2．角的頂點(diǎn)處有多個(gè)角時(shí)一般采用三個(gè)字母表示或數(shù)字表示法或希臘字母表示法．3．度，分，秒的換算是60進(jìn)制，高級(jí)向低級(jí)轉(zhuǎn)化，每級(jí)變化乘60，低級(jí)向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化每級(jí)除以60．4．鐘表中時(shí)針的速度為每分鐘0.5°，分針?biāo)俣葹槊糠昼?°．題型一角的定義及其表示法【例1】下列說(shuō)法中，正確的是()A．兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角B．有公共端點(diǎn)的兩條線(xiàn)段組成的圖形叫做角C．角可以看作是由一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)面形成的圖形D．角可以看作是由一條線(xiàn)段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形【例2】如圖，下列關(guān)于角的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角B．∠AOC也可以用∠O來(lái)表示C．∠β表示的是∠BOCD．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠AOC，∠BOC題型二角的計(jì)數(shù)問(wèn)題【例3】如圖所示，在已知角內(nèi)畫(huà)射線(xiàn)，畫(huà)1條射線(xiàn)，圖中共有多少個(gè)角?畫(huà)2條射線(xiàn)，圖中共有多少個(gè)角?畫(huà)3條射線(xiàn)，圖中共有多少個(gè)角?畫(huà)n條射線(xiàn)，圖中共有多少個(gè)角?題型三角的單位及其換算【例4】度,分，秒的計(jì)算①56°18′＋72°48′＝；

②131°28′－51°32′15″＝;③12°30′20″2＝;④12°31′21″3＝題型四鐘面上角的特征【例5】鐘表上在2時(shí)和3時(shí)之間(包括2時(shí),3時(shí))分針和時(shí)針有多少次夾角為90°的機(jī)會(huì)?求出此時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間.針對(duì)練習(xí)11.如圖所示，下列說(shuō)法情誤的是(

)A.∠DAO就是∠DAC

B.∠COB就是∠O

C.∠2就是∠OBC

D.∠CDB就是∠1第1題圖第3題圖第6題圖2.下列語(yǔ)句正確的是(

)A.一條直線(xiàn)可以看成一個(gè)平角

B.周角是一條射線(xiàn)

C.角是由條射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成的

D.角是由公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形3.如圖，以O(shè)為頂點(diǎn)且小于180”的角有(

)A.7個(gè)

B.8個(gè) C.9個(gè)

D.10個(gè)4.下列式子中錯(cuò)誤的是(

)

A.38.78°＝38°46′48″

B.50°42′＝

50.7°C.98°45′＋2°35′＝101°20′

D.108°18′－57°23′＝51°55′ 5.鐘表在4點(diǎn)10分時(shí)，它的時(shí)針和分針?biāo)纬傻匿J角度數(shù)是(

)A.65°

B.75°

C.85°

D.90° 6.如圖，∠1還可以用什么方法表示?若∠1＝62°9′36″，那么62°9′35″等于多少度?7.計(jì)算:（1）48°39′＋67°31′－21°17′；（2）23°53′3－107°43′5.8.鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針與分針?biāo)傻慕?。如圖，在鐘面上，點(diǎn)O為鐘面的圓心，圖中的圈我們稱(chēng)之為鐘面圓.為便于研究，我們規(guī)定鐘面圈的半徑OA表示時(shí)針，半徑OB表示分針，它們所成的鐘面角為∠AOB;本題中所提到的角都不小于0°，且不大于180°，本題中所指的時(shí)刻都介于0點(diǎn)整到12點(diǎn)整之間.（1）時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

,分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為

；（2）8點(diǎn)整，鐘面角∠AOB＝

，鐘面角與此相等的整點(diǎn)還有：

點(diǎn)；(3)如圖，設(shè)半徑OC指向12點(diǎn)方向，在圖中畫(huà)出6點(diǎn)12分時(shí)半徑OA,OB的大概位置，并求出此時(shí)∠AOB的度數(shù).9.某人下午6點(diǎn)到7點(diǎn)之間外出購(gòu)物.出發(fā)和回來(lái)時(shí)發(fā)現(xiàn)表上的時(shí)針和分針的夾角都為110°，此人外出購(gòu)物共用了多少分鐘?【板塊二】角的比較與運(yùn)算方法技巧1.角的大小比較法有:疊合法.度量法,推理法.2.一副三角板能畫(huà)出小于平角的角有15°，30°，45°，60°,75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°；3.角的n等分線(xiàn)，利用角的等量關(guān)系結(jié)合角的和差進(jìn)行計(jì)算.題型一角的大小比較【例6】如圖，射線(xiàn)OC,OD是∠AOB內(nèi)兩條射線(xiàn).(1)比較大小:∠AOB∠AOC;(2)若∠AOC＝∠BOD.求證:∠BOC－∠AOD;題型二

角的和差【例7】如圖，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOB：∠AOD＝5：17.求∠AOB

與∠COD的度數(shù).【例8】如圖，是一副特制的三角板,用它們可以看出一些特殊角.在54°，60°，63°，72°，99°，120°，144°，150°，

153°，171°的角中,能畫(huà)出的角有多少個(gè)?題型三n等分線(xiàn)【例9】如圖,OE為∠AOD的平分線(xiàn)，∠COD＝∠EOC,∠COD＝20°,求:①∠EOC的大小；②∠AOD的大小.題型四證明角平分線(xiàn)【例10】如圖，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠AOC＝50°.OD平分∠AOC,∠DOE＝90°.(1)求∠BOD的度數(shù);(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明OE是否平分∠BOC.針對(duì)練習(xí)21.用一副三角板(兩塊)畫(huà)角，不可能畫(huà)出的角的度數(shù)是（C）

A.135° B.75° C.55°

D.15° 2如圖，是一副特制的三角板用它們可以畫(huà)出一些特殊角.在下列選項(xiàng)中，不能畫(huà)出的角度是(B

)A.18° B.55° C.63° D.117°3.已知∠A0B＝80°,OE,OC分別平分∠AOD與∠BOD,∠COD＝15°,求∠DOE的度數(shù).4.(1)如圖1，射線(xiàn)OC,OD在∠AOB的內(nèi)部，射線(xiàn)OM,ON分別平分∠AOD,∠BOC,且∠BON＝50°,∠AOM＝40°.∠COD＝30°,求∠AOB的度數(shù);(2)如圖2.射線(xiàn)OC,OD在∠AOB的內(nèi)部，射線(xiàn)OM,ON分別平分∠AOD,∠BOC,

且∠AOB＝150°，∠COD＝30°,求∠MON的度數(shù).5.己知∠AOB＝160°.∠COE＝80°,OF平分∠AOE.(1)如圖1.若∠COF＝14°.求∠BOE的度數(shù)，(2)當(dāng)射線(xiàn)OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，探究∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由，(3)在(2)的條件下，如圖3，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線(xiàn)OD.使得∠BOD＝90°.且∠DOF＝3∠DOE?若存在，請(qǐng)求出∠COF的度數(shù):若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.【板塊三】余角與補(bǔ)角方法技巧1．余角與補(bǔ)角是指數(shù)量關(guān)系，不是指位置關(guān)系；2．求一個(gè)角的余角或補(bǔ)角，應(yīng)從數(shù)量關(guān)系入手，若該角不是特殊角，需設(shè)未知數(shù)，計(jì)算角再找余角或補(bǔ)角；3．善于利用余角或補(bǔ)角的性質(zhì)得出相等的角；4．理解方位角時(shí)注意觀察點(diǎn)及觀察方位題型一余角與補(bǔ)角的定義【例11】如果一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角度數(shù)的3倍少10°，求這個(gè)角的度數(shù).題型二利用余角或補(bǔ)角的性質(zhì)得角相等【例12】一條直線(xiàn)AB上有一點(diǎn)O，∠AOM＝90°，另有直角∠COD在平角∠AOB內(nèi)左右擺動(dòng)(OC與OA，OD與OB不重合)，在擺動(dòng)時(shí)，除直角外，保持相等的角有幾對(duì)？題型三求幾何圖形中互余或互補(bǔ)角的個(gè)數(shù)【例13】∠α和∠β互補(bǔ)，∠α＞∠β，則下列式子中可以表示∠β余角的有:①90°－∠β；②∠α－90°；③(∠α＋∠β)；④(∠α－∠β).【例14】如圖，AB，CD交于點(diǎn)O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°.(1)求∠AOE的度數(shù)；(2)請(qǐng)寫(xiě)出∠AOC在右圖中的所有補(bǔ)角__________；(3)射線(xiàn)OP從OB出發(fā)以20°／秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OC，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤13)．求t為何值時(shí)，∠COP＝∠AOE＋∠DOP.題型四方位角【例15】如圖，直線(xiàn)SN與直線(xiàn)WE相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)ON表示正北方向，射線(xiàn)OE表示正東方向．已知射線(xiàn)OB的方向是南偏東60°，射線(xiàn)OC在∠NOE內(nèi)，且∠NOC與∠BOS互余，射線(xiàn)OA平分∠BON，圖中與∠COA互余的角有哪幾個(gè)?針對(duì)練習(xí)31．若一個(gè)角的余角是它的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)為()A．30° B．45° C．60 °D．90° 2．如圖，AOB是一條直線(xiàn)，∠AOC＝60°，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線(xiàn)，則圖中互補(bǔ)的角有()A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)3．如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．(1)求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；(2)請(qǐng)求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說(shuō)明理由．4．如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，射線(xiàn)OF，OD分別是∠AOE，∠BOE的角平分線(xiàn)．(1)請(qǐng)寫(xiě)出∠EOF的所有余角：；(2)請(qǐng)寫(xiě)出∠DOE的所有補(bǔ)角：；(3)若∠AOC＝∠FOB，求∠COE的度數(shù)；5.如圖①，∠AOB＝∠COD＝90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.(1)已知∠BOC＝20°，且∠AOD小于平角，求∠MON的度數(shù)；(2)若(1)中∠BOC＝α，其它條件不變，求∠MON的度數(shù)；(3)如圖②，若∠BOC＝α，且∠AOD大于平角，其它條件不變，求∠MON【板塊四】數(shù)學(xué)思想方法與角方法技巧1.運(yùn)用整體思想求角，善于設(shè)未知數(shù)導(dǎo)角2運(yùn)用方程思想求角，注意設(shè)未知數(shù)的技巧；設(shè)小角表示大角；設(shè)關(guān)鍵角，表示其它角；3.運(yùn)用分類(lèi)討論思想求角，無(wú)圖形的題目一定要考慮是否有多解的情形.題型一用整體思想求角【例16】如圖，∠AOC＝100°，∠BOD＝40°，射線(xiàn)OM在∠AOB內(nèi)部，射線(xiàn)ON在∠COD內(nèi)部，∠AOB＝4∠AOM，∠COD＝4∠CON，求∠MON的度數(shù)題型二運(yùn)用方程思想求角【例17】如圖，∠AOC與∠BOC互余，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE.(1)若∠AOD＝75°，求∠AOE的度數(shù).(2)若∠DOE＝54°，求∠EOC的度數(shù).題型三運(yùn)用分類(lèi)討論思想求角【例18】如圖，已知∠AOB＝90°，以O(shè)為頂點(diǎn)，OB為一邊畫(huà)∠BOC，若∠BOC＝a（0°＜a＜90°），∠AOC與∠BOC的平分線(xiàn)分別為OM，ON，求∠MON的度數(shù).針對(duì)練習(xí)41．如圖所示，∠AOB：∠BOC：∠COD＝4：5：3，OM平分∠AOD，∠BOM＝20°，求∠AOD和∠MOC．2．如圖，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線(xiàn)，OE是∠BOC內(nèi)靠近OB的三等分線(xiàn)，OF是∠AOC內(nèi)靠近OA的三等分線(xiàn)，OM是∠AOB的平分線(xiàn)，∠COM比它的余角少30°.（1）求∠COM的度數(shù)；（2）求∠AOF－∠BOE的值.3．在同一平面內(nèi)，若∠AOB＝50°，∠AOC＝40°，∠BOD＝30°，求∠DOC的度數(shù)．圖1備用圖1備用圖2備用圖34．已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB內(nèi)部且∠COD＝60°．（1）如果作OE平分∠BOC，如圖1，求證：∠AOC＝2∠DOE；（2）如果在∠AOB的外部分別作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，如圖2，求證：圖1圖2【板塊五】角平分線(xiàn)專(zhuān)題方法技巧已知角平分線(xiàn)時(shí)，一定要考慮部分角與整體角之間的關(guān)系，當(dāng)角的度數(shù)未知時(shí)往往設(shè)未知數(shù)，列方程求角，或?qū)Ы牵ㄆ渌怯迷撐粗獢?shù)表示）．題型一單角平分線(xiàn)與方程【例19】如圖，BD平分∠ABC，BE將∠ABC分成3:5兩部分，∠DBF＝15°，求∠ABC的度數(shù)．題型二雙角平分線(xiàn)（不交叉型）與整體思想求解【例20】如圖，∠AOB＝α，∠BOC＝β，射線(xiàn)OM是∠AOC的平分線(xiàn)，射線(xiàn)ON是∠BOC的平分線(xiàn)，求證：∠MON＝∠AOB題型三雙角平分線(xiàn)（交叉型）與整體思想，方程思想求解【例21】如圖，已知∠AOB＝120°，射線(xiàn)OA繞點(diǎn)O以每秒6°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OP，設(shè)射線(xiàn)OA旋轉(zhuǎn)到OP所用的時(shí)間為t秒(t＜30）．如圖1，直接寫(xiě)出∠BOP＝（用含t的式子表示）；若OM平分∠AOP，ON平分∠BOP當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到如圖1所示OP處，請(qǐng)完成作圖并求∠MON的度數(shù)；②當(dāng)OA旋轉(zhuǎn)到如圖2所示OP處，若2∠BOM＝3∠BON，求t的值．圖1圖2針對(duì)練習(xí)5如圖∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB。若∠COD＝18°，求∠AOB的度數(shù)；請(qǐng)畫(huà)出∠AOC的角平分線(xiàn)OE，試猜想∠DOE與∠AOC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD內(nèi)的射線(xiàn)．如圖1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，當(dāng)OB繞點(diǎn)O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求∠MON的大??；（2）如圖2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，當(dāng)∠BOC繞點(diǎn)O在∠AOD內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)求∠MON的大?。唬?）在（2）的條件下，若∠AOB＝10°，當(dāng)∠BOC在∠AOD內(nèi)繞點(diǎn)O以2°/秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒時(shí)，∠AOM：∠DON＝2:3，求t的值．圖1圖23．如圖，平面上順時(shí)針排列射線(xiàn)OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，∠AOD為鈍角，且∠AOB：∠COD＝2:3，射線(xiàn)OM，ON分別平分∠AOC，∠AOD．如圖1，若∠AOD＝150°，求∠AOB和∠CON的度數(shù)；如圖2，當(dāng)∠AOD的大小發(fā)生改變時(shí)，∠AOM和∠AON之間是否存在著固定的等量關(guān)系？如果存在，求出它們之間的等量關(guān)系；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．在（1）的條件下，與∠AOB重合的∠A1OB1(OA1，OB1的對(duì)應(yīng)邊分別是OA，OB）繞點(diǎn)O以每秒9°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與此同時(shí)與∠COD重合的∠C1OD1(OC1，OD1的對(duì)應(yīng)邊分別是OC，OD）繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則∠A1OB1第一次在∠C1OD1內(nèi)部時(shí)持續(xù)了秒．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）圖1圖24.已知：∠AOB，∠EOF，∠COD為共頂點(diǎn)三個(gè)角．如圖1，∠AOB＝100°，∠EOF＝140°，若OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，求∠MON的大??；

（2）∠AOB＝100°，∠EOF＝140°，將∠EOF逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，使得OF平分∠BOC，OE平分∠AOD（此時(shí)∠AOD大于180°），求∠COD的大小；（3）當(dāng)∠AOB，∠EOF，∠COD繞頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖3所示位置時(shí)，剛好OD平分∠FOE，OC平分∠AOB，問(wèn)：此時(shí)∠COD，∠AOF，∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明．圖1圖2圖3【板塊六】角的旋轉(zhuǎn)專(zhuān)題方法技巧1.角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題關(guān)注旋轉(zhuǎn)方向（順時(shí)針還是逆時(shí)針）；2.旋轉(zhuǎn)角超過(guò)180°時(shí)角的內(nèi)部與外部發(fā)生變化；3.解決角的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)往往用字母參數(shù)表示有關(guān)角．題型一旋轉(zhuǎn)時(shí)角的內(nèi)部與外部沒(méi)發(fā)生變化【例22】如圖1，∠AOB＝120°，∠COE＝60°，OF平分∠AOE.若∠COF＝20°，則∠BOE＝；將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2位置，求∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系；在（2）的條件下，在∠BOE的內(nèi)部是否存在射線(xiàn)OD，使∠DOF＝3∠DOE，且∠BOD＝70°？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖2題型二旋轉(zhuǎn)時(shí)角的內(nèi)部與外部發(fā)生變化【例23】如圖1，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作射線(xiàn)OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線(xiàn)OB上，另一邊ON在直線(xiàn)AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．問(wèn)：此時(shí)直線(xiàn)ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線(xiàn)ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖3，使ON在∠AOC的內(nèi)部，求∠AOM—∠AOC的值．圖1圖2圖3

題型三旋轉(zhuǎn)過(guò)程中分類(lèi)討論角的內(nèi)部與外部變化的臨界點(diǎn)

【例24】如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線(xiàn)上，∠AOD＝∠DOC＝60°，射線(xiàn)OP開(kāi)始與OB重合，OP以每秒10°的速度順時(shí)針繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，試問(wèn)旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，∠DOP－∠COP＝20°?

針對(duì)練習(xí)6

1．如圖1，O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)OC，∠AOC＝30°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，邊ON在射線(xiàn)OA上，另一邊OM與OC都在直線(xiàn)AB的上方，現(xiàn)將圖中的三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．

（1）如圖2，經(jīng)過(guò)t秒后，線(xiàn)段OM恰好平分∠BOC，此時(shí)∠OOM＝75°；∠AON＝15°；t＝5秒；

（2）在(1)的條件下，線(xiàn)段ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖3，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線(xiàn)OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間OC平分∠MON?

2．己知:如圖1，∠AO