高三一輪復(fù)習(xí) 二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)題型全歸納（解析版）

二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)題型全歸納

■型■求特定項(xiàng)系數(shù)

例題1、在（X■加）4的展開式中，小的系數(shù)為（）

A.6B.12C.24D.48

【解答】展開式的通項(xiàng)公式為產(chǎn)勺產(chǎn)一肥）工由4-女=2得&=2,

得小=C32（?W）2=2X67=12?,即/的系數(shù)為12,故選：B.

[解題技法]

（1）二項(xiàng)式定理展開式：（a+bS'=+C\an-Kb+C^an~2b2+...+Qan~rbr+.

①展開式共有（n+1）項(xiàng)；

②。是降暴變化，人是升寐變化；

③。和b的次數(shù)相加等于n;

nrr

（2）第2+1項(xiàng):7；+1=C[a-b

（3）理解幾個(gè)公式及變化：

1I_1II

①E=上；x-n=—；xw=-^=-^=：

XXM;五

xn

2__m

變式訓(xùn)練1、（x+1）5的展開式中X的系數(shù)為（）

A.1B.5C.10D.15

【解答】（/1）5的展開式中x的系數(shù)為c&=5.故選：B.

變式訓(xùn)練2、（2020?深圳模擬）（乂工）7的展開式中小的系數(shù)為（）

x

A.168B.84C.42D.21

【解答】由于（乂工）7的展開式的通項(xiàng)公式為7k]=c；?（?2）T5

則令7?2r=3,求得r=2,可得展開式中丁的系數(shù)為c,4=84,故選：B.

變式訓(xùn)練3、在二項(xiàng)式（1+外6的展開式中，/的系數(shù)為.

【解答】二項(xiàng)式（1+x）6的展開式的通項(xiàng)為T，M=C科；所以7的系數(shù)為c/=15.故答案為：15.

題型二求常數(shù)項(xiàng)

例題2、在6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

VX

A.256B.240C.192D.160

3

【解答】?于的展開式的通項(xiàng)公式為「（r6r

67vH=c9x6?■‘）/=（-2）-Cr-.r^,

由6-昆r=0,可得r=4,即有展開式的常數(shù)項(xiàng)為16X15=240.故選：B.

2

［解題技法］

（1）常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式上不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)，（即未知數(shù)的次數(shù)為零）

（2）求常數(shù)項(xiàng)的步驟：

①寫出通項(xiàng)公式數(shù)字與字母要拆開，單獨(dú)乘方;

②令人?的次數(shù)等亍零，求出廠的值；

③把，的值代入通項(xiàng)公式，即可求出常數(shù)項(xiàng)。

變式訓(xùn)練1、（X4-%-6）1°的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）.

【解答】-I。的展開式中，通項(xiàng)公式為小尸叫.「”）』0.（川

令40-10r=0,解得r=4,所以常數(shù)項(xiàng)是73=c：d（?1）4=210.故答案為：210-

變式訓(xùn)練2、（2021?潮州一模）（/?工）4展開式中常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.

141r

【解答】設(shè)（乂3_工）展開式的通項(xiàng)為丁田，則%］=c”Q/（」_）二

X4X

令12-4/=0得r=3.，開式中常數(shù)項(xiàng)為：（-I）3-3=-.故答案為:-4.

c44

變式訓(xùn)練3、（2021?珠海一模）二項(xiàng)式Q-；）8展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）.

Vx

8士

【解答】通項(xiàng)公式以令8-至■=（）,解得「=6.

7ki=C（-I）zcr3，

88YA3

???常數(shù)項(xiàng)=06=28.故答案為：28.

8

題型三給出系數(shù)求參數(shù)

2

例題3、（ar+1）5的展開式中4的系數(shù)為-80,則。=（）

x

A.-2B.-1C.±1D.±2

【解答】展開式的通項(xiàng)公式為〃+i=Ck（辦）5-k（1）#=c%5-45-2（由5-2A=l得2=2,

5X5

得7b=C直3、則”的系數(shù)為。鋁=-80,得/=-8,a=~2,故選：A.

［解題技法］

首先利用通項(xiàng)公式寫出通過化簡得到x次數(shù)的表達(dá)式，

然后根據(jù)題目給出的某項(xiàng)的系數(shù)，得到對應(yīng)的令x次數(shù)的值，即可求出參數(shù)。

變式訓(xùn)練1、（2020?淄博一模）金+1nx2）5的展開式中/的系數(shù)是-10,則實(shí)數(shù)機(jī)=（）

A.2B.1C.-ID.-2

外（m、2）k=令區(qū)/:5得，-3.

【解答】由題意得T1n

**,m3Ce=-10,???〃?=-1?故選：C.

變式訓(xùn)練2、（2020?東莞市模擬）已知a>0,（x+亙產(chǎn)的展開式中x的系數(shù)是160,那么。=（）

x

A.16B.8C.4D.2

【解答】..?（xe）5的展開式通項(xiàng)為丁北卜2人-1/一幺我一2膻=0,1,,3,4,5），

YK?1UU2

222

3C1Oa=O

令5-22=1,得女=2,所以由己知得5±16所以$=16,又a>0,

所以4=4.故選：C.

變式訓(xùn)練3、（2020?韶關(guān)二模）若a+包）5的展開式中』的系數(shù)為-80,則實(shí)數(shù)〃=（）

XX

A.2B.1C.-2D.-1

【解答】二項(xiàng)展開式G+旦）5的通項(xiàng)丁用二凸公5".（包）?小臚?產(chǎn)2「；令5-2r=-1可得r=3；

xx5

33

/.flC5=-80：：,a=-2.故選：C.

題型四二項(xiàng)式系數(shù)和

3

例題4、（2020秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知（x-g）11的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)

X

為（）

A.-224B.-56C.168D.112

【解答】???展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,，2"=256,所以〃=8,

展開式的通項(xiàng)TrxCx&r（白）「啕（-2），卜牝

選

故

令8-4廠=0,得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為T3。

［解題技法］

二項(xiàng)式系數(shù)（即C>r=0,1,2,…），要會(huì)區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)；

（a+Z?）"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2";奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和，都為2"二

變式訓(xùn)練1、（2021?湖南模擬）已知（?—2）。的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為512,則這個(gè)展開式中

第（）項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng).

A.3B.4C.5D.6

【解答】由題設(shè)可得：2〃=512,解得：〃=9,

9-r9-3r

J(4工產(chǎn)的展開式的通項(xiàng)公式為?(-2)\"=c6?(?2)12,r=0,1,…，9,

令殳乏=0,解得：〃=3,???八為常數(shù)項(xiàng)，故選：B.

2

變式訓(xùn)練2、二項(xiàng)式（x-且）”的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,且展開式中的常數(shù)項(xiàng)為20,貝

x

【解答】???二項(xiàng)式（X-且）"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,???2"=64,即〃=6.則（廠且）”=（X-A）

XXX

由（李-r，髭『r.由6-2D,得-3.

'（-a）3?C彥=20，即"=7.故答案為：-1.

變式訓(xùn)練3、（2021春?臨澧縣校級(jí)月考）已知（1-2x）〃展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則（1-2為"

的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-14B.-13C.1D.2

【解答】由已知可得2〃"=64,得〃=7,則（I-2x）7展開式的常數(shù)項(xiàng)為。卜（一2幻°」=1,故選：C

題型五系數(shù)和問題

4

例題5、已知（X--=）〃的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為則〃=—,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

2\Tv64

【解答廠?已知（廠―=）〃的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為」令1n

x=l,得（1」）=64,得n=6.

642

故展開式的通項(xiàng)公式為7ki=求得r=4,

11515

C(?-\*4-X-X-

可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為46.XZJ-6:-

2X16X16

［解題技法］

二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和的通常求法是，令x=l;

（〃+〃）"=+ax+ax2+...++axn,令得%++出+...+%為所有系數(shù)之和。

a0］2nx=l,q

變式訓(xùn)練1、若二項(xiàng)式（xf）n展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為64,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

【解答】由已知，令x=l,展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為2"，???2〃=64,???〃=6,

喘r

\-C廣

工二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr^\=C（^716令6-衛(wèi)三=0,解得r=4,

2

???二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)為：C64=15.故答案為：15.

變式訓(xùn)練2、二項(xiàng)式（4——）5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,常數(shù)項(xiàng)為

Vx

55r

【解答】令x=l可知所有項(xiàng)的系數(shù)之和為：/（I）=0,由Tr+jCK-l）7萬丁.

可知，當(dāng)r=3,常數(shù)項(xiàng)為八=-10.故答案為：0,-10.

變式訓(xùn)練3、已知（/+旦）〃的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,且各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中V

x

的系數(shù)為（）

A.20B.30C.40D.80

【解答】由題意可得：2〃=32,（1+4）"=243.解得八=5,a=2.

k

???G3金）5的展開式的通項(xiàng)公式為：T<-+i=C（/）5"（2盧=2人心產(chǎn)啊

x5乂5

令15-4左=3,解得&=3.???展開式中2的系數(shù)=8。3=80.故選：D.

5

題型六二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)

5

例題6、在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中金的系數(shù)為（)

2

A.-7B.C.更D.7

88

n

【解答】根據(jù)題意，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即虐■最大，即2+1=5,解得〃=8，

n2

所以通項(xiàng)為：Tk+廣%/*（名盧=箕吟

2

令4玲=5得=2?故小的系數(shù)為：（-^-）C1=7,故選：。.

［解題技法］

若二項(xiàng)式展開的項(xiàng)數(shù)有奇數(shù)項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)就是最中間一項(xiàng)；

若二項(xiàng)式展開的項(xiàng)數(shù)有偶數(shù)項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)就是最中間的兩項(xiàng)，且它們的相等的。

變式訓(xùn)練1、在二項(xiàng)式收2）八的展開式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

X

A.-360B.-160C.160D.360

【解答】???展開式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.??展開式共有7項(xiàng)，則〃=6,

則展開式的通項(xiàng)公式為TgFil6-2^=0得2=3,

即常數(shù)項(xiàng)為八=（-2）3c3=-160,故選：B.

6

變式訓(xùn)練2、在（x-2）”的展開式中，只有第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則含x項(xiàng)的系數(shù)等于（）

A.-32B.-24C.8D.4

【解答】由己知得：〃為偶數(shù)，且n+1=3,故〃=4.所以該二項(xiàng)式為（尸2）4,

2

3

所以展開式的通項(xiàng)為1卜+1x4T（-2）瓦令47=1得2=3,該項(xiàng)系數(shù)為（-2）C^=-32-故選：兒

變式訓(xùn)練3、（2021?江西模擬）在G+旦）〃的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)

x

和為0,則含『的項(xiàng)系數(shù)為（）

A.45B.-45C.120D.-120

【解答】???在（肝且）”的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，???〃=10,又有項(xiàng)的系數(shù)和為0,

x

，令X=l,有（1+4）10=0,解得：61=-1,/.（JC+—）”的展開式的通項(xiàng)公式為

X

（-2）-I）r=0,1,…，10,

令10?2r=6,可得r=2,???含/的項(xiàng)系數(shù)為￡=45,故選：A.

6

題型七二項(xiàng)式系數(shù)相等

例題7、（2021?貴溪市校級(jí)三模）已知（1+x）”的展開式中，第三項(xiàng)與第十項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則二項(xiàng)式

系數(shù)和為（）

A.212B.211C.210D.29

【解答】由已知得C2=所以〃=11,則二項(xiàng)式為（1+x）”,所以二項(xiàng)式系數(shù)和為2”，故選：B.

n

［解題技法］

根據(jù)通項(xiàng)公式，很廠+1項(xiàng)是乙=C：/如：第4項(xiàng)是=C；a~3b3；

二項(xiàng)式系數(shù)的有理項(xiàng)是指x的次數(shù)是整數(shù)。

變式訓(xùn)練1、（2021?南通模擬）在（44）”的展開式中，第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則系數(shù)最

大的有理項(xiàng)是（）

A.第3項(xiàng)R.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)TX第6項(xiàng)

【解答】由已知可得=則〃=力所以二項(xiàng)式（五二?）7的展開式的通項(xiàng)公式為：

7-3r

小二中校產(chǎn)/與^^萬二當(dāng)華為整數(shù)時(shí)一二一，5,7,

X乙

當(dāng)『時(shí)，乂一、乂

72=C1X2=7X2,3357，

-4

當(dāng)，=5時(shí)，76=C5X=21X^當(dāng)一時(shí)，7/

所以有理項(xiàng)的系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng)，故選：B.

變式訓(xùn)練2、（2021春?費(fèi)州月考）已知二項(xiàng)式（X」）11的展開式中，第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，

x

則〃=（）

A.6B.5C.4D.3

【解答】???第二項(xiàng)和第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C1=C3,故〃=4,故選：C.

vn

變式訓(xùn)練3、已知（。+力）2M的展開式的笫4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（2x-1）〃展開式中小的系

數(shù)為（）

A.80B.40C.-40D.-80

【解答】（a+b）2M的展開式第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以=C］，得3+7=2〃，得〃=5,

v2nv2r

則⑵-1）5的展開式中小的系數(shù)為（_1）2.犬?23=80?故選：兒

0

7

［跟蹤檢測］

1.（2021秋?洛南縣校級(jí)月考）（x—）6展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為—，展開式中常數(shù)項(xiàng)為

【解答】展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為26=64,展開式的常數(shù)項(xiàng)為（,）3=-20,

6x

故答案為：64,-20.

2.（2021春?廣安期末）（2x?1）7的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是

【解答】令x=l得，各項(xiàng)系數(shù)和為（2-1）7=1,故答案為：1

3.（2021?柯橋區(qū)模擬）設(shè)二項(xiàng)式（4一^）6展開中小的系數(shù)為〃?，常數(shù)項(xiàng)為〃，則川=—,〃

、x

-2）一酊善。

【解答】展開式的通項(xiàng)公式為/+i=C［（Vx>6

46

CO-

野力由3-&=3得2=0,即/的系數(shù)為m=6

由37=0得友=3,即常數(shù)項(xiàng)為〃=磴（-2）3=-160,故答案為：1,-160.

4.（2021?長寧區(qū)校級(jí)開學(xué)）二項(xiàng)式（工-x）7的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為___.

x

【解答】???二項(xiàng)式（工_乂）7的展開式的通項(xiàng)公式為小戶gd）7r（?幻「=（7）七>”，

令2「-7=3,解得r=5,工含/項(xiàng)的系數(shù)是（?1）5?-21.故答案為：?21.

5.（2021?靜海區(qū)校級(jí)開學(xué)）在餞的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是

4

【解答】通項(xiàng)公式為%|=6貨產(chǎn)?

令8-￡=0,則r=6,所以常數(shù)項(xiàng)為（7）「?d）8r?%=（7）6=7.故答案為：7.

6.（2021秋?天河區(qū)月考）（乂2++2）5的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為一.（壓數(shù)字作答）

【解答】（乂2++2）5=GJ）”，展開式的通項(xiàng)公式為T「+i=4/"°”丁「=（：；/1卜2L

令10?2r=0,解得r=5,故常數(shù)項(xiàng)為C；『252?故答案為：252.

7.（2021春?浙江期中）在（工+2?）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為—（用數(shù)字作答），有理項(xiàng)共有一項(xiàng).

6-

【解答】（++2?）的展開式的通項(xiàng)為與+1=鳧（與—?（24）1=2'鳧7

8

令會(huì)—6=0，則r=4，故常數(shù)項(xiàng)為24XC，=240，令r=0，1，2,3,4,5,6,

可得3=6=-6,8,-3,-3，0,S,3,其中整數(shù)項(xiàng)有4項(xiàng)，

2222

故彳的哥指數(shù)為整數(shù)有4項(xiàng)，即有理項(xiàng)有4項(xiàng).故答案為：240,4.

8.（2021?青銅峽市校級(jí)開學(xué)）若a-2）”的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15,則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)

2

之和為

【解答】???（X-』）〃的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15,???C2=15,解得〃=6,

2n10

???展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為（1」）6L.故答案為：-L

26464

9.（2021?渝中區(qū)校級(jí)開學(xué)）二項(xiàng)式（x?」）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為

VX

1

k4

t解答】由題意，Tk+}~C-^-<--P-）*-（7）%加?0式2,

6Mx6

令6?h區(qū)=0得，*=4,故二項(xiàng)式（廠3）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（?1）九4=15,

2Vx6

故答案為：15.

10.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在（工一2乂）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為—.

x

【解答】（工_2乂）6的展開式的通項(xiàng)公式T，二比一工）6/（-2）丫=（-2）「C?2/6

Xr+16X6

令2-6=0,解得r=3,故展開式中常數(shù)項(xiàng)為（-2）3或=-160.故答案為：760.

21

11.（2021?南明區(qū)校級(jí)模擬）二項(xiàng)式Q-工）6（1n＞0）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為60,則加=—

mx

2

【解答】???，=▲△,.,?展開式的常數(shù)為c“二）2.（＞1）4=以3二6。，

b2

xx°mxm

所以1n2」，因?yàn)闄C(jī)＞0,所以故答案為：

m422

12.（2021春?延慶區(qū)期末）若小吟）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為30,則常數(shù)。的值為

【解答】（x吟）6的展開式的通項(xiàng)公式為'段）「=，備/今，

2

C2-

令6-3r=0,可得r=2,所以收吟）⑥的展開式中常數(shù)項(xiàng)為630

解得〃=±加.故答案為：士行.

13.（2021?天津）在（2?+工）6的展開式中，彳6的系數(shù)是

9

【解答】（2?+1）6的展開式的通項(xiàng)公式為小產(chǎn)鳧（2?）6-，3）r=c36-8",

令18-4r=6,解得r=3,所以4的系數(shù)是嚕3=脩。.故答案為：160.

14.（2021春?虹口區(qū)期末）在（C）6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）.

x

cr

【解答】在（戶』）6的二項(xiàng)展開式中.通項(xiàng)公式為T+=6?X62r

X

令6-2D,求得r=3,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為：或=20,故答案為：20.

15.（2021?江西模擬）已知二項(xiàng)式（x-3）n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為32.則該展開式中含/項(xiàng)的