福建省南平市吳屯中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

/福建省南平市吳屯中學(xué)高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于向量、、和實(shí)數(shù)λ，下列正確的是（）A．若?=0，則=0或=0 B．若λ=0，則λ=0或=C．若2=2，則=或=﹣ D．若?=?，則=參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】利用平面向量的幾個(gè)常見(jiàn)的基本概念，對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．【解答】解：對(duì)于A，若時(shí)，?=0也成立；故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，2=2，得到，什么長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，?=?，得到=0，得到或者或者；故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積以及數(shù)乘、模的關(guān)系等；屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)，，則（

）．

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：A4.過(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程；直線的一般式方程．【專題】直線與圓．【分析】由題意判斷出切點(diǎn)（1，1）代入選項(xiàng)排除B、D，推出令一個(gè)切點(diǎn)判斷切線斜率，得到選項(xiàng)即可．【解答】解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（3，1）作圓（x﹣1）2+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點(diǎn)之一為（1，1），顯然B、D選項(xiàng)不過(guò)（1，1），B、D不滿足題意；另一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)在（1，﹣1）的右側(cè)，所以切線的斜率為負(fù)，選項(xiàng)C不滿足，A滿足．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程求法，可以直接解答，本題的解答是間接法，值得同學(xué)學(xué)習(xí)．5.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），那么此幾何體的表面積（單位：cm2）是（）A．102 B．128 C．144 D．184參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知幾何體為正四棱錐，且底面正方形的邊長(zhǎng)為8，斜高為5，代入公式計(jì)算可得答案．【解答】解：由三視圖知幾何體為正四棱錐，且底面正方形的邊長(zhǎng)為8，斜高為5，其直觀圖如圖：∴幾何體的表面積S=82+4××8×5=144．故選C．6.下列說(shuō)法正確的是（

）A.鈍角是第二象限角 B.第二象限角比第一象限角大C.大于90°的角是鈍角 D.－165°是第二象限角參考答案：A【分析】由鈍角的范圍判A，C；舉例說(shuō)明B錯(cuò)誤；由-180°＜-165°＜-90°，說(shuō)明-165°是第三象限角．【詳解】解：鈍角的范圍為，鈍角是第二象限角，故A正確；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B錯(cuò)誤；由鈍角的范圍可知C錯(cuò)誤；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查任意角的概念，是基礎(chǔ)題．7.下列各組中兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：B略8.定義運(yùn)算為：如，則函數(shù)的值域?yàn)锳．R B．（0，1] C．（0，+∞）

D．[1，+∞）參考答案：B9.設(shè)D是正及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，若集合，則集合S表示的平面區(qū)域是

(

)A．三角形區(qū)域

B．四邊形區(qū)域

C．五邊形區(qū)域

D．六邊形區(qū)域參考答案：D解析：本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識(shí).本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.屬于創(chuàng)新題型.如圖，A、B、C、D、E、F為各邊三等分點(diǎn)，答案是集合S為六邊形ABCDEF，其中，

即點(diǎn)P可以是點(diǎn)A.

10.下圖是1，2兩組各7名同學(xué)體重（單位：千克）數(shù)據(jù)的莖葉圖。設(shè)1，2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和，標(biāo)準(zhǔn)差依次為和，那么(

)A.<，< B.<，>C.>，> D.>，<參考答案：A【分析】分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，,,.故，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查莖葉圖的識(shí)別，考查樣本平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，運(yùn)算量較大，屬于中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.銳角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，設(shè)AB=3，則AB邊上的高為．參考答案：2+【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】把角放在銳角三角形中，使一些運(yùn)算簡(jiǎn)單起來(lái)，本題主要考查兩角和與差的正弦公式，根據(jù)分解后的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，解方程組，做比得到結(jié)論，同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，換元解方程在直角三角形中，用定義求的結(jié)果【解答】解：銳角△ABC中，sin（A+B）=，sin（A﹣B）=，∴sinAcosB+cosAsinB=…①sinAcosB﹣cosAsinB=…②，∴sinAcosB=，cosAsinB=，∴tanA=2tanB．∵＜A+B＜π，sin（A+B）=，∴cos（A+B）=﹣，tan（A+B）=﹣，即，將tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B﹣4tanB﹣1=0，解得tanB=，∵B為銳角，∴tanB=，∴tanA=2tanB=2+．設(shè)AB上的高為CD，則AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+，故AB邊上的高為2+．故答案為：．12.五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為2，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為3，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2013個(gè)被報(bào)出的數(shù)為

▲

．參考答案：6略13.

設(shè)扇形的半徑長(zhǎng)為10cm，扇形的圓心角為弧度，則該扇形的面積是

.參考答案：514.已知空間兩平面，和兩直線l，m，則下列命題中正確命題的序號(hào)為

．（1），；

（2），；（3），；

（4），.參考答案：（1）（4）對(duì)于（1），由，可得，故（1）正確；對(duì)于（2），由，可得或，故（2）不正確；對(duì)于（3），由，可得或或，故（3）不正確；對(duì)于（4），由，可得，故（4）正確．綜上可得（1）（4）正確．

15.若α，β都是銳角，且cosα=，sin（α一β）=，則cosβ=．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的求值．【分析】由已知角的范圍結(jié)合已知求出sinα，cos（α﹣β）的值，然后利用兩角和與差的余弦得答案．【解答】解：∵0＜α，β，∴，又cosα=，sin（α一β）=，∴sinα=，cos（α一β）=．∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的余弦，關(guān)鍵是“拆角配角”方法的運(yùn)用，是中檔題．16.若過(guò)點(diǎn)P（1，﹣1）作圓x2+y2+kx+2y+k2=0的切線有兩條，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：或【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由題意可知P在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P總可以向圓x2+y2+kx+2y+k2=0作兩條切線，可得12+（﹣1）2+k﹣2+k2＞0，且k2+4﹣4k2＞0，即可得到k的取值范圍．【解答】解：由題意可知P在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)P總可以向圓x2+y2+kx+2y+k2=0作兩條切線，所以12+（﹣1）2+k﹣2+k2＞0，且k2+4﹣4k2＞0解得：或，則k的取值范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握點(diǎn)與圓的位置的判別方法，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．17.已知，則=

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分15分)某特許專營(yíng)店銷售金華市成功創(chuàng)建國(guó)家衛(wèi)生城市紀(jì)念章，每枚進(jìn)價(jià)5元，同時(shí)每銷售一枚這種紀(jì)念章還需向金華市創(chuàng)建國(guó)家衛(wèi)生城市組委會(huì)交特許經(jīng)營(yíng)管理費(fèi)2元，預(yù)計(jì)這種紀(jì)念章以每枚20元的價(jià)格銷售時(shí)該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的價(jià)格在20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷售400枚，而每增加一元?jiǎng)t減少銷售100枚。現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為元。（Ⅰ）寫出該特許專營(yíng)店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲得的利潤(rùn)(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格(元)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域；（Ⅱ）當(dāng)每枚紀(jì)念章的銷售價(jià)格為多少元時(shí)，該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)（元）最大？并求利潤(rùn)的最大值。參考答案：（Ⅰ）由題意可得：

(x∈N)

…………4分且由題意有：，同時(shí)，。所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋骸?/p>

……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）有：(x∈N)①當(dāng)(x∈N)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，在此段有最大利潤(rùn)32400元。

…………10分②又當(dāng)(x∈N)時(shí)，所以當(dāng)或時(shí)，在此段有最大利潤(rùn)27200元。

…………13分綜合①②可知，當(dāng)時(shí)，該特許專營(yíng)店一年內(nèi)利潤(rùn)最大，這個(gè)最大值為32400元。

………………15分19.對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)，若同時(shí)滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域?yàn)閇]，則把（）叫閉函數(shù)．（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說(shuō)明理由；（3）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：

解：（1）由題意，在[]上遞減，則……………2分解得所以，所求的區(qū)間為[-1，1]

……………4分（2）取則，即不是上的減函數(shù)。取，即不是上的增函數(shù)……………7分所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)?！?分（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域?yàn)閇]，即，為方程的兩個(gè)實(shí)根，…9分即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根?！?0分當(dāng)時(shí)，有，解得?！?2分ks5u當(dāng)時(shí)，有，無(wú)解。………14分ks5u

綜上所述，?！?5分略20.在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinB?cosC，試判斷△ABC的形狀．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】第一個(gè)等式變形后，利用余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求出A的度數(shù)，第二個(gè)等式化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，得到B=C，即可確定出三角形形狀．【解答】解：將（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，整理得：（b+c）2﹣a2=3bc，即a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理得：cosA=，∵A為三角形內(nèi)角，∴A=，∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0，∴B﹣C=0，即B=C，∵B+C=，∴A=B=C=，則△ABC為等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．21.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．

(1)求該幾何體的體積V；

(2)求該幾何體的側(cè)面積S。

參考答案：（1）

……6分（2）……12分

22.（共12分）深圳科學(xué)高中大約共有600臺(tái)空調(diào)，空調(diào)運(yùn)行所釋放的氟里昂會(huì)破壞大氣上層的臭氧層.假設(shè)臭氧層含量呈指數(shù)型函數(shù)變化，滿足關(guān)系，其中是臭氧的初始量.(參考數(shù)據(jù))（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明.（2）多少年后將會(huì)有一半的臭氧消失？參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?在上為減函數(shù).

……2分