高中數學圓錐曲線知識點總結（合集5篇）

高中數學圓錐曲線知識點總結（合集5篇）第一篇：高中數學圓錐曲線知識點總結高中數學知識點大全—圓錐曲線一、考點（限考）概要：1、橢圓：（1）軌跡定義：①定義一：在平面內到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡是橢圓，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距，且定長2a大于焦距2c。用集合表示為：；②定義二：在平面內到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。用集合表示為：（2）標準方程和性質：；注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。（3）參數方程：3、雙曲線：（1）軌跡定義：（θ為參數）；①定義一：在平面內到兩定點的距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡是雙曲線，兩定點是焦點，兩定點間距離是焦距。用集合表示為：②定義二：到定點的距離和它到一條定直線的距離之比是個常數e，那么這個點的軌跡叫做雙曲線。其中定點叫焦點，定直線叫準線，常數e是離心率。用集合表示為：（2）標準方程和性質：注意：當沒有明確焦點在個坐標軸上時，所求的標準方程應有兩個。4、拋物線：（1）軌跡定義：在平面內到定點和定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，定點是焦點，定直線是準線，定點與定直線間的距離叫焦參數p。用集合表示為：（2）標準方程和性質：①焦點坐標的符號與方程符號一致，與準線方程的符號相反；②標準方程中一次項的字母與對稱軸和準線方程的字母一致；③標準方程的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，有別于一元二次函數的圖像；二、復習點睛：1、平面解析幾何的知識結構：2、橢圓各參數間的關系請記熟“六點六線，一個三角形”，即六點：四個頂點，兩個焦點；六線：兩條準線，長軸短軸，焦點線和垂線PQ；三角形：焦點三角形各性質（除切線外）均可在這個圖中找到。。則橢圓的3、橢圓形狀與e的關系：當e→0，c→0，橢圓→圓，直至成為極限位置的圓，則認為圓是橢圓在e=0時的特例。當e→1，c→a橢圓變扁，直至成為極限位置的線段也可認為是橢圓在e=1時的特例。4、利用焦半徑公式計算焦點弦長：若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB，A、B兩點的坐標分別為，則弦長，此時這里體現了解析幾何“設而不求”的解題思想。5、若過橢圓左（或右）焦點的焦點弦為AB，則；6、結合下圖熟記雙曲線的：“四點八線，一個三角形”，即：四點：頂點和焦點；八線：實軸、虛軸、準線、漸進線、焦點弦、垂線PQ。三角形：焦點三角形。7、雙曲線形狀與e的關系：，e越大，即漸近線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊。8、雙曲線的焦點到漸近線的距離為b。9、共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線。區(qū)別：三常數a、b、c中a、b不同（互換）c相同,它們共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)椋?。10、過雙曲線點的情況如下：外一點P（x,y）的直線與雙曲線只有一個公共（1）P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；（2）P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；（3）P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；（4）P為原點時不存在這樣的直線；11、結合圖形熟記拋物線：“兩點兩線，一個直角梯形”，即：兩點：頂點和焦點；兩線：準線、焦點弦；梯形：直角梯形ABCD。12、對于拋物線上13、拋物線則有如下結論：的點的坐標可設為的焦點弦（過焦點的弦）為AB，且，以簡化計算；，14、過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線；15、處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點問題常用代點相減法：即設為曲線上不同的兩點，是的中點，則可得到弦中點與兩點間關系：16、當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理，即把直線方程代入曲線方程，消元后，用韋達定理求相關參數（即設而不求）；二是點差法，即設出交點坐標，然后把交點坐標代入曲線方程，兩式相減后，再求相關參數。在利用點差法時，必須檢驗條件△＞0是否成立。5、圓錐曲線：（1）統一定義，三種圓錐曲線均可看成是這樣的點集：為定點，d為點P到定直線的l距離，e為常數，如圖。，其中F（2）當0＜e＜1時，點P的軌跡是橢圓；當e＞1時，點P的軌跡是雙曲線；當e=1時，點P的軌跡是拋物線。（3）圓錐曲線的幾何性質：幾何性質是圓錐曲線內在的、固有的性質，不因為位置的改變而改變。①定性：焦點在與準線垂直的對稱軸上ⅰ橢圓及雙曲線：中心為兩焦點中點，兩準線關于中心對稱；ⅱ橢圓及雙曲線關于長軸、短軸或實軸、虛軸為軸對稱，關于中心為中心對稱；ⅲ拋物線的對稱軸是坐標軸，對稱中心是原點。②定量：（4）圓錐曲線的標準方程及解析量（隨坐標改變而變）以焦點在x軸上的方程為例：6、曲線與方程：（1）軌跡法求曲線方程的程序：①建立適當的坐標系；②設曲線上任一點（動點）M的坐標為(x,y)；③列出符合條件p(M)的方程f(x,y)=0；④化簡方程f(x,y)=0為最簡形式；⑤證明化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上；（2）曲線的交點：由方程組確定，方程組有幾組不同的實數解，兩條曲線就有幾個公共點；方程組沒有實數解，兩條曲線就沒有公共點。第二篇：完美版圓錐曲線知識點總結圓錐曲線的方程與性質1．橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點、的距離的和等于常數2（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。橢圓的標準方程為：（）（焦點在x軸上）或（）（焦點在y軸上）。注：①以上方程中的大小，其中；②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓（，）當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。（2）橢圓的性質①范圍：由標準方程知，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，且，即；④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率?！?，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。2．雙曲線（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線（）。注意：①式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支；時為雙曲線的另一支（含的一支）；②當時，表示兩條射線；③當時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。（2）雙曲線的性質①范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。②對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。⑤等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為：，當時交點在軸，當時焦點在軸上。⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同（互換）相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3．拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是；（2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.高考數學圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點P0(x0,y0)在曲線C上f(x0,y0)=0；點P0(x0,y0)不在曲線C上f(x0,y0)≠0。兩條曲線的交點：若曲線C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點P0(x0,y0)是C1，C2的交點{方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒有交點。二、圓：1、定義：點集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定點O為圓心，定長r為半徑.2、方程：(1)標準方程：圓心在c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2)一般方程：①當D2+E2-4F＞0時，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為半徑是。配方，將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化為(x+)2+(y+)2=②當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-,-);③當D2+E2-4F＜0時，方程不表示任何圖形.（3）點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x0,y0)，則｜MC｜＜r點M在圓C內，｜MC｜=r點M在圓C上，｜MC｜＞r點M在圓C內，其中｜MC｜=。（4）直線和圓的位置關系：①直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交有兩個公共點；直線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。②直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離與半徑r的大小關系來判定。三、圓錐曲線的統一定義：平面內的動點P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數e(e＞0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數e稱為離心率。當0＜e＜1時，軌跡為橢圓；當e=1時，軌跡為拋物線；當e＞1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線：橢圓雙曲線拋物線定義1．到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（01．到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡2．與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距離相等的點的軌跡.軌跡條件點集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a}.點集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.點集{M｜｜MF｜=點M到直線l的距離}.圖形方程標準方程(>0)(a>0,b>0)參數方程(t為參數)范圍─a￡x￡a，─b￡y￡b|x|3a，y?Rx30中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)(a,0),(─a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0)準線x=±準線垂直于長軸，且在橢圓外.x=±準線垂直于實軸，且在兩頂點的內側.x=-準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.焦距2c（c=）2c（c=）離心率e=1【備注1】雙曲線：⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.【備注2】拋物線：（1）拋物線=2px(p>0)的焦點坐標是(,0)，準線方程x=-，開口向右；拋物線=-2px(p>0)的焦點坐標是(-,0)，準線方程x=，開口向左；拋物線=2py(p>0)的焦點坐標是(0,)，準線方程y=-，開口向上；拋物線=-2py（p>0）的焦點坐標是（0,-），準線方程y=，開口向下.（2）拋物線=2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離；拋物線=-2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離（3）設拋物線的標準方程為=2px(p>0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為，頂點到準線的距離，焦點到準線的距離為p.（4）已知過拋物線=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長=+p或(α為直線AB的傾斜角)，(叫做焦半徑).五、坐標的變換：（1）坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程.（2）坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。（3）坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M，它在原坐標系xOy中的坐標是（x,y)，在新坐標系x′O′y′中的坐標是.設新坐標系的原點O′在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則或叫做平移(或移軸)公式.（4）中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表：方程焦點焦線對稱軸橢圓+=1(±c+h,k)x=±+hx=hy=k+=1(h,±c+k)y=±+kx=hy=k雙曲線-=1(±c+h,k)x=±+kx=hy=k-=1(h,±c+h)y=±+kx=hy=k拋物線(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h,+k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,-+k)y=+kx=h六、橢圓的常用結論：1.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.2.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5.若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6.若在橢圓外，則過作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7.橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8.橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式,(,).9.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.10.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.11.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12.若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是；【推論】：1、若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是。橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點，，則.4、設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記，，則有.5、若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0＜e≤時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7、橢圓與直線有公共點的充要條件是.8、已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9、過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知橢圓（a＞b＞0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.11、設P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12、設A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，，，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13、已知橢圓（a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17、橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結論：1、點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的內角.2、PT平分△PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4、以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）5、若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6、若在雙曲線（a＞0,b＞0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7、雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8、雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,）當在右支上時，,；當在左支上時，,。9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MF⊥NF.10、過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q,A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.11、AB是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13、若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.【推論】：1、雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2、過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3、若P為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1,F2是焦點，，則（或）.4、設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記，，則有.5、若雙曲線（a＞0,b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1＜e≤時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6、P為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7、雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點的充要條件是.8、已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9、過雙曲線（a＞0,b＞0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10、已知雙曲線（a＞0,b＞0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.11、設P點是雙曲線（a＞0,b＞0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).12、設A、B是雙曲線（a＞0,b＞0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，，，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).13、已知雙曲線（a＞0,b＞0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點).17、雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.八、拋物線的常用結論：①頂點.②則焦點半徑;則焦點半徑為.③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.④（或）的參數方程為（或）（為參數）.圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點（0,0）離心率焦點圓錐曲線的性質對比圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線標準方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1a>b>0(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1a>0,b>0y^2=2pxp>0范圍x∈[-a,a]y∈[-b,b]x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)y∈Rx∈[0,+∞)y∈R對稱性關于x軸,y軸,原點對稱關于x軸,y軸,原點對稱關于x軸對稱頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦點(c,0),(-c,0)【其中c^2=a^2-b^2】(c,0),(-c,0)【其中c^2=a^2+b^2】(p/2,0)準線x=±(a^2)/cx=±(a^2)/cx=-p/2漸近線——————————y=±(b/a)x—————離心率e=c/a,e∈(0,1)e=c/a,e∈(1,+∞)e=1焦半徑∣PF1∣=a+ex∣PF2∣=a-ex∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣∣PF∣=x+p/2焦準距p=(b^2)/cp=(b^2)/cp通徑(2b^2)/a(2b^2)/a2p參數方程x=a·cosθy=b·sinθ，θ為參數x=a·secθy=b·tanθ,θ為參數x=2pt^2y=2pt,t為參數過圓錐曲線上一點(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1(x0,y0)的切線方程(x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1y0·y=p(x+x0)斜率為k的切線方程y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]y=kx+p/2k第三篇：高中數學知識點總結高中數學難度更大，難度在于它的深度和廣度，但如果能理清思路，抓住重點，多實踐，變渣滓為暴君并非不可能。高中數學知識點總結有哪些你知道嗎?一起來看看高中數學知識點總結，歡迎查閱!高中數學知識點匯總1.必修課程由5個模塊組成：必修1：集合，函數概念與基本初等函數(指數函數，冪函數，對數函數)必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統計、概率。必修4：基本初等函數(三角函數)、平面向量、三角恒等變換。必修5：解三角形、數列、不等式。以上所有的知識點是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運用。選修課程分為4個系列：系列1：2個模塊選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選修1-2：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數、框圖系列2:3個模塊選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何選修2-2：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數選修2-3：計數原理、隨機變量及其分布列、統計案例選修4-1：幾何證明選講選修4-4：坐標系與參數方程選修4-5：不等式選講2.重難點及其考點：重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數難點：函數，圓錐曲線高考相關考點：1.集合與邏輯：集合的邏輯與運算(一般出現在高考卷的第一道選擇題)、簡易邏輯、充要條件2.函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數函數、對數函數、函數的應用3.數列：數列的有關概念、等差數列、等比數列、數列求通項、求和4.三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖像及其性質、應用5.平面向量:初等運算、坐標運算、數量積及其應用6.不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式(經常出現在大題的選做題里)、不等式的應用7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關系8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用9.直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量10.排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用11.概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布12.導數：導數的概念、求導、導數的應用13.復數：復數的概念與運算高中數學學習要注意的方法1.用心感受數學，欣賞數學，掌握數學思想。有位數學家曾說過：數學是用最小的空間集中了的理想。2.要重視數學概念的理解。高一數學與初中數學的區(qū)別是概念多并且較抽象，學起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學習概念時，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價的表達方式。例如，為什么函數y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當f(x-1)=f(1-x)時，函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱，而y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象卻關于直線x=1對稱，不透徹理解一個圖象的對稱性與兩個圖象的對稱關系的區(qū)別，兩者很容易混淆。3.對數學學習應抱著二個詞――“嚴謹，創(chuàng)新”，所謂嚴謹，就是在平時訓練的時候，不能一絲馬虎，是對就是對，錯了就一定要承認，要找原因，要改正，萬不可以抱著“好像是對的”的心態(tài)，蒙混過關。至于創(chuàng)新呢，要求就高一點了，要求在你會解決此問題的情況下，你還會不會用另一種更簡單，更有效的方法，這就需要扎實的基本功。平時，我們看到一些人，做題時從不用常規(guī)方法，總愛自己創(chuàng)造一些方法以“偏方”解題，雖然有時候也能讓他撞上一些好的方法，但我認為是不可取的。因為你首先必須學會用常規(guī)的方法，在此基礎上你才能創(chuàng)新，你的創(chuàng)新才有意義，而那些總是片面“追求”新方法的人，他們的思維有如空中樓閣，必然是曇花一現。當然我們要有創(chuàng)新意識，但是，創(chuàng)新是有條件的，必須有扎實的基礎，因此我想勸一下那些基礎不牢，而平時總愛用“偏方”的同學們，該是清醒一下的時候了，千萬不要繼續(xù)鉆那可憐的牛角尖啊!4.建立良好的學習數學習慣，習慣是經過重復練習而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學習數學習慣，會使自己學習感到有序而輕松。高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學時間，以便加寬知識面和培養(yǎng)自己再學習能力。5.多聽、多作、多想、多問：此“四多”乃培養(yǎng)數學能力的要訣，“聽”就是在“學”，作是“練習”(作課本上的習題或其它問題)，也就是把您所學的，應用到解決問題上?！奥牎迸c“作”難免會碰到疑難，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如還想不通，解不來就要“問”――問同學、問老師或參考書，務必將疑難解決為止。這就是所謂的學問：既學又問。6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一個認識：數學能力乃是長期努力累積的結果，而不是一朝一夕之功所能達到的。您可能花一天或一個晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時對答如流而獲高分，也有可能花了一兩個禮拜的時間拼命學數學，但到頭來數學可能還考不好，這時候您可不能氣餒，也不必為花掉的時間惋惜。高中數學復習的五大要點分析一、端正態(tài)度，切忌浮躁，忌急于求成在第一輪復習的過程中，心浮氣躁是一個非常普遍的現象。主要表現為平時復習覺得沒有問題，題目也能做，但是到了考試時就是拿不了高分!這主要是因為：(1)對復習的知識點缺乏系統的理解，解題時缺乏思維層次結構。第一輪復習著重對基礎知識點的挖掘，數學老師一定都會反復強調基礎的重要性。如果不重視對知識點的系統化分析，不能構成一個整體的知識網絡構架，自然在解題時就不能擁有整體的構思，也不能深入理解高考典型例題的思維方法。(2)復習的時候心不靜。心不靜就會導致思維不清晰，而思維不清晰就會促使復習沒有效率。建議大家在開始一個學科的復習之前，先靜下心來認真想一想接下來需要復習哪一塊兒，需要做多少事情，然后認真去做，同時需要很高的注意力，只有這樣才會有很好的效果。(3)在第一輪復習階段，學習的重心應該轉移到基礎復習上來。因此，建議廣大同學在一輪復習的時候千萬不要急于求成，一定要靜下心來，認真的揣摩每個知識點，弄清每一個原理。只有這樣，一輪復習才能顯出成效。二、注重教材、注重基礎，忌盲目做題要把書本中的常規(guī)題型做好，所謂做好就是要用最少的時間把題目做對。部分同學在第一輪復習時對基礎題不予以足夠的重視，認為題目看上去會做就可以不加訓練，結果常在一些“不該錯的地方錯了”，最終把原因簡單的歸結為粗心，從而忽視了對基本概念的掌握，對基本結論和公式的記憶及基本計算的訓練和常規(guī)方法的積累，造成了實際成績與心理感覺的偏差。可見，數學的基本概念、定義、公式，數學知識點的聯系，基本的數學解題思路與方法，是第一輪復習的重中之重。不妨以既是重點也是難點的函數部分為例，就必須掌握函數的概念，建立函數關系式，掌握定義域、值域與最值、奇偶性、單調性、周期性、對稱性等性質，學會利用圖像即數形結合。三、抓薄弱環(huán)節(jié)，做好復習的針對性，忌無計劃每個同學在數學學習上遇到的問題有共同點，更有不同點。在復習課上，老師只能針對性去解決共同點，而同學們自己的個別問題則需要通過自己的思考，與同學們的討論，并向老師提問來解決問題，我們提倡同學多問老師，要敢于問。每個同學必須了解自己掌握了什么，還有哪些問題沒有解決，要明確只有把漏洞一一補上才能提高。復習的過程，實質就是解決問題的過程，問題解決了，復習的效果就實現了。同時，也請同學們注意：在你問問題之前先經過自己思考，不要把不經過思考的問題就直接去問，因為這并不能起到更大作用。高三的復習一定是有計劃、有目標的，所以千萬不要盲目做題。第一輪復習非常具有針對性，對于所有知識點的地毯式轟炸，一定要做到不缺不漏。因此，僅靠簡單做題是達不到一輪復習應該具有的效果。而且盲目做題沒有針對性，更不會有全面性。在概念模糊的情況下一定要回歸課本，注意教材上最清晰的概念與原理，注重對知識點運用方法的總結。四、在平時做題中要養(yǎng)成良好的解題習慣，忌不思1.樹立信心，養(yǎng)成良好的運算習慣。部分同學平時學習過程中自信心不足，做作業(yè)時免不了互相對答案，也不認真找出錯誤原因并加以改正。“會而不對”是高三數學學習的大忌，常見的有審題失誤、計算錯誤等，平時都以為是粗心，其實這就是一種非常不好的習慣，必須在第一輪復習中逐步克服，否則，后患無窮?？山Y合平時解題中存在的具體問題，逐題找出原因，看其是行為習慣方面的原因，還是知識方面的缺陷，再有針對性加以解決。必要時作些記錄，也就是錯題本，每位同學必備的，以便以后查詢。2.做好解題后的開拓引申，培養(yǎng)一題多解和舉一反三的能力。解題能力的培養(yǎng)可以從一題多解和舉一反三中得到提高，因而解完題后，需要再回味和引申，它包括對解題方法的開拓引申，即一道數學題從不同的角度去考慮去分析，可以有不同的思路，不同的解法?？紤]的愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多樣;及對題目做開拓引申，引申出新題和新解法，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)造精神，提高解題能力：(1)把題目條件開拓引申。①把特殊條件一般化;②把一般條件特殊化;③把特殊條件和一般條件交替變化。(2)把題目結論開拓引申。(3)把題型開拓引申，同一個題目，給出不同的提法，可以變成不同的題型。俗稱為“一題多變”但其解法仍類似，按其解法而言，這些題又可稱為“多題一解”或“一法多用”。3.提高解題速度，掌握解題技巧。提高解題速度的主要因素有二：一是解題方法的巧妙與簡捷;二是對常規(guī)解法的掌握是否達到高度的熟練程度。五、學會總結、歸納，訓練到位，忌題量不足我在暑期上課的時候發(fā)現，很多同學都是一看到題目就開始做題，這也是一輪復習應該避免的地方。做題如果不注重思路的分析，知識點的運用，效果可想而知。因此建議同學們在做題前要把老師上課時復習的知識再回顧一下，梳理知識體系，回顧各個知識點，對所學的知識結構要有一個完整清楚的認識，認真分析題目考查的知識，思想，以及方法，還要學會總結歸納不留下任何知識的盲點，在一輪復習中要注意對各個知識點的細化。這個過程不需要很長的時間，而且到了后續(xù)階段會越來越熟練。因此，養(yǎng)成良好的做題習慣，有助于訓練自己的解題思維，提高自己的解題能力。實踐出真知，充足的題量是把理論轉化為能力的一種保障，在足夠的題目的練習下不僅可以更扎實的掌握知識點，還可以更深入的了解知識點，避免出現“會而不對、對而不全”的現象。由于高考依然是以做題為主，所以解題能力是高考分數的一個直接反映，尤其是數學試題。而解題能力不是三兩道題就能提升的，而是要大量的反復的訓練、認真細致的推敲才會有較大的提升。有句話說的好，“量變導致質變”，因此，同學們在每章復習的時候，一定要做足夠的題，才能夠充分的理解這一章的內容，才能夠做到對這一章知識點的熟練運用。但是，大量訓練絕對不是題海戰(zhàn)術。因為針對每章節(jié)做題都有目標，同時做題訓練都需要不斷的總結，既要橫向總結，也要縱向深入。只要在每章節(jié)做題做到一定程度的時候都能感覺到這一章的知識點有哪些，典型題型有哪些，方法和技巧有哪些，換句話說，如果隨機抽取一些近幾年關于這一章的高考題都會做，那我認為就可以了。高中數學知識點總結第四篇：高中數學知識點總結高中數學知識點總結1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。中元素各表示什么？A表示函數y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數上的點的軌跡進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個元素。故B只能是-1或者3。根據條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3.注意下列性質：要知道它的來歷：若B為A的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2,a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個子集。當然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數為，非空真子集個數為（3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過；如告訴你函數f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調遞減，在上單調遞增，就應該馬上知道函數對稱軸是x=1.或者，我說在上，也應該馬上可以想到m，n實際上就是方程的2個根5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關系是什么？（互為逆否關系的命題是等價命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質（高考經常考）滿足條件，滿足條件，若；則是的充分非必要條件；若；則是的必要非充分條件；若；則是的充要條件；若；則是的既非充分又非必要條件；7.對映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？（一對一，多對一，允許B中有元素無原象。）注意映射個數的求法。如集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B的映射個數有nm個。如：若，；問：到的映射有個，到的映射有個；到的函數有個，若，則到的一一映射有個。函數的圖象與直線交點的個數為個。8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)9.求函數的定義域有哪些常見類型？函數定義域求法：*分式中的分母不為零；*偶次方根下的數（或式）大于或等于零；*指數式的底數大于零且不等于一；*對數式的底數大于零且不等于一，真數大于零。*正切函數*余切函數*反三角函數的定義域函數y＝arcsinx的定義域是[－1,1]，值域是，函數y＝arccosx的定義域是[－1,1]，值域是[0,π]，函數y＝arctgx的定義域是R，值域是.，函數y＝arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).當以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數的定義域。10.如何求復合函數的定義域？義域是_____________。復合函數定義域的求法：已知的定義域為，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。例若函數的定義域為，則的定義域為。分析：由函數的定義域為可知：；所以中有。解：依題意知：解之，得∴的定義域為11、函數值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到。例求函數y=的值域2、配方法配方法是求二次函數值域最基本的方法之一。例、求函數y=-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判別式法對二次函數或者分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細寫出來，希望大家能夠看懂4、反函數法直接求函數的值域困難時，可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域。例求函數y=值域。5、函數有界性法直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來確定函數的值域。我們所說的單調性，最常用的就是三角函數的單調性。例求函數y=，的值域。6、函數單調性法通常和導數結合，是最近高考考的較多的一個內容例求函數y=（2≤x≤10）的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數變?yōu)楹唵魏瘮担漕}型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型。換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函數的值域中同樣發(fā)揮作用。例求函數y=x+的值域。8數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數y=+的值域。解：原函數可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成數軸上點P（x）到定點A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當點P在線段AB上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函數的值域為：[10，+∞）例求函數y=+的值域解：原函數可變形為：y=+上式可看成x軸上的點P（x，0）到兩定點A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當點P為線段與x軸的交點時，y=∣AB∣==，故所求函數的值域為[，+∞）。例求函數y=-的值域解：將函數變形為：y=-上式可看成定點A（3，2）到點P（x，0）的距離與定點B（-2，1）到點P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣由圖可知：（1）當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時，如點P1，則構成△ABP1，根據三角形兩邊之差小于第三邊，有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣==即：-＜y＜（2）當點P恰好為直線AB與x軸的交點時，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數的值域為：（-，-）。注：求兩距離之和時，要將函數式變形，使A，B兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使兩點A，B在x軸的同側。9、不等式法利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。例：倒數法有時，直接看不出函數的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現另一番境況例求函數y=的值域多種方法綜合運用總之，在具體求某個函數的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當的方法，一般優(yōu)先考慮直接法，函數單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？切記：做題，特別是做大題時，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協商，不要犯我當年的錯誤，與到手的滿分失之交臂13.反函數存在的條件是什么？（一一對應函數）求反函數的步驟掌握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）在更多時候，反函數的求法只是在選擇題中出現，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請看這個例題：(2004.全國理)函數的反函數是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)當然，心情好的同學，可以自己慢慢的計算，我想，一番心血之后，如果不出現計算問題的話，答案還是可以做出來的?？上В@個不合我胃口，因為我一向懶散慣了，不習慣計算。下面請看一下我的思路：原函數定義域為x〉=1，那反函數值域也為y>=1.排除選項C,D.現在看值域。原函數至于為y>=1,則反函數定義域為x>=1,答案為B.我題目已經做完了，好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？14.反函數的性質有哪些？反函數性質：1、反函數的定義域是原函數的值域（可擴展為反函數中的x對應原函數中的y）2、反函數的值域是原函數的定義域（可擴展為反函數中的y對應原函數中的x）3、反函數的圖像和原函數關于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關于直線y=x對稱①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱；②保存了原來函數的單調性、奇函數性；由反函數的性質，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數，則方程的解__________.1對于這一類題目，其實方法特別簡單，呵呵。已知反函數的y,不就是原函數的x嗎？那代進去阿，答案是不是已經出來了呢？（也可能是告訴你反函數的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）判斷函數單調性的方法有三種：(1)定義法：根據定義，設任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關系可以變形為求的正負號或者與1的關系(2)參照圖象：①若函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調性；（特例：奇函數）②若函數f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則函數f(x)在關于點(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調性。（特例：偶函數）(3)利用單調函數的性質：①函數f(x)與f(x)＋c(c是常數)是同向變化的②函數f(x)與cf(x)(c是常數)，當c＞0時，它們是同向變化的；當c＜0時，它們是反向變化的。③如果函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數相加）④如果正值函數f1(x)，f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負值函數f1(2)與f2(x)同向變化，則函數f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數相乘）⑤函數f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。⑥若函數u＝φ(x)，x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數u＝φ(x),x[α，β]與函數y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復合函數y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數y＝f(x)是嚴格單調的，則其反函數x＝f－1(y)也是嚴格單調的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數增增增增增增減減//減增減//減減增減減∴......）16.如何利用導數判斷函數的單調性？值是（）A.0B.1C.2D.3∴a的最大值為3）17.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）注意如下結論：（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。判斷函數奇偶性的方法一、定義域法一個函數是奇（偶）函數，其定義域必關于原點對稱，它是函數為奇（偶）函數的必要條件.若函數的定義域不關于原點對稱，則函數為非奇非偶函數..二、奇偶函數定義法在給定函數的定義域關于原點對稱的前提下，計算，然后根據函數的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復合函數奇偶性f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函數的定義嗎？函數，T是一個周期。）我們在做題的時候，經常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應過來，這時說這個函數周期2t.推導：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數f(x)關于直線對稱，對稱軸可以由括號內的2個數字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數關于直線x=a對稱。如：19.你掌握常用的圖象變換了嗎？聯想點（x,y）,(-x,y)聯想點（x,y）,(x,-y)聯想點（x,y）,(-x,-y)聯想點（x,y）,(y,x)聯想點（x,y）,(2a-x,y)聯想點（x,y）,(2a-x,0)（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標?？袋c和原點的關系，就可以很直觀的看出函數平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？(k為斜率，b為直線與y軸的交點)的雙曲線。應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系--二次方程②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。由圖象記性質?。ㄗ⒁獾讛档南薅ǎ。├盟膯握{性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？21.如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）（對于這種抽象函數的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=-x；求單調性：令x+y=x1幾類常見的抽象函數1.正比例函數型的抽象函數f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數型的抽象函數f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（）＝3.指數函數型的抽象函數f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝4.對數函數型的抽象函數f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝f（x）－f（y）5.三角函數型的抽象函數f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝例1已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據區(qū)間求其值域.例2已知函數f（x）對任意實數x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當x>0時，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數f（x）在R上是增函數（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數符號.例3已知函數f（x）對任意實數x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.例4設函數f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；（2）對任意值x，判斷f（x）值的符號.分析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數f（x），使下列三個條件：①f（x）>0,x∈N