山東省濟寧市2023-2024學年高二下學期7月期末考試 數(shù)學 含解析

2023—2024學年度第二學期質(zhì)量檢測高一數(shù)學試題2024.07本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.2.已知向量，，，若，則（）A.2 B. C. D.3.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙三個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)三個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙三個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為16，20，26，則這三個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（）A.744 B.620 C.372 D.1624.如圖是函數(shù)的部分圖象，則（）A. B.C. D.5.在中，，記，，則（）A. B.C. D.6.對24小時內(nèi)降落在平地上積水厚度（mm）進行如下定義：積水厚度（mm）0~1010~2525~5050~100等級小雨中雨大雨暴雨小明用一個圓臺形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則這一天的雨水屬于哪個等級（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨7.如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.設(shè)，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高為（）A. B.C. D.8.設(shè)函數(shù)（、、都是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則最小正周期為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A B.C D.10.體育教學是學校開展素質(zhì)教育不可缺少的重要內(nèi)容，對學生的發(fā)展有著不可忽視的重要作用.某校為了培養(yǎng)學生的競爭意識和進取精神，舉行籃球定點投籃比賽.甲、乙兩名同學每次各自投10個球，每人8次機會，每次投籃投中個數(shù)記錄如下：同學第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中個數(shù)）67564389乙（投中個數(shù)）84676575記甲、乙兩名同學每次投籃投中個數(shù)的平均數(shù)分別為、，方差分別為、.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.11.如圖，在棱長為1的正方體中，為下底面的中心，為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.與平面所成角為D.三棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)為5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)是______.13.某校舉行立體幾何模型制作比賽，某同學制作的模型如圖所示：底面是邊長為12（單位：厘米）的正三角形，，，均為正三角形，且他們所在的平面都與底面垂直，則該幾何模型的體積為______立方厘米.14.已知三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足，且，則______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.人工智能發(fā)展迅猛，在各個行業(yè)都有應(yīng)用.某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化的服務(wù)，某用戶提出：“請統(tǒng)計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統(tǒng)計表”，地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間詳細統(tǒng)計出來，將數(shù)據(jù)分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.（1）估計該用戶接下來的200次早上開車從家到公司的紅燈等待時間不超過60秒的次數(shù)；（2）估計該用戶從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間的平均數(shù).16.設(shè)向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的取值范圍.17.如圖所示，為圓錐底面的直徑，C為圓O上異于A、B的一點，D、F分別為、的中點，連接并延長交圓O于點E.（1）證明：平面；（2）證明：平面.18.記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，且.（1）證明：；（2）若，，且，求，；（3）若存在最小值，求實數(shù)的取值范圍.19.已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點，.（1）求的長；（2）若為的中點，求二面角的余弦值；（3）若為上一點，且滿足，求.

2023—2024學年度第二學期質(zhì)量檢測高一數(shù)學試題2024.07本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得出，利用復(fù)數(shù)的除法運算可求得復(fù)數(shù).【詳解】由得出.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的計算，考查復(fù)數(shù)除法運算法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出的坐標，再根據(jù)平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，，所以，又，所以，解得.故選：A3.交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙三個社區(qū)做分層抽樣調(diào)查.假設(shè)三個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為，其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙三個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為16，20，26，則這三個社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為（）A.744 B.620 C.372 D.162【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣計算規(guī)則計算可得.【詳解】依題意可得，解得.故選：C4.如圖是函數(shù)的部分圖象，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】觀察圖象可得的最小正周期，由周期公式可計算，又過點，把代入解析式，結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知的最小正周期為，，，又過點，，即，，，.故選：.5.在中，，記，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，則.故選：D6.對24小時內(nèi)降落在平地上的積水厚度（mm）進行如下定義：積水厚度（mm）0~1010~2525~5050~100等級小雨中雨大雨暴雨小明用一個圓臺形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則這一天的雨水屬于哪個等級（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】C【解析】【分析】由題意知降雨量是雨水的體積除以容器口面積，計算出圓臺的體積可得答案.【詳解】由題意知降雨量是雨水體積除以容器口面積，因為圓臺形容器中水的高度為圓臺形容器高度的一半，且下底面半徑是50mm，上底面半徑是150mm，可得圓臺中雨水的上底面半徑是mm，所以雨水的厚度為mm，是大雨.故選：C．7.如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D.設(shè)，，，在點C測得塔頂A的仰角為，則塔高為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】在中，運用正弦定理求得，再在直角三角形中，求解.【詳解】在中，由正弦定理可知：，在直角三角形中，，故選：A8.設(shè)函數(shù)（、、都是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】記函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性計算可得.【詳解】記函數(shù)的最小正周期為，則，可得．又，且，又，所以函數(shù)的一個對稱中心為，函數(shù)的一條對稱軸為，又，，解得．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則，求出變化后的解析式，再由誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】把函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變得到，把向左平移個單位長度得到，即，又，，，故滿足題意的有B、C.故選：BC10.體育教學是學校開展素質(zhì)教育不可缺少的重要內(nèi)容，對學生的發(fā)展有著不可忽視的重要作用.某校為了培養(yǎng)學生的競爭意識和進取精神，舉行籃球定點投籃比賽.甲、乙兩名同學每次各自投10個球，每人8次機會，每次投籃投中個數(shù)記錄如下：同學第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次甲（投中個數(shù)）67564389乙（投中個數(shù)）84676575記甲、乙兩名同學每次投籃投中個數(shù)的平均數(shù)分別為、，方差分別為、.則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的公式計算即可.【詳解】根據(jù)題意，，，所以，，，所以.故選：BD11.如圖，在棱長為1的正方體中，為下底面的中心，為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.與平面所成角為D.三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】首先說明，根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理說明A；取的中點，連接、、、，則，所以直線與所成角為，再由銳角三角函數(shù)判斷B；與平面所成角為，即可判斷C，求出外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】對于A：為下底面的中心，為的中點，連，，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，，故A正確；對于B，取的中點，連接、、、，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，直線與所成角為，又，，，為的中點，，，即直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C：，又平面，與平面所成角為，又，，又，與平面所成角不為，故C錯誤；對于D：如圖，由A可知，，，平面，所以平面，又是邊長為的正三角形，設(shè)，則易知為靠近的的三等分點，其為正三角形的中心，，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在上，設(shè)，球的半徑為，則，，又易知，，，在與中，根據(jù)勾股定理和余弦定理可得：，解得，，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)為5，6，7，7，8，9，則該組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】因為，所以第百分位數(shù).故答案為：13.某校舉行立體幾何模型制作比賽，某同學制作的模型如圖所示：底面是邊長為12（單位：厘米）的正三角形，，，均為正三角形，且他們所在的平面都與底面垂直，則該幾何模型的體積為______立方厘米.【答案】【解析】【分析】將幾何體補全為正三棱柱，如圖所示分別為的中點，正三棱柱高為，該幾何模型的體積為：.【詳解】將幾何體補全為正三棱柱，如圖所示，分別為的中點，底面是邊長為12（單位：厘米）的正三角形，且，，均為正三角形，所以則該幾何模型的體積為：.故答案為：.14.已知三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P，滿足，且，則______.【答案】【解析】【分析】如圖，以為鄰邊做平行四邊形，即，由，可得，所以三點共線，再化簡，可得，設(shè)，則，利用余弦定理，可得，，所以，再由同角基本關(guān)系式和兩角和的正弦公式可解.【詳解】如圖，以為鄰邊做平行四邊形，即，由，可得，即，所以，則，又，所以，即三點共線，由，即，即，所以，設(shè)，則，利用余弦定理，，且，所以，則，則，所以，由等腰三角形可知都是銳角，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：以為鄰邊做平行四邊形，即，由，可得，所以三點共線，再利用余弦定理求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.人工智能發(fā)展迅猛，在各個行業(yè)都有應(yīng)用.某地圖軟件接入了大語言模型后，可以為用戶提供更個性化的服務(wù)，某用戶提出：“請統(tǒng)計我早上開車從家到公司的紅燈等待時間，并形成統(tǒng)計表”，地圖軟件就將他最近100次從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間詳細統(tǒng)計出來，將數(shù)據(jù)分成了，，，，（單位：秒）這5組，并整理得到頻率分布直方圖，如圖所示.（1）估計該用戶接下來的200次早上開車從家到公司的紅燈等待時間不超過60秒的次數(shù)；（2）估計該用戶從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間的平均數(shù).【答案】（1）45（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1以及直方圖數(shù)據(jù)先求，再求等待時間不超過60秒的概率，即可得次數(shù)；（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)的公式求解.【小問1詳解】因為各組頻率之和為1，組距為10，所以，解得，該用戶早上開車從家到公司的紅燈等待時間不超過60秒的概率為：，所以該用戶早上開車從家到公司的紅燈等待時間不超過60秒的次數(shù)約為：.【小問2詳解】該用戶從家到公司的導(dǎo)航過程中的紅燈等待時間的平均數(shù)約為：16.設(shè)向量，，.（1）若，求的值；（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，，所以，由三角函數(shù)恒等變形可解；（2）先求出，由正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，所以，即，化簡為所以；【小問2詳解】，，所以，所以，由，得，所以，所以，所以的取值范圍為.17.如圖所示，為圓錐底面的直徑，C為圓O上異于A、B的一點，D、F分別為、的中點，連接并延長交圓O于點E.（1）證明：平面；（2）證明：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，可得，，而，所以，可證平面；（2）連接，可證平面，平面，從而平面平面，所以平面.【小問1詳解】由題意，平面，平面，所以，由為圓錐底面的直徑，C為圓O上異于A、B的一點，可知，因為D、分別為的中點，所以，則，又因為平面，，所以平面；【小問2詳解】連接，因為D、F分別為、的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，而平面，所以平面平面，又平面，所以平面.18.記銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，且.（1）證明：；（2）若，，且，求，；（3）若存在最小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2），（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡得證；（2）結(jié)合二倍角公式與兩角和的余弦公式，求出的值，再由，將其兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算法則，可得關(guān)于和的方程，然后結(jié)合正弦定理，解方程組即可；（3）由為銳角三角形，推出，再根據(jù)，，的關(guān)系，化簡可得，然后結(jié)合正弦函數(shù)的值域與二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．【小問1詳解】因為，由正弦定理得，所以，所以，所以或，因為，所以，又，所以不可能成立，所以．【小問2詳解】由，，則，因為，所以，因為，所以，，所以，因為，則，所以，將其兩邊平方得，所以①，由正弦定理知，，因為，所以，所以②，聯(lián)立①②解得，．