高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢卷3導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用新人教A版

單元質(zhì)檢卷三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目

要求.

L函數(shù)F（x）—的圖象在點(diǎn)（1,F（D）處的切線方程為（）

A.2x+y詫-4=0B.2x-t-y-eM=0

C.2x-yg-4=0D.2x-y-eM=0

2.已知自由落體運(yùn)動的速度v=gt,則自由落體運(yùn)動從t=0s到r=2s所走過的路程為（）

A.gB.2gC.4gD.8g

3.已知f[x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）圖象如圖所示,那么f（x）的圖象最有可?能是圖中的（）

4.若函數(shù)f[x）在R上可導(dǎo)，且M也f'⑵x+m5怎R），則（）

A.AO）<A5）B.f（0）才⑸

C.f（0）>A5）D.以上答案都不對

5.“辰0”是“函數(shù)f（x）=ln『RX在（0,1]上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.己知函數(shù)f（x）十，過原點(diǎn)作曲線y=M的切線1,則切線/與曲線片/V）及y軸圍成的圖形的面

積為（）

2e+12e-1

A.-

e-2e+1

c.—D.h

7.已知函數(shù)F(x)?3-31nx-\,則()

A.f(x)的極大值為0

B.曲線尸F(xiàn)J)在(1,F(D)處的切線為y軸所在的直線

C.Xx)的最小值為0

D.F(x)在定義域內(nèi)單調(diào)

8.已知定義在R上的函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為6(力，且滿足r(x)-f(x)X),f(2021)三之⑼,則不等式

/@蹴)V口的解集為()

A.(e2021,B.(O,e2021)

C.(占02：+8)D.(0,e2O21c)

9.已知函數(shù)F'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),對任意(0>2),f(x)cosx"(;)sin%X),則下列結(jié)論正

確的是()

A.@C)>同?

B/於火唱

c.@C)〈同?

D.周〉向0

10.已知定義在［a,6］上的函數(shù)片f(x)的導(dǎo)函數(shù)片6(力的圖象如圖所示，給出下列命題:

①函數(shù)尸/V)在區(qū)間［檢知上單調(diào)遞減；

②若x《m〈n<x“則(嚶)；

③函數(shù)y=f{x)在［a,3上有3個極值點(diǎn)；

④若X2<p<q<x^則"(p)-f(q)］?"'(0)-6(g)］<0.

其中真命題的序號是()

A.①③B.②④

C.②③D.①④

2

11.關(guān)于函數(shù)f(x)9+lnx,下列說法錯誤的是()

A.x2是f(x)的極小值點(diǎn)

B.函數(shù)y=f(x)p有且只有1個零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)〃，使得F5)恒成立

D.對任意兩個正實(shí)數(shù)Xi,照,且x\>x&若F(小)=/*(照)，則x\*照乂

12.設(shè)aWO,若x二a為函數(shù)八而=a[x~a)2(x-6)的極大值點(diǎn),則()

A.a<bB.a>b

C.ab<aD.ab>a

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設(shè)函數(shù)f[x)二了,若f⑵v，則a=.

14.若今2,則實(shí)數(shù)加的值為.

15.已知函數(shù)f[x);ax-。電g(x)引-2,若對于任意汨,加任(0,1],都有/(A))2g(形)成立,則a的取

值范圍為.

16.如圖所示,某公園有一塊空地，由一個直徑為2(單位:km)的半圓。和一個以.MV為底邊，頂角為

120°的等腰三角形楸P構(gòu)成.現(xiàn)在要在空地內(nèi)建一個梯形苗圃力版種植花草,為美觀對稱設(shè)計(jì),梯

形力靦的兩個頂點(diǎn)4夕在半圓上，另兩個頂點(diǎn)C,〃分別在NP,MP上,AB//CD//MN,梯形ABC。的自為

1(單位:km),則梯形力切9面積的最大值是_________.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax戶1,其中aX).

⑴討論F(x)的單調(diào)性；

⑵若六H功的圖象與*軸沒有公共點(diǎn),求a的取值范圍.

Inx2a

18.(14分)已知函數(shù)f(x)午行g(shù)(x)虧if曲線y=F(x)與曲線y/(x)在尸1處的切線重合.

⑴求a的值；

⑵求證:fix)2g(力在(0,+2上恒成立.

19.(14分)已知函數(shù)f{x)=Q-2X.

(1)當(dāng)x<0時，證明:f(x)>cosx\

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-cosx+ln(廣1),試問：函數(shù)g(x)是否存在極小值?若存在,求出極小值;若不

存在，請說明理由.(其中常數(shù)e」.71828…,是自然對數(shù)的底數(shù))

20.(14分)已知函數(shù)f(x)=aln2x*2^(l-lnA),a￡R.

⑴討論函數(shù)，(x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)g(>)4f(x)-2才有且僅有3個零點(diǎn),求a的取值范圍.(其中常數(shù)eN71828…,是自然

對數(shù)的底數(shù))

21.(14分)己知函數(shù)C[x)-a\nx,g(?-x與“'(x).

(1)討論力(x)=g(x)~f(x)的單調(diào)性；

x2P(Xi+必)+m6

⑵若方(x)的極值點(diǎn)為3,設(shè)方程F(x)知心0的兩個根為汨,x?,且三2e;求證：尸⑺』)>g.

答案：

單元質(zhì)檢卷三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

i.c6(力-2，所以切線斜率為6(Dr,

又因?yàn)閒(l)=e-2,

所以切線方程為y-(e-2)-2(才-1),即2x-八eYR.

2.B因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動的速度

212

所以路程s=°g￡dt多■/|o=2g,故選B.

3.A由給定的導(dǎo)函數(shù)圖象知，當(dāng)叱-2或彳為時，F(xiàn)'(X)<0,當(dāng)-2〃<0時，F(xiàn)'(x)R,從而得F(x)有兩

個極值點(diǎn),極小值點(diǎn)為-2,極大值點(diǎn)為0,且F(x)在(-用-2),(0,+8)上單調(diào)遞減，在(-2,0)內(nèi)單調(diào)

遞增，只有選項(xiàng)A符合要求.

4.CVr(x):丁砂/(2)x+m,：,/(公=2x+2f'(2),

.??f'(2)?X2+2f'(2),???f'⑵:Y,:,其代耳弋x+m、圖象為開口向上的拋物線,其對稱軸方程為

X=\y

???f(0)"⑸.

1

5.A由F(x)=lnx-/?x(%X)),可得F'(《)弓一m,若f(x)=lnx-mx在(0,1］上單調(diào)遞增，則f'(x)NO在

(0,1］恒成立,即〃工：在(0,1］恒成立，則后1,因?yàn)?-8,0］臬(-8,口，則可得“辰0”是“函數(shù)

/U)=lnxRY在(0,1］上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

6.C由f{x}有可得f'3h,設(shè)切點(diǎn)為(照,eXo),斜率為<U)二心,則切線方程為y-eXo=/。(『

加，

把(0,0)代入可得-eXo=eXo(一加,

故刖=1,可得切線方程為y=cx,

則直線/與曲線y=/V)及y軸圍成的圖形的面積為

0(eT-ejv)dx=Gr-2e/)Io=--

33

7.CA^)-^-31nz-l的定義域?yàn)?0,*3),尸(/)-3/-7=7(/-1),令廠(力q,解得x-\y

列表可知，

(0,1)1(1,*8)

f'(x)-0+

f(x)單調(diào)遞極小值單調(diào)遞增/

所以fkx)的極小值,也是最小值為Al)X),無極大值,在定義域內(nèi)不單調(diào)，故C正確,A,D錯誤；

對于選項(xiàng)B,由AD4)及/71)4所以尸/U)在(1,F(D)處的切線方程y-O-O(x-1),即片0,為x

軸所在的直線，故B錯誤.

!

8.D令￡qlnx,則x=^f

所以不等式《同等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式4)6旨3,即當(dāng)<1,

/co,r(o-r(o

構(gòu)造函數(shù)g(t)千,則g'(t)=—~t—,

,、r(o-r(o

由題息，g(t)二一一X),

所以g⑺為R上的增函數(shù).又因?yàn)锳2021)天2切，

/(2021)/(t)1

所以g(2021)=-^2T=\,所以g(t)千。/(2021),解得￡<2021,即*lnx<2021,所以004的。.

f(x)r*)cosx+f(x)sinx

9.C令g(x)五嬴,則g’(x)二,

對于v/(啕,都有g(shù)'(x)所以函數(shù)以⑼在他9內(nèi)單調(diào)遞增.

nnn

因?yàn)?，，,

所以

即媽<絲嗎所以駕強(qiáng)媼

COS&COS］co與W4#

所以@(?<@0,￡)<火唱,源<勿◎?故選c.

io.B①中，由圖可知,在區(qū)間5,看上,ru)20,在區(qū)間［打疝I上，r(xwo,故函數(shù)尸/U)在區(qū)

間［及,X］］上先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減,①錯誤；

②中，由圖可知,在區(qū)間［加照］上,任意連接兩點(diǎn)56(㈤)，5,f(〃))，中點(diǎn)設(shè)為M,〃坐標(biāo)為

I2，2)，線段一定在y3'(x)圖象上方,故中點(diǎn)也在片F(xiàn)'(x)圖象上方,即

“VFF),故②正確；

③中，由圖可知,在區(qū)間E③上,F520,在區(qū)間”,③上,f'(x)W0,在區(qū)間以"］上,f'G)20,

所以片F(xiàn)(x)有一個極大值點(diǎn)照和一個極小值點(diǎn)As,故③錯誤；

④中，由圖可知,在區(qū)間［也如上,F'(x)20,且F'(力單調(diào)遞減,故尸f(x)單調(diào)遞增,故

f'(0)(0),f(p)<f(q)，故"(〃)-f?］?［f\p)］<0,即④正確.

綜上,真命題的序號是②④.

21x-2

11.C對于A選項(xiàng)，f(x)定義域?yàn)?0,18),f，(>)=-7+7=?,當(dāng)04<2時，尸3<0,當(dāng)x>2

時，尸(>)刀,所以產(chǎn)2是N力的極小值點(diǎn),A正確；

對于B選項(xiàng),令力(>)=f(x)-x,則力'(*)=-^+2<0,h(x)在(0,*2上單調(diào)遞減，。⑴=1,力(2)-ln2-

1<0,h(x)在(1,2)內(nèi)有唯一零點(diǎn),B正確；

f(x)2Inxxlru-x+4

對于C選項(xiàng),令(1>(X)=~=丁+丁，0'(才)二-一,

令F(x)=x\x\x-x-f4(x?0),Ff(x)=lnx,當(dāng)x￡(0,1)時,Z7'(x)<0,當(dāng)x￡(1,+8)時，尸，(力>0,F(x)在

(0,D內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，則/(x)ein二廠(1)，加，0'(才)<0,。(X)在(0,+8)上單調(diào)遞

減,且0(力圖象恒在工軸上方,與X軸無限接近,不存在正實(shí)數(shù)左使得恒成立,C錯誤；

對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知,Ax)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2,f8)上單調(diào)遞增,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)汨,打且

x\>x2,A^i)=f(xj，則0a<2<￥】，當(dāng)0<x<2時,令g(x)=f(x)-F(4-x),g'(x)(0,即g［x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)

遞減,于是有g(shù)(￥)%⑵=0,從而有O=/(照)》(4-必)，又因?yàn)?-必)2,所以MM-M,即小+X2乂成

立,D正確.

故選c.

12.D因?yàn)閒(x)=a(x-a)2(x-b),所以/''(x)=2a(x-a)(x-Z?)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2Z>)+{x-a)]=a[x~

(a+2b\

a)[3x-(a+26)]=3a(*-a)、x-~).

a+2b

由ff(x)=0,解得x=a或x-3,

a+2b

若a<0,則由x=a為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn),可得三一3化簡得b<a.

(a^2b\fa+2b\

此時在區(qū)間18,1一1和3,8)上,ru)<0,函數(shù)/U)單調(diào)遞減;在區(qū)間(三一,〃內(nèi)，尸(汗)次

函數(shù)F(X)單調(diào)遞增.

此時石(a-6)<0,即才<ab.

a+2b

若aX),則由XF為函數(shù)的極大值點(diǎn)可得化簡得a<b.

fa+2b\(a^2b\

此時在區(qū)間(-巴力和I--"”/上,尸3為，函數(shù)人力單調(diào)遞增;在區(qū)間J—<0,

函數(shù)F5)單調(diào)遞減.

此時a［a-t>)<0,即a<ab.

練上可得才Q6.故選【).

x-a1-x+a

13.2由F(x)晨「可得,F'(才)二一丁,

所以F'⑵=e2=昌解得ad

ft+2mx)dx=lnx-f-mx11=34n2.

14.1

即1112M勿PF3#ln2,解得/Z7-1.

15.[0,+8)由題意F(x)min2g(x)11ax.

???g(x)X*-2在(0,1]上單調(diào)遞增，???奴力3爾1)2

+322對于任意A-e(0,1]恒成立,即對于任意A-e(0,1]恒成立.

又力(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，，力(x)皿%⑴4.?.a》。,故答案為［0,+8).

16.3rs如圖,過點(diǎn)。作EF_LAB交，于點(diǎn)￡交切于點(diǎn)F、則EF=\,

因?yàn)椤鞲瑸榈妊切?所以點(diǎn)尸在直線EF上.

設(shè)OE=x,則OFA-x,

且0<￥<1,連接0B,則08=1,在△板中，BE邛二?,所以月廬2J1?02

在△朗伊中，因?yàn)镹P=120°,MN=2所以O(shè)P冬

PFCF

因?yàn)椤骷?s△必Q所以而=而

￥-(1-*)CF

即=了,所以酒1-&(1-人)口S+遂才,所以梯形ABCD面積為

T

S京AB+CO?吟/1-%2+^x+1-^/3(00<1),所以S'=G-Jrp,

因?yàn)?々<1,所以由S'A),解得0<Y<y,由S'S,解得

所以當(dāng)尸乎時,梯形力面積最大,面積的最大值為Jl-(T)+平義號+1飛&R

17.解(1)Vf(x)=a2/*ax-31nx+l,才￡：0,/°0),

."'(/)"x+a三=也產(chǎn)=3T2

2ax+3

..?血血，??^―劉，

???當(dāng)x€(0,力時，F(xiàn)(x)<0;

當(dāng)”。+8)時，/⑺刀，

???函數(shù)人力在O內(nèi)單調(diào)遞減,在Q+同上單調(diào)遞增.

⑵???y=f(x)的圖象與X軸沒有公共點(diǎn)，，函數(shù)f(x)在(0,f8)上沒有零點(diǎn),由⑴可得函數(shù)/V)在

(09內(nèi)單調(diào)遞減,在6+g)上單調(diào)遞增，

.*./(a)=3-31na=3*31n^/O,/.Ina>-1,

:我即實(shí)數(shù)a的取值范圍是G+4

Inx2a

18.(1)解因?yàn)閒(x)fi，gCr)TTT-

所以f'(x)=*/：,g'(x)=(*+a+2

(x+i)2'

ii

由題意得f⑴"⑴，所以*”,解得冊1.

Inx21Inx21xlru-x+1

(2)證明由(1)知，f(x)GZi，以"SZi-輸F(?F(x)=m-m+x=QI)，

令力(x)=x\nx-x+\,xX),貝ij力'(x)=lnx,

當(dāng)x￡(1,+8)時，力，(x)為，力(x)單調(diào)遞增,當(dāng)(0,1)時，力'(>)<0,力(x)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=\時，力(x)

取得最小值力⑴=0,所以才320,故f(x)-g(x)20,

所以f(x)2g(x).

19.(1)證明令尸(x)=f(x)~cos>,

則F(x)AB*-2A'POSA,

F!(x)氣,-21tsinx=(e'T)f(sinxT).

當(dāng)x<0時，e*<e°=l,且sinxTWO,

故F\x)<0,故函數(shù)"*)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

故尸(x)?(0)R,

所以f(x)POSX，0,即fix)>CQSX.

1

⑵解根據(jù)題意,g(x)k-2x~cosx#ln(xfl),定義域?yàn)?T,+8),屋(入)氣*-2*in"ki，

1

令力(x)/'(X)毛》771%汨*-2,

1

則方'(*)=0"-(丁十1尸七OSX,

易知當(dāng)xW(01)時,力'(才)方,故函數(shù)方J)在(0,9內(nèi)單調(diào)遞增，

則力(x)>力(0)O,即/(x)X),

所以函數(shù)g(x)在(0,'內(nèi)單調(diào)遞增.

當(dāng)xe(-1,0)時，力'(才)單調(diào)遞增,且A70)可人，

又因?yàn)榱?(-；)=e.認(rèn)os(-九<0,

故九°W(4°),使得方'(劉)刈

所以當(dāng)xQ(?0)時，方'(才)》,函數(shù)方(X)在(照,0)內(nèi)單調(diào)遞增,

即g'(x)在(a0)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)(Ab?0)時,《'(x)3(0)=o,

故函數(shù)g(x)在(刖,0)內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)(-1,xo)時，^-*-1,g'(x)f+8,

所以三汨￡(T,加,

當(dāng)(-1,汨)叱gf(A)?0,g(x)在(-1,小)上單調(diào)遞增，

當(dāng)XG(Xi,Ao)時,g'(X)<0,g(X)在(禹,照)上單調(diào)遞減，

故g(/)在(T,0)上只有一個極大值點(diǎn)M.

r

當(dāng)XW曰+8)時,e>eP27U,士電

1

即e'G71tsinx-2X),

所以g'(x)為,函數(shù)g(x)在日+向上單調(diào)遞增.

綜上可知，函數(shù)g(>)在(a0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因此,當(dāng)時，函數(shù)g(x)有極小值,極小值為g(0)

20.解⑴???f(x)=aln3+2x(l-lnx),其定義域?yàn)?0,+8),

21nx(a-x)

則F'(x)-；七刈，且尸⑴力，

①若W0,當(dāng)0?<1時,F'(x)X),即函數(shù)f(處在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>\時，fr(x)<0,函數(shù)f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)0QC時，令r(x)解得產(chǎn)1,產(chǎn)a,

當(dāng)a<xa時,f'COk,函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)或0<x<a時，/(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

?"(*)在(a,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,a),(1,3上單調(diào)遞減;

③當(dāng)a=\時，F(xiàn)'(x)W0恒成立,即函數(shù)/(*)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

④當(dāng)a>\時，當(dāng)時，ra)A),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x>a或0<￥<1時,F'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

?"(入)在(1,向內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,1),g+8)單調(diào)遞減.

(2)g(x)=^f[x)-2a=0,

即方程F(x)多有且僅有3個不同的實(shí)根，

2a2

??.y=f(x)與的圖象有三個交點(diǎn)，

，由⑴知，必有0Q〈或虞L

①當(dāng)OQ<1時,f(力在(a,1)內(nèi)單調(diào)遞胤在(0,a),(1/8)上單調(diào)遞減;

???/(*)的極小值為1(a)=aln2a攵a(lTna),極大值為f(l)=2.

2a22a2

又f(a)=aln"a+2a(1-Ina)=a(lna*2-21na)^[(Ina-l)2*1]^>^,.\y=f(x^的圖象至多有1

個交點(diǎn)，所以不合題意；

②當(dāng)a>\時，/'(*)在(l,a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(0,1),(4+8)上單調(diào)遞減，

>,2a2

?,"(X)的極小值為&1)=2,極大值為f(a)=2a(ITna),?,?只有當(dāng)2<丁0(儲2a+2-21na)