量子力學(xué)第一章

《量子力學(xué)》第一章緒論第二章波函數(shù)和Schrodinger

方程第三章一維定態(tài)問題第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量第五章態(tài)和力學(xué)量表象第六章近似方法第七章量子躍遷第八章自旋與全同粒子《量子力學(xué)》課程的主要參考書目錄：

①量子力學(xué)教程，周世勛編（1961年，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社；1979年，人民教育出版社（或高教））

②量子力學(xué)，（現(xiàn)代物理學(xué)叢書），曾謹言編著，上、下冊，科學(xué)出版社，1981年。

③量子力學(xué)導(dǎo)論，曾謹言編，北京大學(xué)出版社，1992年。

④量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析，錢伯初，曾謹言，科學(xué)出版社（1988）。第一章緒論§1“量子”概念的起源§2量子力學(xué)的誕生§3量子力學(xué)的地位和作用§4量子力學(xué)的基本問題§1“量子”概念的起源(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功

19世紀末，物理學(xué)理論發(fā)展到了幾乎完美的程度。（1）牛頓力學(xué)：成功描述了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體的運動，并將其用于分子運動上，氣體分子運動論取得了有益的結(jié)果。1897年湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個牛頓粒子。（2）熱力學(xué)與統(tǒng)計物理：成功描述了有關(guān)的熱現(xiàn)象。（3）電動力學(xué)：統(tǒng)一描述了光和電磁現(xiàn)象?？陀^世界存在著實物粒子和電磁波（場）。經(jīng)典物理學(xué)的基本方程似乎能夠基本描述所有的物理系統(tǒng)。不僅如此，經(jīng)典物理學(xué)使工業(yè)革命如虎添翼。

1871年，麥克斯韋在劍橋大學(xué)的就職演說中講：幾年之內(nèi)，所有重要的物理常數(shù)都將被大致估計出來…這樣科學(xué)界人士剩下的唯一工作就是提高這些估計值的精度。當時科學(xué)界存在著普遍的樂觀情緒。（二）幾個惱人的細節(jié)問題經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗結(jié)果上遇到了嚴重的困難，典型的問題：（1）黑體輻射問題；（2）光電效應(yīng)；（3）氫原子光譜等。（1）黑體輻射

熱輻射：熱的物體（高于絕對零度)表面以電磁波的形式輻射能量，溫度較低時（低于500℃),輻射主要是長波（紅外輻射），溫度升高時短波成分增加，如溫度在500℃?600℃之間，輻射的主要成分為可見光。同時，物體能夠吸收照在其表面的輻射，當物體與周圍環(huán)境達到熱平衡時，單位時間內(nèi)物體吸收和輻射的能量相等。

黑體：能全部吸收投射到其上的輻射而無反射，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。一個空腔可以看作是黑體。黑體輻射：由這樣的空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射。黑體輻射問題研究：輻射與周圍物體處于熱平衡狀態(tài)時的能量按波長（頻率）的分布。

輻射熱平衡狀態(tài):處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態(tài)。實驗發(fā)現(xiàn)：熱平衡時，輻射能量密度按波長分布的曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度

T

有關(guān)，而與空腔的形狀和材料無關(guān)。能量密度

(104cm)0510Wien

線能量密度

(104cm)0510Wien

公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。Rayleigh-Jeans公式在長波部分與實驗結(jié)果較符合,在短波部分完全不符合.1.Wien

公式：從熱力學(xué)出發(fā)，加上一些特殊的假設(shè)，得到一個分布公式：

2.Rayleigh-Jeans公式:根據(jù)電動力學(xué)和統(tǒng)計物理,把空腔看成是由大量包含各種頻率的帶電諧振子組成,得到一個分布公式:Rayleigh-Jeans線（2）光電效應(yīng)光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象,稱為光電效應(yīng)。這種電子稱之為光電子。試驗發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有三個突出的特點：

1.臨界頻率v0

只有當光的頻率大于某一定值v0時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強度多大，照射時間多長，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。

2.光電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強無關(guān)，光強只決定光電子數(shù)目的多少。

3.光電子產(chǎn)生無馳豫時間,無論光強弱,幾乎在開始照射的同時就產(chǎn)生光電子。如何解釋？按照光的電磁理論，光電效應(yīng)的機制是照在金屬上的光波使金屬中的電子作受迫運動，當電子能量積累到足以克服金屬對電子束縛能時就可以逸出。由此推理,(1)只要光強足夠強,任何頻率的光都能打出光電子,不會存在頻率限制;(2)光電子能量應(yīng)該依賴光的強度,與頻率無關(guān);(3)光電子發(fā)射應(yīng)該滯后于照射。與實驗結(jié)果矛盾！?。。?）氫原子光譜，原子結(jié)構(gòu)

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗公式：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：人們自然會提出如下問題：1.光譜線為何會出現(xiàn)?原子線狀光譜產(chǎn)生的機制是什么？2.光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？它們所傳遞的什么信息?

原子模型：

1、布丁模型：1897年J.J.Thomson從真空管中的陰極射線發(fā)現(xiàn)電子，證明了原子內(nèi)含有一定數(shù)量的電子。1904年他提出了原子布丁模型，即原子整體上是電中性，正電部分均勻分布成一個球體，電子鑲嵌在其中某些平衡位置，并圍繞平衡位置做簡諧振動。

2、有核模型：1911年E.Rutherford的粒子散射實驗證明了原子有核，提出了原子有核模型，又稱為“行星模型”。將這一模型與原子光譜聯(lián)系起來，不僅解釋不了原子線狀光譜，而且原子自身的穩(wěn)定性就成問題。按照經(jīng)典電動力學(xué)，立即得到如下結(jié)論：（1）電子繞原子核轉(zhuǎn)動是加速運動，它必然不斷發(fā)射電磁波；（2）發(fā)射電磁波的同時電子能量不斷減小，因而其軌道半徑將不斷縮小，最后必然落到原子核上；（3）若電子運動周期為T，則它發(fā)射的電磁波的周期也是T，在軌道縮小時周期減小，于是它發(fā)射的電磁波頻率不斷增大，原子光譜應(yīng)是連續(xù)譜。

為什么原子穩(wěn)定的存在著？為什么原子光譜有線狀譜？

新的實驗現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，暴露了經(jīng)典理論的局限性，迫使人們?nèi)ふ倚碌奈锢砀拍?，建立新的理論，于是量子力學(xué)就在這場物理學(xué)的危機中誕生。（三）“量子”概念的產(chǎn)生1.黑體輻射的Planck公式與能量子假說能量密度

(104cm)0510Planck線

1900年１２月１４日Planck

提出能量子假說:一個腔壁原子的性能和一個頻率為的帶電諧振子一樣,但是諧振子的能量只能取一些分立值

0,20,30,其中0

h

稱為能量子。h=6.62610-34Js為Planck常數(shù)。

原子吸收和發(fā)射光時只能以

0

進行。利用此假說，按照Rayleigh-Jeans公式的推導(dǎo)過程，Planck論證了上述公式。（1）光子

Einstein認為：電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量hν的微粒形式出現(xiàn)，而且以微粒形式在空間以光速

C

傳播，這種微粒叫光量子或光子。頻率為ν的單色光是由每個光子能量為E=hν的光子流組成。2.A.Einstein光量子論和光電效應(yīng)理論1905年，Einstein發(fā)展了Planck量子論，提出光量子假說來解釋光電效應(yīng)。（2）光電效應(yīng)理論

用光子的概念，Einstein成功地解釋了光電效應(yīng)的規(guī)律。

當光照射到金屬表面時，光子一個個地大上，金屬中的電子要么吸收一個光子，要么不吸收。吸收一個能量為hν的光子，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時的動能。其能量關(guān)系可寫為：其中A為金屬的脫出功。（3）Einstein光量子關(guān)系式

光子不僅具有確定的能量E=hν，而且具有動量。根據(jù)相對論知，速度為V的粒子的能量由右式給出：對于光子，速度V=c，欲使上式有意義，必須令m0=0,即光子靜質(zhì)量為零。根據(jù)相對論能動量關(guān)系：光子能量、動量光波頻率、波長的關(guān)系：把光的波動性和粒子性聯(lián)系了起來光子的能動量關(guān)系為雖然愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設(shè)，這一點流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中。

“

總而言之，我們可以說，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問題中，很難找到一個問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻的，在他的各種推測中，他有時可能也曾經(jīng)沒有射中標的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實并不能成為過分責(zé)怪他的理由，因為即使在最精密的科學(xué)中，也不可能不偶爾冒點風(fēng)險去引進一個基本上全新的概念

”（4）Compton散射

-光的粒子性的進一步證實

Compton效應(yīng)

經(jīng)典電動力學(xué)不能解釋這種新波長的出現(xiàn)，經(jīng)典力學(xué)認為電磁波被散射后，波長不應(yīng)該發(fā)生改變。但是，采用光量子的概念，如果把X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應(yīng)很容易得到理解。

1).散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個新的波長為λ'的X光，且λ'>λ；

2).波長增量Δλ=λ'–λ隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為Compton效應(yīng)。1923年發(fā)現(xiàn)，1925年諾貝爾獎。

X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下特點：定性解釋根據(jù)光量子理論，具有能量E=hν的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)镋'=

hν'

顯然有E'<E,從而有ν'<ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據(jù)這一思路，可以證明：

Compton散射實驗是對光量子概念的一個直接的強有力的支持。并且證明了單個光子與電子的碰撞滿足能量、動量守恒定律。該式首先由Compton提出，后被Compton

和吳有訓(xùn)用實驗證實，用量子概念完全解釋了Compton效應(yīng)。因為式右是一個恒大于或等于零的數(shù)，所以散射波的波長λ'總是比入射波波長長（λ'>λ），且隨散射角θ增大而增大。思考題：光到底是波還是粒子？證明根據(jù)能量和動量守恒定律，得代入得：兩邊平方：（2）式—（1）式得：k

k'

mv所以最后得：3.原子結(jié)構(gòu)與Bohr的量子論

1913年Bohr

把Planck--Einstein

的量子概念與Rutherford的有核模型相結(jié)合,研究原子結(jié)構(gòu)問題，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來。（1）波爾理論中兩條基本假設(shè)

1）定態(tài)：電子在原子中并不沿著經(jīng)典物理所允許的任意軌道運動，只能沿著一組特殊的軌道運動，這種特殊軌道滿足量子化條件其中L為電子的軌道角動量。電子在這些特定軌道上運動時不輻射也不吸收，能量具有確定值En，稱為電子處于穩(wěn)定狀態(tài)，即定態(tài)。

2)量子躍遷：電子可以從一個定態(tài)En躍遷到另一個定態(tài)Em，同時輻射或吸收一個光子，光子頻率為

稱為玻爾頻率條件。（2）氫原子線光譜的解釋根據(jù)這兩個概念，可以圓滿地解釋氫原子的線光譜。假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運動+Fc

vre由量子化條件電子軌道半徑：定態(tài)能量：與氫原子線光譜的經(jīng)驗公式比較根據(jù)Bohr量子躍遷的概念氫原子光譜公式：得Rydberg

常數(shù)與實驗結(jié)果完全一致。（3）量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動量L

選為廣義動量，則θ為廣義坐標。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個價電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。其中Pi為廣義動量，qi為廣義坐標。（4）波爾量子論的局限性

1）不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；

2）不能給出光譜的譜線強度（相對強度）；

3）只能處理周期運動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；

4）量子化條件與經(jīng)典力學(xué)不相容，多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。波爾量子論首次打開了認識原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識?！?量子力學(xué)的誕生（一）deBroglie

波根據(jù)Planck-Einstein光量子論，光具有波動粒子二重性，以及Bohr量子論，啟發(fā)了deBroglie，1923年在其博士論文中仔細分析了光的微粒說與波動說的發(fā)展史以及幾何光學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的相似性，提出了實物粒子（靜質(zhì)量m不等于0的粒子）也具有波動性設(shè)想。也就是說，粒子和光一樣也具有波動-粒子二重性。

deBroglie

假設(shè)：與任何實物粒子相聯(lián)系都存在一列波，稱為物質(zhì)波或deBroglie

波。

deBroglie

關(guān)系:

與能量為

E、動量為p的實物粒子相聯(lián)系的deBroglie

波的頻率ν和波長λ滿足如下關(guān)系自由粒子的deBroglie

波因為自由粒子的能量

E和動量

p都是常量，由deBroglie

關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，所以與自由粒子聯(lián)系的波是一個單色平面波?；蚍Q為描寫自由粒子的平面波。

deBroglie

提出物質(zhì)波假設(shè)，一方面企圖把實物粒子與光的理論聯(lián)系起來，另一方面是為了更自然的理解Bohr的量子化條件。駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質(zhì)的缺陷，deBroglie

把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運動的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍于是角動量：deBroglie

關(guān)系r代入這正是Bohr的量子化條件。

1927-1928年由

Davisson

和Germer

以及G.P.Thomson

完成了電子衍射實驗，證實了電子具有波動性。θ法拉第園筒入射電子注鎳單晶

d電子波動性的實驗驗證散射電子束的強度隨散射角而改變，當取某些值時，強度有最大值，與x射線的衍射現(xiàn)象相同，衍射最大值由公式nλ=dSin

確定，說明電子具有波動性。

deBroglie獲1929年諾貝爾獎，Davisson和Thomson

分享了1937年諾貝爾獎。

(二)量子力學(xué)的誕生“量子”概念的提出,包括普朗克量子論,愛因斯坦的光量子論和玻爾的量子論,盡管取得了很大成功，但都帶有認為的性質(zhì),與經(jīng)典物理尖銳地沖突,是為了解釋實驗現(xiàn)象,按照普朗克的說法:“量子化只不過是一個走投無路的做法”。

經(jīng)典物理學(xué)的局限性已經(jīng)被揭示出來了,在微觀世界,面對原子、電子這樣的客體必須建立新理論來描述其運動規(guī)律。發(fā)展玻爾量子論（習(xí)慣上稱為舊量子論）的嘗試遭受了一次又一次的失敗。物理學(xué)家們不知道應(yīng)該如何理解舊量子論中的那些古怪而且似乎是臨時拼湊出來的規(guī)則?？茖W(xué)的發(fā)展必須另辟蹊徑，德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)是一個引人入勝的想法，盡管沒有人知道粒子的波動性意味著什么，也不知道它與原子結(jié)構(gòu)有何聯(lián)系，然而它觸及到了微觀粒子基本屬性的一個未被認識的一個重要方面，因此，隨之從1925年元月到1928年元月，一系列事件紛至沓來，最后導(dǎo)致一場科學(xué)革命。少有的天才薈萃在一起共同創(chuàng)造了量子力學(xué)。量子理論的主要創(chuàng)立者都是年輕人。建立了量子力學(xué)的兩種等價形式:矩陣力學(xué)和波動力學(xué)birthdayofquantummechanicsMaxPlanck(1858-1947)

NobelPrize191814December1900Planck(age42)suggeststhatradiationisquantizedE=hn

h=6.626x10-34

J?s1897Thompson(age41)

NobelPrize1906

measurestheelectron"plumpudding"model1905Einstein(age26)proposesthephoton1911Rutherford(age40)infersthenucleus

StatusofphysicsAlbertEinstein(1879-1955)

NobelPrize19211913,Bohr(age28)constructsatheoryofatom1921BohrInstituteopenedinCopenhagen(Denmark)Itbecamealeadingcenterforquantumphysics(Pauli,Heisenberg,Dirac,…)

NielsBohr(1885-1962)

NobelPrize1922oldquantumtheorymatrixformulationofquantummechanicsWernerHeisenberg(1901-1976)NobelPrize1932

1925atG?ttingen(Germany)M.Born(age43)W.Heisenberg(age23)P.Jordan(age22)

MaxBorn(1882-1970)NobelPrize1954

wavefunctionformulationofquantummechanicsErwinSchr?dinger(1887-1961)NobelPrize1933

1923DeBroglie(age31)matterhaswavepropertiesLouisdeBroglie(1892-1987)

NobelPrize1929

1926Schr?dinger(age39)Schr?dingerequation1926ErwinSchr?dingerinAustriaCarlEckert(age24)inAmericaProved:wavemechanics=matrixmechanics

(Schr?dingerandHeisenbergtheoriesequivalentmathematically)

Schr?dinger'swavemechanicseventuallybecamethemethodofchoice,becauseitislessabstractandeasiertounderstandthanHeisenberg'smatrixmechanicsNeumann(mathematician)inventedoperatortheory

Largelybecauseofhiswork(publishhisbookin1932),quantumphysicsandoperatortheorycanbeviewedastwoaspectsofthesamesubject.

wavemechanics=matrixmechanicsPaulDirac(1902-1984)NobelPrize1933

1925

Pauli(age25)

PauliexclusionprincipleWolfgangPauli(1900-1958)NobelPrize1945

1928Dirac(age26)

Diracequation(quantum+relativity)1927SolvayConference

HeldinBelgium,theconferencewasattendedbytheworld'smostnotablephysiciststodiscussthenewlyformulatedquantumtheory.§3量子力學(xué)的地位和作用

列舉20世紀最有影響的科學(xué)進展應(yīng)當包含廣義相對論、量子力學(xué)、宇宙大爆炸、遺傳密碼的破譯等等。在這些進展當中，量子力學(xué)深層次的根本屬性使得它處在一個最為獨特的位置。它迫使物理學(xué)家們改造他們關(guān)于實在的觀念；迫使他們重新審視事物最深層次的本性；迫使他們修正位置和速度的概念以及原因和結(jié)果的定義。盡管量子力學(xué)是為描述遠離我們的日常生活經(jīng)驗的原子世界而創(chuàng)立的，但它對我們?nèi)粘Ｉ畹挠绊憻o比巨大。（一）量子力學(xué)打開了通向認識微觀世界的大門，并由此開創(chuàng)了物理學(xué)的新時代，成就了今天的近代物理學(xué)。量子力學(xué)相對論原子、分子凝聚態(tài)原子核量子場論天體、宇宙起源激光、光纖晶體管、集成電路核能、放射性規(guī)范場、標準模型超導(dǎo)大統(tǒng)一信息能源光、電磁場超對稱弦??量子引力?黑洞

（二）量子力學(xué)促進了化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)以及其他每一個關(guān)鍵學(xué)科的引人入勝的進展。（三）量子力學(xué)是今天已經(jīng)實現(xiàn)的不計其數(shù)的新技術(shù)的源泉。

作為量子力學(xué)的產(chǎn)物的電子學(xué)革命將我們帶入了計算機時代，光子學(xué)的革命將我們帶入信息時代。沒有量子力學(xué)就沒有全球經(jīng)濟可言。

據(jù)估計，當前美國國民生產(chǎn)總值的30%以上來自量子力學(xué)的發(fā)明，如計算機芯片中的半導(dǎo)體、播放機中的激光器、醫(yī)院的核磁共振成象設(shè)備

量子力學(xué)提供了一種定量的物質(zhì)理論?，F(xiàn)在，我們原則上可以理解原子結(jié)構(gòu)的每一個細節(jié)；周期表也能簡單自然地加以解釋；巨額的光譜排列也納入了一個優(yōu)雅的理論框架。量子力學(xué)為定量的理解分子，流體和固體，導(dǎo)體和半導(dǎo)體提供了便利。它能解釋諸如超流體和超導(dǎo)體等怪異現(xiàn)象，能解釋諸如中子星和玻色-愛因斯坦凝聚（在這種現(xiàn)象里氣體中所有原子的行為象一個單一的超大原子）等奇異的物質(zhì)聚集形式。（四）量子力學(xué)潛在的巨大應(yīng)用量子力學(xué)量子計算不斷的發(fā)展巨大的應(yīng)用潛力半經(jīng)典物理量子信息量子密碼量子通訊宏觀量子態(tài)高溫超導(dǎo)波色愛因斯坦凝聚相干原子納米材料\結(jié)構(gòu)量子點\線§4量子力學(xué)的基本問題量子理論過去的成功并不意味著它是一個徹底完善的物理學(xué)理論。自量子力學(xué)誕生以來，關(guān)于量子力學(xué)的思想基礎(chǔ)和基本問題的爭論，