2015考研高數(shù)：極限計(jì)算常用7種突圍方法

2015考研高數(shù)：極限計(jì)算常用7種突圍方法(一)四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則在極限中最直接的應(yīng)用就是分解，即將復(fù)雜的函數(shù)分解為若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)和、積和商，各自求出極限即可得到要求的極限。但是在分解的時(shí)候要注意：(1)分解的各部分各自的極限都要存在;(2)滿足相應(yīng)四則運(yùn)算法則，(分母不能為0)。四則運(yùn)算的另外一個(gè)應(yīng)用就是“抓大頭”。如果極限式中有幾項(xiàng)均是無(wú)窮大，就從無(wú)窮大中選取起主要作用的那一項(xiàng)，選取的標(biāo)準(zhǔn)是選趨近于無(wú)窮最快的那一項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)趨于無(wú)窮的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于冪函數(shù)，冪函數(shù)趨于無(wú)窮的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于指數(shù)函數(shù)。(二)洛必達(dá)法則(結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替換、變限積分求導(dǎo))洛必達(dá)法則解決的是“零比零”或“無(wú)窮比無(wú)窮”型的未定式的形式，所以只要是這兩種形式的未定式都可以考慮用洛必達(dá)法則。當(dāng)然，在用洛必達(dá)的時(shí)候需要注意(1)它的三個(gè)條件都要滿足，尤其要注意第二三個(gè)條件，當(dāng)三個(gè)條件都滿足的時(shí)候才能用洛必達(dá)法則;(2)用洛必達(dá)法則之前一定要先化簡(jiǎn)，把要求極限的式子化成“干凈”的式子，否則會(huì)遇到越求導(dǎo)越麻煩的情況，有的甚至求不出來(lái)，所以一定要先化簡(jiǎn)?；?jiǎn)常用的方法就是等價(jià)無(wú)窮小替換，有時(shí)也會(huì)用到四則運(yùn)算?？忌欢ㄒ煊洺Ｓ玫牡葍r(jià)無(wú)窮小，以及替換原則(乘除因子可以替換，加減不要替換)?？佳兄?，除了也常常會(huì)把變限積分和洛必達(dá)相結(jié)合進(jìn)行考查，這種類型的題目，首先要考慮洛必達(dá)，但是我們也要掌握變限積分求導(dǎo)。另外，考試中有時(shí)候不直接考查“零比零”或“無(wú)窮比無(wú)窮”型，會(huì)出“零乘以無(wú)窮”，“無(wú)窮減無(wú)窮”這種形式，我們用的方法就是把他們變成“零比零”或“無(wú)窮比無(wú)窮”型。(三)利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限，也是考研中常見的方法。泰勒公式可以將常用的等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行推廣，如，等。也可以用來(lái)求解未知極限式中的未知參數(shù)，和解決抽象函數(shù)的極限。尤其是未知極限式中的未知參數(shù)，比起洛必達(dá)更適合用泰勒公式去做。(四)冪指函數(shù)的極限計(jì)算方法冪指函數(shù)指的是，底數(shù)和指數(shù)都是函數(shù)的函數(shù)。對(duì)于冪指函數(shù)考研中經(jīng)?？嫉念}型是未定式的形式，如：，，。統(tǒng)一的處理方式是做恒等變形，從而只要能計(jì)算出極就可以了。當(dāng)然對(duì)于的形式除了用剛才那種方法，也可以用重要極限去做。對(duì)于用兩種方法得出的結(jié)果都是，其中

。把這個(gè)當(dāng)結(jié)論記住，遇到的形式直接用就可以了。

(五)夾逼定理夾逼定理是極限這部分兩個(gè)收斂準(zhǔn)則之一，數(shù)一數(shù)二要求掌握并會(huì)用它求極限。數(shù)三要求了解極限存在的收斂準(zhǔn)則，經(jīng)常以求n項(xiàng)和的極限這種形式出現(xiàn)或數(shù)列極限的形式出現(xiàn)。使用夾逼定理的核心在于放縮，即將要計(jì)算極限的函數(shù)或數(shù)列放大和縮小之后分別求極限，如果這兩者的極限都等于同一個(gè)數(shù)，那么原先的函數(shù)或數(shù)列的極限也就等于這個(gè)數(shù)。這里在放縮的時(shí)候一般要遵循兩個(gè)基本原則：一是要便于計(jì)算，二是要適度(也即放縮之后的極限必須一致)。夾逼定理主要用來(lái)求數(shù)列極限，對(duì)數(shù)一數(shù)二的要求高一些。(六)單調(diào)有界定理單調(diào)有界定理是極限存在的另一個(gè)收斂準(zhǔn)則?？佳兄械念}型主要是證明一個(gè)數(shù)列極限存在，并求其極限常見于數(shù)一二，尤其是數(shù)二，11、12、13年連續(xù)三年考單調(diào)有界定理。這種類型題目，主要就是證明數(shù)列單調(diào)有界(單調(diào)遞增有上界，單調(diào)遞減有下界)即可。(七)定積分定義考研中求n項(xiàng)和的極限這類題型用夾逼定理做不出來(lái)，這時(shí)候需要用定積