解析幾何-2023上海市高三數(shù)學(xué)一模匯編【教師版】

2023一模匯編【解析幾何】

一、填空題

1.【嘉定3】直線(xiàn)X=I與直線(xiàn)氐一）+1=0的夾角大小為.

【答案】?

6

2

2.【閔行3】雙曲線(xiàn)匕=1的離心率為.

8

【答案】3【提示】?=inc*=l+8=9nc=3

3.【靜安3】若直線(xiàn)x+2y+3=0與直線(xiàn)2x+my+10=0平行，則這兩條直線(xiàn)間的距離是.

【答案】?

5

【提示】-=—≠-^m=4^2x+4y+10=0,即x+2y+5=0nd=-jZ∑2L=里

2m10Vi1TF5

4.【金山4】已知拋物線(xiàn)y=2pχ（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,則，的值為.

【答案】4【提示】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（§0；所以勺2,則p=4

5.【奉賢5】己知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，它的漸近線(xiàn)方程為y=±2x,則它的離心率等于

.【答案］石

bC1

【提示】y=±-x=±2x,所以b=24,故"=4〃=《2一〃所以‘工=56z2,故/==5

aa

x+my=2

6.【崇明6】已知方程組《二C無(wú)解，則實(shí)數(shù)加的值等于_______.

77U÷16J=8

【答案】-4

1m—2

［提示】直線(xiàn)x+g>-2=0與直線(xiàn)∕nr+16y-8=0平行=—=豐一=>m=-4

m16-8

2

7.【普陀7】雙曲線(xiàn)r土-V=1的兩條漸近線(xiàn)的夾角大小為.

3

【答案】一【解析】——y2=0=>y=-^-x=>Z:=≡>θ=—^a=2θ=—（僅適用特殊角）

333363

【巧解】COSa=冷與=坦二U=L=>a=2(此方法也適合一般角)

a2+b23+123

8.【浦東8】已知拋物線(xiàn)Uy?=i6x的焦點(diǎn)為尸，在C上有一點(diǎn)。滿(mǎn)足IPFI=I3,則點(diǎn)P到X軸的距離

為.

【答案】12

【解析】IPFl=~+4=13?XP9?y；16?Ml=I2,

故點(diǎn)P到X軸的距離為12.

9.【楊浦8】若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±3χ,則雙曲線(xiàn)的離心率為.

【答案】』或9

43

【提示】2=3或@=3,①若2=3,令b=3t,a=4t,則e=f?=2=2;

a4b4a4?4/4

②若q=3,令Z,=4r,α=3f,則e=￡=2=3；綜上，雙曲線(xiàn)的離心率為之或

b4a3t343

10.【普陀9】設(shè)根€R.若直線(xiàn)/：x=—1與曲線(xiàn)C,,,:(X-L)2+(y-m)2=l僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則

4

加=.【答案】0

【解析】圓心Cm(!，加)，???直線(xiàn)/：X=-I與圓C,“僅有一個(gè)公共點(diǎn)

“2

二./與圓相切=>----(-1)=1=>m=0.

11.【閔行10］己知A(Xl,X)、是圓/+y2=ι上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且則

2%+々+2乂+%的最大值為.【答案】√2

X=cosa[x=COS/?八

27

【解析】令勺.,.二，0<a<β<2πt

y}=Sma[y2-sinp

則A(COSa,sinα)、B(cosβ,sin/3),

由=∕y，得COSaSin/?=SinaCOS尸=Sin(夕一0)=0,

又因?yàn)镺≤α<∕7<2",所以用一ɑ=π,

,

=>2xl+x2+2)1+j2=2CoSa+cos尸+2Sina+sin尸=2CoSa+cos(π+α)+2sinα+sin(π+α)

=2CoSa-CoSa+2Sina-Sina=Sinα+cosα=V∑sin[a+:

當(dāng)α=:時(shí)，上式取得最大值J5?

22

12.【松江10】己知《，乃是雙曲線(xiàn)「：鼻一六=1(4>02>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線(xiàn)「上的

任意一點(diǎn)(不是頂點(diǎn))，過(guò)耳作6的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N,線(xiàn)段KN的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)。,

0是坐標(biāo)原點(diǎn)，若IONl=匣』，則雙曲線(xiàn)「的漸近線(xiàn)方程為.【答案】y=±2√2x

6

【解析】因?yàn)镸N是NKM6的角平分線(xiàn)，耳NAMN,

所以△耳M。是等腰三角形，∣6M∣=∣MQ∣,N為耳。的中點(diǎn)，

又。為耳心的中點(diǎn)，所以QV是△百gQ的中位線(xiàn)，

如圖，由雙曲線(xiàn)定義，得IMGI—IMEl=IQPJ=2∣QNl=2αn∣0N∣=4,

QM=14-/.6a-2c=>3a-c≡>9<√2=a^+b28tz2=〃=-=2?∕2,

116α

所以雙曲線(xiàn)F的漸近線(xiàn)方程為y=±2√2x.

13.【寶山10】雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)分別為丹、尸2，點(diǎn)A在y軸上.雙曲線(xiàn)C與線(xiàn)段Af；交于點(diǎn)P,與

線(xiàn)段A8交于點(diǎn)Q，直線(xiàn)AK平行于雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)，且:IPQl=5:6,則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)

【答案】-

3

【答案】如圖，PQ交y軸于根據(jù)雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,

知P0與X軸平行，且IPMl=JP0.

設(shè)IM=5Z(Q0),則歸。=6%，IPM=3左，

2

所以IMAI=y∣?APf-?MP?=4k.

雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y=±2χ,的(-G0),由已知直線(xiàn)46斜率為2,

αa

則直線(xiàn)M的方程為y=夕x+c)n∣Q4∣=^.

?MP?MA

因?yàn)镸P〃。1，所以有馬=-即-T=無(wú)，整理可得，4a=3b^16α2=9b2=9(c2-a2)

I。娟OA

a

c2_25__5

=25"=9/二=/,所以，

^^9^^-3-

14.【徐匯11]設(shè)4eR,函數(shù)y=|f—4x+3∣的圖像與直線(xiàn)y=區(qū)+1有四個(gè)交點(diǎn)，且這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

2222

分別為玉,工2，占，%(不<X,<Λ3<X4),則'"+J+K+'寸的取值范圍為.

k

(1?9、

【答案】一8,一亍【解析】根據(jù)題意，令χ2一4χ+3=0,解得X=I或X=3,

不妨設(shè)A(l,0),B(3,0),C(CU),如圖直線(xiàn)BC的斜率為-g,數(shù)形結(jié)合可知，要滿(mǎn)足題意，Ze(,0)；

且X],??為方程/-4%+3=AX+1,即X2-(4+%)x+2=0的兩根，

2

=>X1+X4=Z:+4,FX4=2,故=(Xl+%)2—2%工4=(攵+4)—4；

【解析】因?yàn)锳=](x,y)(x+y)2+x+y-2≤θ}={(x,y)∣-2≤x+y≤l},

所以集合A是被兩條平行直線(xiàn)x+y=-2,x+y=l夾在其中的區(qū)域，

如圖所示，3={(x,y)(x-α)2+(y-2α-l)?≤a2-1|,

其中(九一ɑj+(y—2a—I)?=4—1,由/—1≥0,解得α≤-1或Q≥1,

當(dāng)α=±l時(shí)，B表示點(diǎn)(1,3)或(一1,一1)；當(dāng)α≠±l時(shí)，B表示以M(a,2α+1)為圓心，而二?為半徑的

圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，其圓心在直線(xiàn)y=2x+l上，A.??圓M應(yīng)與陰影部分相切或者相交,

①當(dāng)α=l時(shí)，點(diǎn)（1,3）在直線(xiàn)x+y=l的上方，舍去;

②當(dāng)α=T時(shí)，點(diǎn)（一1,一1）在直線(xiàn)χ+y=-2上，滿(mǎn)足題意;

③當(dāng)α<—1時(shí)，4→,==K2蓑"N≤&T=9〃+18α+9≤2〃一2

t+y+20

=>7a2+18a+l1≤0=>(a+l)(7iz+l1)≤O=>-y-≤α<-l；

?cι+2a+1—11/^^?)?

④當(dāng)時(shí)，J五無(wú)解;

α>l<W→Λ+J-I=O=——~~^≤√"-l=9α2≤2Q2-2=7α2≤-2,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍足-卜1

16..【黃浦12】已知曲線(xiàn)G：y=J叱與曲線(xiàn)G：y=χ∕Ξ二7,長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段45的兩端點(diǎn)A,8分

別在曲線(xiàn)G，G上沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A從點(diǎn)（7,0）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)3到達(dá)點(diǎn)（虛,0）時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則線(xiàn)

3才

段AB所掃過(guò)的區(qū)域的面積為..【答案】—

8

?χ+D2+城=1

ixi=-1

【解析】如圖所示：A（T,0）,即χ∣,M）,<1由(—1,1)

.城+片=2Iy=I

f√2

叼叵o"Qd、

->

線(xiàn)段AS所掃過(guò)的區(qū)域的面積為郃=9一（￡一:）一（：一1）=苧

24228o

17.【長(zhǎng)寧12］已知"、工為橢圓r：「+y2=i（。>1）的左右焦點(diǎn)，A為F的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)點(diǎn)”

a

J答案】當(dāng)

且與「交于3、C兩點(diǎn).若/垂直平分線(xiàn)段AQ,則ΔABC的周長(zhǎng)是.

【解析】如圖，連接CK,8鳥(niǎo)，因?yàn)?垂直平分線(xiàn)段AE2,所以IC閭=IAq,怛Gl=IABl

所以ΔABC的周長(zhǎng)為I+忸閭+忸制+1C用=4α

1

由題意得A（O,1）,耳（—c,0）,G（G0）,則A5的中點(diǎn)為。

2,2

-----------*~~~*cI3C1八

-.FDlAF.?.FD-AF=(―+c,-)?(c,-1)=~c——=0

i2122

\睜=2√3,所以ΔABC的周長(zhǎng)為4α=更.

=>a=

V33

18.【虹口12］已知耳,巴是雙曲線(xiàn)CjT=I(α,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)E的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A,

B兩點(diǎn),且|4耳|=2|4月，ΛAFiF2=AFxBF2,則在下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)為.

(注意：不填或錯(cuò)填得0分，漏填得2分.)

①雙曲線(xiàn)C的離心率為2；②雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)的斜率為夜；

③線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為6?；④ΔARlB的面積為A/.

fr'-^2‰r=4a,r=2a

【答案】①④【解析】IAKl=4,|4閭=4,?l2

［梁安="nAA7MM眶n為=鋁AB=f=8α,③鐲吳

AB=8^z,r2=2CmF2B=6a,F1B-F)B=2a=>FlB=Sa

ΔAKEMBEnW=帶=招n46=；x8a=4“=2C=C?=24

e=>2,①正確c=2",∕=4"f=3∕,y=±*=G郵；

,,八(4w)2+(4α)2-(2α)27?√15

ΔλλAFγ.Fγ,cosZl=----------------------=—,sιnZzlι=-?-，

'2)2x44x4488

SWe=；IAKIXIG用sin∕l=Jx4"x4αχ羋='

I④正確；所以選①④

19.【徐匯12】已知正實(shí)數(shù)α/滿(mǎn)足3α+2?=6,則8+壽與石的最小值為.

29

【答案】—【解析】設(shè)直線(xiàn)3x+2y=6,點(diǎn)P(α∕)在直線(xiàn)3x+2y=6上，且在第一象限,

13

設(shè)點(diǎn)A(0,1),M(α,0),則人+^a2+b2-2b+i=b-Q+舊+(b-Iy=d

?謝+IPAI,

如圖所示，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)3x+2y=6對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)設(shè)為6(相,

CCO2-624

m=0-2-3-------=—

則法一：由對(duì)稱(chēng)點(diǎn)公式，得<9+413

,CC2-629

〃=1-2?2------=—

9+413

H-I_2

m3m=—

法二：3m.解得.，

-----F〃+1二:6,

12n=—

（共同）所以dp』軸+1PAI=軸+∣PB∣≥"=E,當(dāng)且僅當(dāng)3、P、M共線(xiàn)時(shí)等號(hào)成立，

______29

即b+y]a2+b2-2h+?的最小值為—■

20.【崇明12]己知橢圓"與雙曲線(xiàn)C的離心率互為倒數(shù)，且它們有共同的焦點(diǎn)6、F2,P是一與口在

第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)NE∕7ζ=2時(shí)，雙曲線(xiàn)匚的離心率等于_________.【答案】2+6

6

22

【解析】設(shè)橢圓口標(biāo)準(zhǔn)方程為=+??=l（%>4>0）,橢圓離心率為q

b；

?y

設(shè)雙曲線(xiàn)、標(biāo)準(zhǔn)方程為r—==l（α,>（）,">0）,雙曲線(xiàn)離心率為C2,由題知e∣?e2=l

機(jī)+〃=2。]①

法一：設(shè)周∣閶則，

IP=τn,P=M,加一〃二2%②,由(JXg)得加=%+a2，n=ai-a2

4C2=+H2-2機(jī)〃?cos一③

6

代入③整理得，布=（2—G）W+（2+GM，兩邊同時(shí)除以C?得，4="￡+2乎

法二：S%PF,="tan言=片Cotqn廳=(2+KA公

,.*CL=Ciy—b；=a；+b；「.a；—(7+4yf^)bj=cι^+b：≡≡≥a；=ClZ+(8+4?Λ∕3)(C,^—a：)

na：(4√3)24√3)2=>-L，+乎=8+4√5ne；—(8+4百)￡+7+4√5=0

+7+a=(8+ce?+e2

2

=[e；—(7+46)]?(4-1)=0=4=7+4√3=(2+√3)=>β2=2+G

【點(diǎn)睛】本題綜合考查橢圓和雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用橢圓和雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三

角形中的余弦定理，列出方程組即可求解.

二、選擇題

21.【金山13】已知直線(xiàn)4:3x-（a+2）y+6=0,直線(xiàn)&：?+（左一3）y+2=0,則“a=—9”是“"/1'

的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】C

22.［黃浦13］在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，“相<0”是“方程/+加），2=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，，的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

23.【虹口13］設(shè)m∈R,已知直線(xiàn)=機(jī)x+l與圓C:x2+y2=l,則“">0"是''直線(xiàn)/與圓C相交”

的（）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（Z））既不充分也不必要條件

【答案】A【提示】直線(xiàn)/與圓C相交="=了『<lomκ°,小推大，大不能推小

24.【徐匯14］己知圓Cl的半徑為3,圓C2的半徑為7,若兩圓相交，則兩圓的圓心距可能是（）

A.OB.4C.8D.12

【答案】C【分析】根據(jù)兩圓相交圓心距R-r<d<R+r驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.

【提示】R-r<d<R+r,即4<d<10,僅有C滿(mǎn)足，故選C.

222222

22

25.【嘉定14】已知四條雙曲線(xiàn)，Γ,:x-y=l,「:二一二=］,Γ1X-≤=1,Γ4:--?=1,

29434941616

關(guān)于下列三個(gè)結(jié)論的正確選項(xiàng)為（）

①「4開(kāi)口最為開(kāi)闊；②心的開(kāi)口比心的更為開(kāi)闊：③口和口的開(kāi)口的開(kāi)闊程度相同.

A.只有一個(gè)正確B.只有兩個(gè)正確C.均正確D.均不正確

【答案】D分別計(jì)算出四條雙曲線(xiàn)的離心率，根據(jù)離心率越大開(kāi)口更開(kāi)闊進(jìn)行比較.

【解析】?=-^=√2,e,=—,e3=-,e4=√2.比較大小知：￠2<?=el<e3.

a32

可知：三個(gè)結(jié)論均為錯(cuò)誤，故選D

26.【虹口15］已知尸是橢圓G：］+《=l與拋物線(xiàn)C2：y2=2px（p>0）的一個(gè)共同焦點(diǎn)，C與G相交

于4,B兩點(diǎn),則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)等于（）

(A)∣√6(B)∣√6

(C)I(D)y

【答案】B

2

Λ2y_

T+T-=>(j,l?r-),則IAM=竽γ，所以選B

【解析】F(I5O),則C?:[=4…

,V=4x''

27.【崇明16］已知曲線(xiàn)C：(?2+/)3=16√√,命題p：曲線(xiàn)C僅過(guò)一個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的

點(diǎn)；命題中曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是2.則下列說(shuō)法正確的是()

A.p、q都是真命題B.p是真命題，q是假命題

C.p是假命題，q是真命題Dpq都是假命題

【答案】A【解析】因?yàn)?Y+y2)3=]6χ2y2≤16二t?,當(dāng)且僅當(dāng)r=V時(shí)，等號(hào)成立

所以/+y2≤4,因此曲線(xiàn)C所圍成的區(qū)域的在圓V+y2=4上或者內(nèi)部，即Tj2?2

故曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是2,因此命題q為真命題

???曲線(xiàn)C：(χ2+y2)3=16χ2y2圖像關(guān)于X軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

.?.當(dāng)XNO,yN0時(shí)，圓/+y2=4匕及內(nèi)部橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),(0,2),

其中點(diǎn)(0,0)顯然在曲線(xiàn)C上，但其它點(diǎn)均不在曲線(xiàn)上，故曲線(xiàn)C僅過(guò)一個(gè)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),

因此命題P為真命題.綜上，選A.

28.【寶山16】已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l)在拋物線(xiàn)C：犬=2Py(P>0)上，過(guò)點(diǎn)8(0,—1)的直線(xiàn)交

1?

拋物線(xiàn)C于尸、Q兩點(diǎn)：①拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為y=--^②直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C相切；③IOPHoQl>Ar；

④忸4忸0=忸以上結(jié)論中正確的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B【答案】將點(diǎn)A(l,l)代入拋物線(xiàn)方程，可得p=；n拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-；,故①錯(cuò)誤；

拋物線(xiàn)C方程為公=>，令/(x)=χ2,/(1)=2=七B，拋物線(xiàn)在A點(diǎn)處切線(xiàn)斜率與直線(xiàn)AB斜率相同,

因此直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C相切，故②正確；

由題可知2,直線(xiàn)PQ斜率存在，所以設(shè)直線(xiàn)PQ方程為y=去T,交點(diǎn)尸［詞)，Q(χ2,χl)

X2=V

聯(lián)立方程《■，整理可得爐一日;+1=0，?=?2-4>0=>Λ2>4<且%+々=%，西龍2T

y=kx-?

?OP??IOQI=JXI2+%；.J*+￡-J(XlX2)-+++(X]*2)4=++x；+1

Λ)^-∣∣故③正確:

=??(?,+22XIX2+2=JP^>2=OA^.

222

?BP?-?BQ?=y∣l+k∣x,∣?√l+Γ∣Λ2∣=(l+?)∣xlx2∣=I+^>1+4=5

而—0y+（l+l）2=5,所以忸尸卜忸Q∣>忸A(yù)『，故④錯(cuò)誤.綜上，選B.

29.【浦東16】已知平面直角坐標(biāo)系中的直線(xiàn)4：y=3x、l2?.y=-3x.設(shè)到《、人距離之和為28的點(diǎn)的

軌跡是曲線(xiàn)G，到4、4距離平方和為2。2的點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)C?，其中PrP2>0.則G、。2公共點(diǎn)

的個(gè)數(shù)不可能為（）

A.0個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

【答案】D

【解析】設(shè)曲線(xiàn)G上任意點(diǎn)P（χ,y）滿(mǎn)足：田一）'的+"—2p]=∣3x-y∣+∣3x+y∣=2jidp∣

①當(dāng)3x-y>0,3x+y>0=>x=??-px

②當(dāng)3x-y>0,3x+y<0=>y=->∕iθpl

③當(dāng)3x-yv0,3x+y>0=>y=VlOp1

④當(dāng)3x-y<0,3x+yv0nx=-^^P]

所以曲線(xiàn)G為矩形，頂點(diǎn)分別為

,

(~^~~f∣>>∕iθPι)`(——px,-VlOp1)>(-?-p∣,-λ∕10/7,)：

設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)Q（X，y）滿(mǎn)足:

_18X2+2∕X2

叫f=2P2=77?----

2

10IOp2IOp2

9

所以曲線(xiàn)G是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;

如圖所示，G、G公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為0,4,8,不可能有12個(gè)交點(diǎn)，故選D.

30.【青浦16】在直角坐標(biāo)平面Xoy中，己知兩定點(diǎn)E(-2,0)與Q2,0),耳，6到直線(xiàn)/的距離之差的絕

對(duì)值等于20，則平面上不在任何一條直線(xiàn)/上的點(diǎn)組成的圖形面積是()

（A）4π（B）8（C）2π（D）4+π

【答案】C【解析】當(dāng)/不垂直于X軸時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/:y=Zx+。

?-2k+b??2k+b?p2√2^>^-2k+b?-?2k+b^2√2√F+1

則IdGT/-既―/1=

√?2+l√Λ2+1

①當(dāng)（一2女+8）（2攵+8）≥0,即b2≥^k2時(shí)，則

41左I=2V2VZ:2+1=2k1=k~+?=>k^=I=攵=±1

=>h2≥4k2=4^?h?≥2,即/所圍成的圖形是以耳K為對(duì)角線(xiàn)的正方形及其外部；

②當(dāng)（-2左+匕）（2左+b）<0,即噌2<482時(shí),

則2∣b∣=2√^√F7I=>∣0∣=√^√Pn^2k2+2<4k2^k2>↑=>?k?>l,

→j∕∣-J2?∣k2+1>2=/：V=kx±42yjk2+1n--+V2n川-V2

7+1>2√F71I√XP71

即/上的點(diǎn)（x,y）到直線(xiàn)y=kx（?k|>1）的距離為√2,

即平行于直線(xiàn)y=kx(?k|>1)的兩條平行線(xiàn)間的距離為2后，是圓d+V=2的兩條平行切線(xiàn),

當(dāng)兩條平行切線(xiàn)從k=1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到垂直于X軸，從Z=-1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到垂直于X軸時(shí)，

將正方形內(nèi)、圓V+y2=2外的左右兩處全掃到，說(shuō)明這兩處的點(diǎn)在直線(xiàn)/上，

所以平面上不在任何一條直線(xiàn)/上的點(diǎn)組成的圖形是圓?+y2=2的內(nèi)部及正方形內(nèi)圓

22=2外的上下兩部分，故面積為2[(√Σ)2+2?J?工?(√Σ)2]=2(2+工)=4+萬(wàn)，故選

X+yD.

242

y

【錯(cuò)解】設(shè)直線(xiàn)/的方程為αx+by+c=O,兩定點(diǎn)耳(―2,0)與工(2,0),A

由于耳，F(xiàn)2到直線(xiàn)/的距離之差的絕對(duì)值等于2及，

則=2>∕2=>||-2?+c∣-∣2<7+c∣∣=2>∕2?∣a2+b2.

①當(dāng)（-2。+。乂2。+。）》0時(shí)，即C?""時(shí)，|4?|=2?∕2?Ja2+h2>

平方整理得/=〃，所以5≥回="如圖：正方形KA6B上及外部的點(diǎn)均在直線(xiàn)/上:

222222

②當(dāng)(—2α+c)(2α+c)<0時(shí),BPc<4α0t><∣2c∣=2√2√√+Z?=>c=2(a+b),

記(Xo，%)為直線(xiàn)依+b)'+c=°上一點(diǎn)，所以"o+皿+c=0,

22C2

則(6+〃)(片+尤"("+奴)2=￠2=%N/=2,則在圓χ2+y2=2外部的點(diǎn)，包括圓亦

T

在直線(xiàn)/上；綜上，平面上不在任何一條直線(xiàn)/上的點(diǎn)組成的圖形為圓/+y2=2內(nèi)部的所有點(diǎn)，

故面積為π∕=2π?選C.

三、解答題

31.【奉賢20](本題滿(mǎn)分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題4分，第2小題5分，第3小題9分

已知橢圓。的中心在原點(diǎn)O,且它的一個(gè)焦點(diǎn)尸為(石,0)?點(diǎn)4,4分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為

橢圓的上頂點(diǎn)，AoEB的面積為Y3.點(diǎn)M是橢圓C上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)若把直線(xiàn)M4、6的斜率分別記作人、右,若匕+&=—彳，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)直線(xiàn)MAl與y軸交于點(diǎn)P,直線(xiàn)KA2與y軸交于點(diǎn)。.令PB=/IBQ,求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

264

【答案】(1)—+/=1；(2)M；(3)λ∈(0,1).

45,5

a2-b2=3

2

1,√3Ja=2x

【解析】(1)「-DC=——=><,,,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為工+>2=14分

22b=l4'

c=?/?

(2)4(—2,0),4(2,0),設(shè)M(Λ0,%),(0V/V2)

焉+4y=4

X,

%I%32G33(4-%o)?9(16—8ΛQ÷xθ)

則《一Wn%'/=一=匯+今=4

x0÷2/一264xθ

?>。,%>0

16x；+144-724+9%；=64%：=25%一136%+144=0=其=4或片=||

,.36、

o3(4-----)

一人一6464

=>?=2(舍)或XO=Wnyo25得M5分

8×65,5

5

（3）設(shè)直線(xiàn)MA的方程為y=K(X+2),則尸(0,2K)1分

設(shè)直線(xiàn)M4的方程為y=A2（x-2）,則尸（0,—2&）1分

1一2公2匕-1

=PB=(0,1—2幻，3Q=(0,_2&_l)=4=2分

—2&2—?2左2+?

?o%—?o2*1.1=2勺-1=2匕

21

klk2=42分?÷I分

XO+2XQ—2xθ—4

設(shè)Λl(%,yo),(θ</<2),

在（0,2）上嚴(yán)格減=匕efθ,?

則K7%?1分

x0+2x0+222+x02

ΛΛ∈(0,1)1分

32.［黃浦20］（本題滿(mǎn)分18分）第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分.

y2=l（α>〃>（））的離心率為等，以其四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于8√Σ?

已知橢圓C:?+

a

動(dòng)直線(xiàn)4、乙都過(guò)點(diǎn)M（（），㈤（0</<l）,斜率分別為左、—3k,∕∣與橢圓C交于點(diǎn)A、P,L與橢圓C交

于點(diǎn)3、Q,點(diǎn)、P、Q分別在第一、四象限且X軸.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線(xiàn)乙與X軸交于點(diǎn)N,求證：INPl=2∣NMI；

(3)求直線(xiàn)45的斜率的最小值，并求直線(xiàn)AB的斜率取最小值時(shí)的直線(xiàn)∕∣的方程.

【答案】（1）工+匯=1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）—,y=-x+^^-

84267

【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c,則由￡=也

,a2^b2+c2S.2ab=8y∕22分

a2

可得力=C=2,4=2\/2,所以橢圓C的方程為2-+4分

84

ymym

(2)設(shè)PO?,yo),PO?,-%),貝“％=°~,3?-~°~6分

??

-y∩-tnCyn一加

可得」-二-3包一，解得?=2m8分

??

（第20題圖）

又WPI=Ji^∣2則,∣MWl=帆,所以INPl=2∣NM∣...................10分

(另法：根據(jù)N,M,P三點(diǎn)共線(xiàn)與縱坐標(biāo)關(guān)系，用向量或中點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)證明)

(3)設(shè)A(X1,y∣),B(X2,y2)，直線(xiàn)/"2的方程分別為丫=丘+犯y=-3G+m

由(2)知％=—，又〃7，M均大于0,可知%>0..................11分

X

22

y=kx+mCC2C2Im-R12m-€

由<09(1÷2?**)X+4kmx+2m—8=0,所以XOXl=———,即百=---------Q

X2+2√=8°?1+2/?1+2公

…?口12∕n2-8八

問(wèn)理可得X)=.................................13分

~?l+2(-3?)2

2

?(2m-8)-3%(2加2-8)

直線(xiàn)鉆的斜率為互二”=的+⑼-(-35-，〃)=α+2口?！?(1+18^2)/k(4+2442)

―_16:

x1-x2X1-X2(2m-8)(2加2—8)

2

(1+2/?0(1+18?)X0

=Jd+6Q≥逅(當(dāng)且僅當(dāng)人=包時(shí)取等號(hào)).........16分

4%26

當(dāng)Z=@時(shí)?，Xo=廊，此時(shí)P(標(biāo),2加)在橢圓C上，所以空+如=I

684

又0<〃7<1,可得加=2紅，所以直線(xiàn)科的斜率的最小值為亞

72

且當(dāng)直線(xiàn)他的斜率取最小值時(shí)的直線(xiàn)4的方程為y=骼x+岑..........18分

33.【徐匯20](本題滿(mǎn)分16分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分6分)

22

已知曲線(xiàn)Ci的方程為x+Azγ=l(Λ∈R,z=l,2,3),直線(xiàn)/：y=Z(x+1)與曲線(xiàn)G在第一象限交

于點(diǎn)片(％,y)?

(I)若曲線(xiàn)G是焦點(diǎn)在X軸上且離心率為上的橢圓，求4的值；

2

⑵若左=1,4片-1時(shí)，直線(xiàn)/與曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)M,N,且IMM=JE,求曲線(xiàn)G的方程；

(3)是否存在不全相等4，λ2,4滿(mǎn)足4+4=24,且使得￥=%毛成立.若存在，求出巧的值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(I)4=2;

2222

(2)X+y=l^lx-3y=li

（3）存在不全相等4，λ2,不滿(mǎn)足4+4=24,且使得后=XR成立，?=i?

【:「1（1）根據(jù)橢圓離心率的公式以及橢圓中。力,c的關(guān)系即可求解;

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求解;

1_7A:2

（3）聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)假設(shè)4+4,=24,代入玉=1力7即可化簡(jiǎn)求解.

1+Λik

2y2歷

χ則C=也，

【解析】（1）由題得4〉。，曲線(xiàn)G為：1一，又離心率為2=在，。=1,

τa22

4

2

又因?yàn)镮='+=>4=2；

4隹

x+4)?=>+1)χ2+iλx+λ—1=0,

（2）設(shè)M（X材，加），N（X2N）,聯(lián)立方程,21

y=χ+ι

2

因?yàn)?2X-1,Δ=4∕l2-4(Λ2+1)(∕12-1)=4,

—24辦一?III----5/4/-

XXX=

則??+?N=^―MNγ—7，所以IMNI=J1+1工—J=J2,解得Λ2=1或Λ2=-3.

X2+1X2+1U2+1

因此，曲線(xiàn)。2的方程為：/+丁=1或12-3,=1；

X；：；女彳+一又玉〉得林

（3）聯(lián)立〈++]=42(1)2=1χ2,0,2(χ+])=Im1=；+?

假設(shè)存在4+4=2%（乙4，4不全相等），使得玉X3=x；成立，

Y42

1+44A-(4+4)/2I+Λ^?-2λ2k

(1+4%2)(]+4∕)(1+4左2,有l(wèi)+44∕+α+4"2-]+/%4+24%2'

7

分離常數(shù)得1_____2(4+』)?_____=_____4∕l2_____

“向用處得1+4獷+(4+4)/-1+后/+2毋2,

4毋2

化簡(jiǎn)，得4242

1+λlλ3∕c+(4+A3)k~l+A^k+2λ2k，

由片（Xj,y）在第一象限，玉＞0且y=M%+1）＞O,得4＞0.

(i)若A2=0,則4+4=0=々=1,XlX3=1；

z4

(ii)若4≠0,則44%==>A1A3—,因?yàn)?+4=2Λ2,所以升+2A1Λζ+態(tài)=4無(wú)=4Λ1Λ3

=＞若-2∕l1Λ3+若=O=4=4=%與已知矛盾.

綜上所述：存在4+