工程力學(xué) 課件 6彎曲內(nèi)力與強(qiáng)度計(jì)算

§6-1平面彎曲的概念及實(shí)例§6-2剪力和彎矩§6-3剪力圖和彎矩圖§6-4純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第六章彎曲內(nèi)力與強(qiáng)度計(jì)算

§6-5梁彎曲的強(qiáng)度及其應(yīng)用§6-6提高梁的彎曲強(qiáng)度的措施概述承受彎曲作用的桿，稱為梁。軸向拉壓—內(nèi)力為軸力。如:拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。桿件：某一方向尺寸遠(yuǎn)大于其它方向尺寸的構(gòu)件。直桿：桿件的軸線為直線。桿的可能變形為：軸向拉壓彎曲扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)—內(nèi)力為扭矩。如:各種傳動(dòng)軸等。(軸)彎曲—內(nèi)力為剪力和彎矩。如:橋梁、房梁等.(梁)概念6.1概念及實(shí)例

直桿在垂直于其軸線的外力或位于其軸線所在平面內(nèi)的外力偶作用下，桿的軸線由直線變?yōu)榍€。

研究對(duì)象：直桿受力特點(diǎn)：垂直于軸線的外力或位于軸線所在平面內(nèi)的外力偶作用

變形特征：軸線由直線變?yōu)榍€

6.1概念及實(shí)例彎曲變形6.1概念及實(shí)例工程實(shí)例起重機(jī)大梁鏜刀桿6.1概念及實(shí)例車削工件火車輪軸工程實(shí)例梁的分類平面問(wèn)題，梁受三個(gè)約束，都是靜定梁。平面彎曲懸臂梁簡(jiǎn)支梁Fq外伸梁M梁有縱向?qū)ΨQ面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱為平面彎曲。縱向?qū)ΨQ面梁的橫截面都有對(duì)稱軸集中力，集中力偶，分布載荷1截面法求內(nèi)力的步驟:求約束反力截取研究對(duì)象受力圖，內(nèi)力按正向假設(shè)。列平衡方程求解內(nèi)力，負(fù)號(hào)表示與假設(shè)反向內(nèi)力右截面正向左截面正向微段變形（正）內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定yx左上右下，F(xiàn)Q為正左順右逆，M為正xFQMM’F’Q順時(shí)針錯(cuò)動(dòng)FQ向上凹M6.2剪力和彎矩剪力的大小:截面上的剪力等于截面任一側(cè)外力的代數(shù)和。外力符號(hào)規(guī)定:左上右下為正

。方法2:不取分離體求剪力和彎矩彎矩的大小:截面上的彎矩等于截面任一側(cè)外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。外力矩符號(hào)規(guī)定:左順右逆為正。例1求懸臂梁各截面內(nèi)力并作內(nèi)力圖。解：1）求約束力。畫受力圖。由平衡方程得：

FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面內(nèi)力。截面x處內(nèi)力按正向假設(shè)，在0

x<l內(nèi)，有平衡方程：

SFy=FAy-FQ=0

SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FQ=F；M=-F(l-x)xFQo+F剪力圖xMo_Fl彎矩圖ABlFMAFAyFAxcMFQFAyAxMA3)畫內(nèi)力圖。懸臂梁在固定端A處彎矩值最大。例2求外伸梁AB的內(nèi)力。解：1）求約束反力：受力如圖。截面法求內(nèi)力(取坐標(biāo)如圖)0

x<a:aaaA

B

3F

45

yx0F

FAy

FAx

FB

有平衡方程：

MA(F)=2aFBcos45

+Fa-3Fa=0FB=F2

Fx=FAx-FBsin45

=0FAx=F

Fy=FAy+FBcos45

-F-3F=0FAy=3FMFQxFFN0FN=0;FQ=-F;M=-Fx例2求外伸梁的內(nèi)力。a

x<2a:

2a

x<3a:

2)截面法求內(nèi)力0

x<a:FN=0;FQ=-F;M=-FxaaaA

B

3F

45

yx0F

3F

F

FB

MFQxFFN0MFQxFFN03FFMFQxFFN0

3F

F3FFN=-F；FQ=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FQ=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)內(nèi)力方程：截面法給出的描述內(nèi)力與截面位置關(guān)系。3)

畫內(nèi)力圖：內(nèi)力圖：按內(nèi)力方程繪出各截面內(nèi)力的圖。a

x<2a:FN=-F；FQ=2F

M=F(2x-3a)0

x<a:FN=0;FQ=-F;

M=-F

x

2a

x<3a:FN=-F

；FQ=-F

M=F(3a-x)3P

B45

x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FQ

-FFx-FNFx作梁的內(nèi)力圖的一般步驟求約束反力截取研究對(duì)象受力圖列平衡方程求解內(nèi)力畫內(nèi)力圖靜力平衡方程載荷突變處分段。內(nèi)力按正向假設(shè)。矩心取截面形心。內(nèi)力方程圖形應(yīng)封閉。aaaA

B

3F

45

yx0F

FAy

FAx

FB

xF0MFQFN例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kN

m，求梁的內(nèi)力。解：1）求約束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FE

Fx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求內(nèi)力

AB段:0

x1<4mx1FAy0q

Fy=FAy-qx1-FQ1=0

FQ1=49-9x1

M1FQ1c22

Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kN

m，求梁的內(nèi)力。

2)截面法求內(nèi)力

BC段:4m

x2<6m

Fy=FAy-4q-FQ2=0FQ2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FQ2c

Mc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0

M2=13x2+72(kN

m)

CD段:6m

x3<8mx3FAy0BqCM0M3FQ3c

DE段:8m

x4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FQ4cFQ3=13kN;M3=13x3+24(kN

m)FQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)取右邊部分如何?DE段:8m

x4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFQ4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4

DE段:8m

x4<12mFQ4=-32kN;M4=384-32x4(kN

m)FEM4FQ4c0x4M4FQ4c內(nèi)力同樣要按正向假設(shè)!結(jié)果應(yīng)當(dāng)相同。可以用于驗(yàn)算。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段處的剪力彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0內(nèi)力方程:AB段:0

x1<4mFQ1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4m

x2<6mFQ2=13;M2=13x2+72FQ3=13;M3=13x3+24FQ4=-32;M4=384-32x42

CD段:6m

x3<8m

DE段:8m

x4<12mx4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：集中力(力偶)作用處左右二側(cè)FQ(M)不同。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150剪力、彎矩圖：分段處的剪力彎矩值：x1=0:FQA=49；MA=0x4=8:FQD=-32；MD=128x2=4:FQB=13；MB=124x3=6:FQC=13；MC=102x3

6:MC

150x4

8:FQD

13注意：C、D處左右二側(cè)M、FQ之差等于該處的集中力偶、集中力。還有什么一般規(guī)律？BAlFAYFBY圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)受集中力作用。試寫出剪力和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束反力FAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．寫出剪力和彎矩方程x2FQxMxx1ACCB3.依方程畫出剪力圖和彎矩圖。CFab由剪力和彎矩方程作圖：[例6.4]6.3剪力圖和彎矩圖一、剪力、彎矩與分布載荷間的關(guān)系考察承受分布載荷、長(zhǎng)dx的微梁段的受力與平衡。假定q(x)向上為正，截面內(nèi)力FQ、M均按正向假設(shè)。

利用平衡微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖BAFyxdxxq(x)FQ+dFQM+dMdxcq(x)MFQ平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0

在x+dx截面上，F(xiàn)Q、M均有相應(yīng)的增量。SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0分布載荷集度、剪力和彎矩之間的關(guān)系整理并略去二階小量，得到：平衡方程：SFy=FQ+q(x)dx-(FQ+dFQ)=0

SMC(F)=M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0q(x)dx=dFQ(x)dM(x)=FQ(x)dxdFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)梁的平衡微分方程：)()()(22xqdxxdFQdxxMd==討論：q–FQ-M關(guān)系:結(jié)論一、剪力沿坐標(biāo)x的變化率等于分布載荷集度，即FQ圖中曲線上某點(diǎn)的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)截面處的載荷集度q。q=0，F(xiàn)Q圖為水平線。結(jié)論二、彎矩M沿坐標(biāo)x的變化率等于剪力FQ，即M圖曲線某點(diǎn)的斜率等于對(duì)應(yīng)截面上的剪力。平衡微分方程qdxdFQdxMd==22BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150結(jié)論三、二截面間剪力的增量等于該段梁上分布載荷圖形的面積。結(jié)論四、二截面間的彎矩增量等于該段梁上剪力圖的面積。BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFQ/kNx-+491332+M/kN

mBACDEx124128150平衡微分方程qdxdFQdxMd==22若梁段AB只有q作用的，則()dxxqFFBAQAQBò=-()dxxFMMBAQABò=-FQBMBcq(x)MAFQA

q

q=0q=const.>0q=const.<0FQ圖FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0FQ>0FQ<0M圖M圖轉(zhuǎn)折突變集中力(偶)FQ圖突變無(wú)變化由此，可給出梁剪力、彎矩圖的簡(jiǎn)捷畫法。FQ、M圖的簡(jiǎn)捷畫法(結(jié)合例3)：3）依據(jù)微分關(guān)系判定控制點(diǎn)間各段FQ、M圖的形狀，連接各段曲線。2）計(jì)算控制點(diǎn)處FQ、M值。

A、B、C、D、E1）確定控制點(diǎn)。約束力、集中力(偶)作用點(diǎn)，分布載荷起止點(diǎn)。BA4845q=94m4m2m2mxCDE4932-+BACDEFQ/kNM/kN

mxx491332+124128150102解：1.求支座反力FQ/kNoxM/kNmxo45例5作圖示外伸梁的

FQ、M圖。SMA=2q+6

30-60-4FB=0FB=35kNSFy=2q+FA+FB-30=0FA=-25kN2）畫FQ、M圖從左起，計(jì)算控制點(diǎn)的FQ、M值。由微分關(guān)系判斷線形。3）檢查圖形是否封閉。20530602015CADBE2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFB例6梁AC、CB在C處鉸接，試作內(nèi)力圖。解：1.求支座反力3）檢查圖形是否封閉。qFAFCCA研究AC段：F=qa/2A研究整體：F=3qa/2BMB=qa(3.5a)+qa(2a)-4aFA-qa2=2.5qa2

2）計(jì)算控制點(diǎn)的FQ、M

值，由微分關(guān)系判斷圖形。xQ0.5qa1.5qaxOM2.5qa2qa/8

2O0.5qa0.5qa22qa2CBAqa2qaqaaaaFAFBMBFC=？載荷集度、剪力和彎矩關(guān)系：1q＝0，F(xiàn)Q=常數(shù)，剪力圖為直線；

M(x)為x的一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線。2q=常數(shù)，F(xiàn)Q(x)為x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；

M(x)為x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。分布載荷向下（q<0），拋物線呈凸形。分布載荷向上（q>0），拋物線呈凹形；3剪力FQ=0處，彎矩取極值。4集中力作用處，剪力圖突變；集中力偶作用處，彎矩圖突變。5最大彎矩綜合考慮FQ=0處、集中力及集中力偶作用處。剪力、彎矩與外力間的關(guān)系表:外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Q圖特征M圖特征CPCm水平直線xQQ>0QQ<0x斜直線增函數(shù)xQxQ降函數(shù)xQCQ1Q2Q1–2=P自左向右突變xQC無(wú)變化斜直線xM減函數(shù)xM增函數(shù)曲線x上凸x下凸自左向右折角

自左向右突變與m反xM折向與P反向MxM2M1二、利用微分關(guān)系繪制剪力圖與彎矩圖的方法：

確定控制截面。

計(jì)算控制面上的剪力和彎矩。

1）截面法。

2）不取分離體的方法。

連接各特征點(diǎn)。6.3剪力圖和彎矩圖BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN簡(jiǎn)支梁受力的大小和方向如圖示。試畫出其剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束反力求得A、B

二處的約束反力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根據(jù)力矩平衡方程2．確定控制面

在集中力和集中力偶作用處的兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF[例6-7](+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系

5．根據(jù)微分關(guān)系連圖線4．應(yīng)用截面法確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQ－x和M－x坐標(biāo)系中。0.891.111.3351.665(-)(-)0.335xFQ

(kN)O0.89kN=＝1.11kN[例6-7續(xù)]qBADa4aFAyFBy試畫出梁剪力圖和彎矩圖。解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、B

二處的約束力qa2．確定控制面

由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)的截面，以及集中力qa左側(cè)的截面，也都是控制面。C[例6-8]（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐標(biāo)系建立FQ－x和M－x坐標(biāo)系OFQxOMx4．確定控制面上的剪力值，并將其標(biāo)在FQ－x中。5．確定控制面上的彎矩值，并將其標(biāo)在M－x中。[例6-8續(xù)]FAy×9a/4－1/2×q×（9a/4）2;－1/2×q×（4a）2+FAy×4a

=qa×a;小結(jié)：1）承受彎曲作用的桿，稱為梁。2）平面彎曲：載荷均作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。3）梁的內(nèi)力有剪力、彎矩。作內(nèi)力圖一般步驟：求約束反力截取研究對(duì)象受力圖列平衡方程內(nèi)力方程畫內(nèi)力圖必須掌握4）梁的平衡微分方程：6）M等于左邊Q圖面積+集中力偶(正)。5）FQ等于左邊分布載荷圖形面積+集中力(正)。概念回顧:1.平面彎曲梁有縱向?qū)ΨQ面，且載荷均作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，變形后梁的軸線仍在該平面內(nèi)，稱為平面彎曲?？v向?qū)ΨQ面Fq6.4純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力概念回顧:2.純彎曲純彎曲:梁橫截面上的內(nèi)力只有彎矩。橫力彎曲:若梁的橫截面上既有彎矩，又有剪力。FFM0aaFQFQ=0F一般情況簡(jiǎn)單特例FQ=0FQMM=FaM=M0M6.4梁的應(yīng)力問(wèn)題:平面純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力?思路：仍按照研究變形體力學(xué)問(wèn)題的主線。討論平面純彎曲梁。橫截面上只有彎矩。彎矩分布在橫截面上，xMMys只能是正應(yīng)力。力的平衡(已熟悉)

變形的幾何協(xié)調(diào)

(幾何分析)

力與變形之關(guān)系

(物理關(guān)系)z討論矩形截面純彎曲梁。1.彎曲變形實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象AA、BB仍保持直線，但相對(duì)地轉(zhuǎn)過(guò)一角度d

。aa縮短，bb伸長(zhǎng)，變?yōu)榛⌒?，但仍與AA、BB線正交。2.彎曲的基本假設(shè)—平面假設(shè)梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。6.4.1彎曲變形幾何分析AABBaabbMMABBAaabbd

MM變形后3.推論：若梁由縱向纖維組成，則其變形是伸長(zhǎng)或縮短。凹部纖維aa縮短，凸部bb纖維伸長(zhǎng)，總有一層纖維既不伸長(zhǎng)又不縮短，此層稱為中性層。2.彎曲的基本假設(shè)—平面假設(shè)梁的橫截面在彎曲變形后仍保持為平面，且仍與梁的軸線垂直。有中性層存在AABBaabbMM中性層(面)中性軸中性層(面)中性層與橫截面的交線稱為中性軸。ABBAaabbd

MM變形后4.變形幾何關(guān)系考慮梁AA-BB間的微段，oo在中性層上，r為中性層的曲率半徑。截面坐標(biāo)如圖。yzao距中性層為y的縱向纖維aa:變形前：變形后：ABBAaaood

MMyr橫截面上任一點(diǎn)處線應(yīng)變e的大小與該點(diǎn)到中心層的距離y成正比。re/y-=應(yīng)變：()rrrreyd

yaaaaaall-=--=-=D=d

d

線彈性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

s=Ee=-Ey/rHook定理基于：縱向纖維受單向拉壓；材料拉壓彈性常數(shù)相等。則橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力s的大小與該點(diǎn)到中性軸的距離y成正比。6.4.2材料的物理關(guān)系中性軸以上，y>0，s為負(fù)，是壓應(yīng)力，纖維縮短。中性軸以下，y<0，s為正，是拉應(yīng)力，纖維伸長(zhǎng)。到中性軸距離相同各處，y=const.，應(yīng)力相等。問(wèn)題：中性軸位置？中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s。maxMxyz中性軸smax壓smax拉微段平衡：截面彎矩M

=M，M

分布在截面上，截面內(nèi)力與M構(gòu)成xy面內(nèi)的平衡力系。6.4.3靜力平衡條件E、r均不為零，后一積分是截面對(duì)z軸的靜矩S，S=0，表示中性軸z過(guò)截面形心(垂直于y)。zz；＝即，＝0:0=-ò?òAAxydAEdAFrs即：；，＝00=--ò?MdAyMAZsò=AMdAyE2rIz為截面對(duì)z軸的慣性矩,取決于截面幾何性質(zhì)。令：則有：1/r=M/EIzò=AzdAyI2Mxyz中性軸ydA截面對(duì)z軸的慣性矩I

的計(jì)算：z矩形截面：ozybhydy取微面積如圖dA=bdyoyzd圓形截面：取微面積如圖。()222IIdAzydAIyzAArr+=+==òò由對(duì)稱性知：yzdAò=AzdAyI212322bhdybydAyIh/2Az===òò-h/2642/4dIIIzypP===結(jié)論：s=-My/Iz分析結(jié)果匯總：變形幾何關(guān)系：e=-y/r物理關(guān)系：s=Ee=-Ey/r中性軸上，s=0，截面上、下緣，s=s。max靜力平衡條件：中性軸z過(guò)截面形心òAydA=0Iz--截面對(duì)z軸的慣性矩。EI--截面抗彎剛度。1/r=M/EIz

梁的曲率Myxsmax壓smax拉按絕對(duì)值計(jì)算應(yīng)力s的大小，依據(jù)彎曲后的拉壓情況判斷正負(fù)。彎曲正應(yīng)力公式：橫截面有對(duì)稱軸的平面彎曲。載荷作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)；梁的高跨比h/L<0.2；適用范圍：平面彎曲的條件Myxsmax壓smax拉M

zIMy=s6.5梁彎曲的強(qiáng)度及其應(yīng)用變形平面假設(shè)的條件純彎曲橫力彎曲最大彎曲正應(yīng)力:y=y

時(shí)，s=s

，故maxmaxW=I/y

，是抗彎截面模量。zzmax梁的彎曲強(qiáng)度條件：抗力作用處處均應(yīng)滿足強(qiáng)度條件。若材料拉壓性能不同，則Myxsmax壓smax拉M

zzWMIMy==maxmaxs例6.9空心矩形截面梁的橫截面尺寸H=120mm，

B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[

]=120MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：1）作Q、M圖。

固定端彎矩最大，M=qL/2=14.4kN.mmax22)抗彎截面模量Wz查表有：W=H[B-b(h/H)]/6=1.22710m23-43z3）強(qiáng)度校核:

L=1.2mOq=20kN/mAxqLFQ圖xqL/22M圖bHBhz<[

]=120MPa強(qiáng)度足夠。MPaWMz11710227.1104.1443maxmax=

==-s例6.10矩形截面木梁的橫截面高寬比h/b=3/2，已知F=15kN，a