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二重積分計算播放求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質量之和近似等于薄片總質量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為性質１當為常數(shù)時，性質２（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質性質３對區(qū)域具有可加性性質４若為D的面積，性質５若在D上特殊地則有性質６性質７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］3.2二重積分的計算應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.例1計算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解如圖,既是型,又是型.若視為型,則原式例1計算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解若視為型,則原積分若視為型,則分次序對重積分的計算非常重要.故合理選擇積其中關于的積分計算比較麻煩,解例3計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-12)既是型,也是型.但易見選擇前者計算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計算,擇后者.故選例3計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-11)既是型,也是型.但易見選擇前者計算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計算,擇后者.故選例4計算二重積分其中區(qū)域是由圍成的矩形.如圖,因為是矩形區(qū)域,且所以解解例6交換二次積分的積分次序.解題設二次積分的積分限:可改寫為:所以例7交換二次積分的積分次序.解題設二次積分的積分限:可改寫為所以原式二、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖注：極坐標系下區(qū)域的面積二重

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