《泰勒公式的證明探析》1900字

泰勒公式的證明分析綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u27766泰勒公式的證明分析綜述 139611.1常見泰勒公式形式 1116101.1.1帶佩亞諾型余項的泰勒公式 1317211.1.2帶拉格朗日型余項的泰勒公式 284091.2帶佩亞諾型余項的泰勒公式的證明 293741.3帶拉格朗日型余項的泰勒公式的證明 3高等數(shù)學(xué)中有不勝枚舉的數(shù)學(xué)公式,其中泰勒公式可以稱得上是,一個不可或缺的應(yīng)用尤其廣泛的公式.就目前根據(jù)以往的學(xué)習(xí)情況來看,針對于泰勒公式的使用有兩方面,一是向量函數(shù)下在更高維空間上的運用,另一種則是在數(shù)量函數(shù)背景下針對于泰勒公式更加寬泛的使用.簡單來說,微分幾何教材中對于泰勒公式的證明,它通過使用空間向量直角坐標系下的基向量,將向量函數(shù)表示出來,并根據(jù)給定的向量函數(shù)在閉區(qū)間上是Cn+1類函數(shù),從而得到泰勒公式.反觀本文泰勒公式,是在數(shù)量函數(shù)前提下的,在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對它的研究生成了許多的成果.在泰勒公式不斷完善發(fā)展的過程中,針對泰勒公式的證明,人們采用了多種不同的方法證明,但整體上證明思想還是殊途同歸的.下面我們就根據(jù)泰勒公式的不同余項來構(gòu)造不同輔助函數(shù)從而證明不同余項型的泰勒公式(常見泰勒公式形式帶佩亞諾型余項的泰勒公式函數(shù)f(x)在點x0若存在直至n階導(dǎo)數(shù),fx=即fx形如o(x?x0帶拉格朗日型余項的泰勒公式在閉區(qū)間[m,n]上,若函數(shù)g存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù):開區(qū)間(m,n)上存在(則此時對任意取得的x,x0∈m,ng成立,形如gnx0(以上,我們給出了兩種類型的泰勒公式,從形式上看這兩種泰勒公式結(jié)構(gòu)大致相似,但余項不同.因此根據(jù)于這種特性,我們可以通過帶佩亞諾型余項的式子,方便的進行有關(guān)極限內(nèi)容的學(xué)習(xí).因為后面這個泰勒公式它的余項總是可以確定的,即我們使用此余項下的泰勒公式,進行近似計算或者理論分析是非常便捷的,并且消除了公式中可能存在的誤差,提高了公式計算的精確度(見文獻[1]).帶佩亞諾型余項的泰勒公式的證明引理1:若有函數(shù)f(x),則不妨設(shè)函數(shù)f(x)存在,在某點x0的直到n階的導(dǎo)數(shù).并用其導(dǎo)數(shù)L上式Ln(x)就是x0處的泰勒多項式,且系數(shù)fkx0k!(k=1,2,3,???,)f(定理1:若函數(shù)f在點x0有到n階的導(dǎo)數(shù),fx即fx=f證明可設(shè)Rnx=fx?R同時由假設(shè)知Q則f(n)x0存在,且f在領(lǐng)域U(x0)上有n?1階導(dǎo)函數(shù)limx以上,就是我們所證明余項下的泰勒公式.(見文獻[13]).帶拉格朗日型余項的泰勒公式的證明定理:對于一般函數(shù)函數(shù)f(x),若在[a,b]上有到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),并位于(a,b)上的存在直至(n+1)階的導(dǎo)函數(shù),故對隨機的x,x0fx證明做輔助函數(shù)FtGt此時上面定理中的式子即為:F或Fx0G(x0)=fn+1?n+1!.G'