2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．23．已知，滿足，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，，則sin（α＋β）=（

）A． B． C． D．5．已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為()A．12 B．C．33 D．6．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個球，第二層3個球，第三層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數(shù)為（

）

A．190 B．171 C．153 D．1367．對任意兩個實數(shù)，，定義，若，，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)圖象與軸有三個交點D．函數(shù)最大值為28．定義在R上的函數(shù)滿足，若且，則（

）A． B． C． D．與的大小不確定二、多選題（本大題共3小題）9．甲、乙兩名高中同學(xué)歷次數(shù)學(xué)測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（

）附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.A．乙同學(xué)的平均成績優(yōu)于甲同學(xué)的平均成績B．甲同學(xué)的平均成績優(yōu)于乙同學(xué)的平均成績C．甲同學(xué)的成績比乙同學(xué)成績更集中于平均值附近D．若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為0.158710．對于函數(shù)，給出下列結(jié)論，其中正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)在區(qū)間上的值域為C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象D．曲線在處的切線的斜率為111．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點，且A、B兩點關(guān)于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（

）A．雙曲線C的實軸長為B．雙曲線C的離心率為C．若，則三角形的周長為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．過點引圓的切線，則切線方程為．13．在中，若，且AB邊上的中線長為2，則面積的最大值為．14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)在上的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．某校高二年級為研究學(xué)生數(shù)學(xué)成績與語文成績的關(guān)系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從高二學(xué)生中抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績與語文成績的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200(1)根據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比.現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”.請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.附.0.050.010.0013.8416.63510.82816．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．(1)證明：平面．(2)若平面與平面的夾角為，求的長．17．已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最小值.18．已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，.①求實數(shù)a的取值范圍；②證明.19．通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫作把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P.(1)已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標(biāo)：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M，N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G，H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】由得：，即，.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】因為，所以，所以．故選：A．3．【正確答案】B【詳解】因為，所以，則，由于，所以.故選：B4．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以，，兩式相加可得：，所以，所以，解得，故選：C.5．【正確答案】C熱門考點：圓錐和圓柱的側(cè)面積公式設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r,因為圓錐的軸截面是等邊三角形,所以圓錐的母線長l=2r,則圓錐和圓柱的高h(yuǎn)=4r2?r2=3r,所以圓錐的側(cè)面積S1=πrl=2πr2,圓柱的側(cè)面積S2=2πr·h=23πr2,所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比6．【正確答案】B【詳解】設(shè)“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個數(shù)形成數(shù)列，，，，，，…，由此得，即，則，所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數(shù)為171.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】由題意可得：，令；解得或；令；解得；所以，即，作出函數(shù)的圖像如下:

對于選項A：由圖像可知為偶函數(shù)，故選項A錯誤.對于選項B：由圖像可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，但.可得在區(qū)間上不單調(diào)遞增，故選項B錯誤.對于選項C：由圖像可知：函數(shù)圖象與軸有三個交點，故選項C正確.對于選項D：由圖像可知：當(dāng)時，函數(shù)最大值為1，故選項D錯誤.故選：C.8．【正確答案】B【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又因為，所以在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，所以，所以，所以，綜上.

故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關(guān)于對稱，乙的圖象關(guān)于對稱，所以甲同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，乙同學(xué)的平均成績?yōu)?5分，故選項A正確，B錯誤；因為甲的圖象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，則甲同學(xué)成績的方差比乙同學(xué)成績的方差小，故選項C正確；若，則甲同學(xué)成績高于80分的概率約為，故選項D正確．故選：ACD．10．【正確答案】BD【詳解】由題意知，對于A，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于點對稱，A錯誤；對于B，因為，所以，則，B正確；對于C，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，C錯誤；對于D，，則，故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，故選：BD11．【正確答案】BCD【詳解】根據(jù)題意可知，所以，設(shè)，則，將分別代入到雙曲線后相減可得，代入可求解出，對A，根據(jù)，解之可得，所以雙曲線C的實軸長為，故A錯誤；對B，根據(jù)離心率，將代入可得，故B正確；對C，根據(jù)，可知，則，可求得，所以三角形的周長為，故C正確；對D，設(shè)與雙曲線聯(lián)立可得，若有解，需要解之可求出或，故D正確.故選：BCD12．【正確答案】或【詳解】圓心坐標(biāo)，半徑，∵直線與圓相切，∴圓心到直線距離，若直線無斜率，其方程為符合題意，若直線存在斜率，設(shè)其方程為，即，，解得，∴切線方程為或，故答案為x=2或.點睛：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系之相切，屬于基礎(chǔ)題；求過某點的圓的切線問題時，應(yīng)首先確定點與圓的位置關(guān)系，若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應(yīng)注意斜率不存在的切線.13．【正確答案】【詳解】因，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，，設(shè)邊上的中線為，則，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】令，即，解得，，，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，又，即、中必有一個為，則另一個為，所以，則，符合題意；則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在上的最小值為.故15．【正確答案】(1)能；(2).【詳解】（1）令零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績與語文成績無關(guān)，據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得，根據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，認(rèn)為數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān).（2）表示“選到的學(xué)生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀”，利用樣本數(shù)據(jù)，則有，，所以，則估計的值為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理得證；（2）由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面夾角即可得解.【詳解】（1）連接BD交AC于點O，連接OE，如圖，因為O為BD的中點，E為PD的中點，所以．又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC．（2）因為平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，故以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，,所以，．顯然為平面DAE的一個法向量．設(shè)平面ACE的一個法向量為，則即令，得，因為平面DAE與平面AEC的夾角為，所以，解得或（舍去），即·17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時，；經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.18．【正確答案】（1）；（2）①；②證明見解析.（1）當(dāng)時，求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出，再由即可求解.（2）①根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不同實根，，令，作出的大致圖象以及，數(shù)形結(jié)合即可求解；②由題意不妨設(shè)，，，將兩式分別相加、相減可得，只需證明，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【詳解】解：（1）當(dāng)時，，，，所以，，所以曲線在點處的切線方程是.（2）函數(shù)有兩個不同的零點，，等價于方程有兩個不同實根，.①令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，由于，當(dāng)時，；當(dāng)，，的大致圖象如圖所示：所以，當(dāng)，即時，函數(shù)有兩個不同的零點，.②證明：不妨設(shè)，，，兩式相加得，兩式相減得，所以.要證，只需證.即證.設(shè)，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即.19．【正確答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）是，2.【分析】（1）借助所給定義計算即可得；（2）（i）計算出該斜橢圓的長軸長與焦距，結(jié)合離心率定義計算即可得；（ⅱ）法一：設(shè)出直線，，聯(lián)立斜橢圓方程可得與交點橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計算即可得；法二：將所有點、直線與曲線都繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后，再設(shè)出直線，旋轉(zhuǎn)后方程，聯(lián)立標(biāo)準(zhǔn)方程可得與交點縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式即可表示出，計算即可得.【詳解】（1）由已知可得，則，設(shè)，則，所以，，即點P的坐標(biāo)為；（2）（i）由與交點為和，則，由與交點為和，則，所以，；（ⅱ）法