正項 級數(shù)及其審斂法

正項級數(shù)及其審斂法第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法設(shè)級數(shù)u1+u2+u3+…+un+…的每一項都是非負數(shù)，即un≥0，則稱此級數(shù)為正項級數(shù)．顯然，正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的，即由數(shù)列收斂的準則可知，如果{Sn}單調(diào)有界，則數(shù)列{Sn}一定收斂，即若Sn≤M，則limn→∞Sn=S，且有S≤M．

反之，如果正項級數(shù)

收斂于S，即

則{Sn}一定有界．由上面的討論可得正項級數(shù)判別收斂的基本法則．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)

收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列{Sn}有界．此定理的意義在于，當判斷一個正項級數(shù)是否收斂時，可以不求部分和Sn及其極限，只要能夠判定{Sn}是否有界就可以了．定理1第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法定理1是判別正項級數(shù)是否收斂的基本法則，有關(guān)正項級數(shù)的其他審斂法都是以這條定理為基礎(chǔ)而建立起來的．但是，無論是由定義還是基本法則來判定正項級數(shù)的收斂性，都涉及部分和的計算，這是相當困難的，為此，下面我們在基本法則的基礎(chǔ)上，討論常用的正項級數(shù)的審斂方法．首先看一個例題.第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判別正項級數(shù)又因為【例1】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法當n≥1時，有由定理1可知，級數(shù)收斂．根據(jù)定理1，可得關(guān)于正項級數(shù)的一個基本的審斂法——比較審斂法．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法（比較審斂法）設(shè)有兩個正項級數(shù)與(1)如果級數(shù)

收斂，則級數(shù)

也收斂.(2)如果級數(shù)

發(fā)散，則級數(shù)

也發(fā)散．定理2第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法

證記(1)設(shè)

，由定理1可知σn有界，且有σn≤σ．于是故{Sn}有界，由定理1可知

收斂．(2)反證法.如果

收斂，由已證結(jié)論（1）可知

也收斂，這與已知條件矛盾．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法該審斂法條件中的不等式，也可以從某項開始，即un≤vn(n=N,N+1,…)．見推論，請讀者自己論證．注意第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法推論設(shè)有正項級數(shù)

與

，并且N為某一正整數(shù)）.(1)如果

收斂，則級數(shù)

也收斂.(2)如果級數(shù)

發(fā)散，則級數(shù)

也發(fā)散．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)的斂散性．

解因為級數(shù)的一般項

，而級數(shù)

是發(fā)散的，所以級數(shù)

也發(fā)散．利用比較審斂法，需要和已知的級數(shù)相比較，我們已經(jīng)有等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)，另一個常用的級數(shù)是p級數(shù)．【例2】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定p級數(shù)的斂散性．【例3】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法

解當p=1時，級數(shù)是調(diào)和級數(shù)，所以它是發(fā)散的．當0<p<1時，除第一項外，其余各項都大于調(diào)和級數(shù)的對應(yīng)項，所以也是發(fā)散的．當p>1時，p級數(shù)是正項級數(shù)，將它加括號后斂散性不變．順次把給定p級數(shù)的一項、兩項、四項、八項……括在一起，即第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法容易看出，上式各項小于下面級數(shù)所對應(yīng)的各項，即因為后一個級數(shù)是公比為

的等比級數(shù)，并且由

得知r<1．所以該級數(shù)收斂．再根據(jù)比較審斂法推得前一個級數(shù)也收斂．又因為收斂的正項級數(shù)去掉括號后仍收斂，所以原級數(shù)收斂．綜上所述，p級數(shù)

，當p>1時收斂，當0<p≤1時發(fā)散．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法p級數(shù)收斂性結(jié)論在以后級數(shù)的收斂性判定中經(jīng)常會用到，請牢記．注意第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法

例如，級數(shù)

是收斂的，因p=2>1；而級數(shù)

是發(fā)散的，因第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定下列級數(shù)的斂散性．【例4】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法

解

(1)原級數(shù)的一般項為而級數(shù)只比調(diào)和級數(shù)少了前兩項，所以級數(shù)是發(fā)散的．再根據(jù)比較審斂法得知，級數(shù)發(fā)散．(2)因為2n>2n－1≥n，所以又因為級數(shù)是p=2的p級數(shù)，它是收斂級數(shù)．由比較審斂法得知，原級數(shù)是收斂的．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法利用比較審斂法，常要在討論不等式上花費很大精力，同時要對所討論的級數(shù)有個大致的估計，才能證明是收斂或是發(fā)散．因為我們都是在一般項趨近于零的前提下討論斂散性，因此我們自然會想，可否通過比較一般項的無窮小的階來判斷其收斂性呢？下面給出比較審斂法的極限形式．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法（比較審斂法的極限形式）設(shè)有兩個正項級數(shù)(1)如果，且級數(shù)

收斂，則級數(shù)

收斂.(2)如果，且級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)

發(fā)散．定理3第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法證因為對任給ε>0，存在正整數(shù)N，當n>N時（1）當n>N時因為

收斂，由比較審斂法的推論可知

也收斂．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法（2）l>0，取0<ε<l，當n>N時因為

發(fā)散，由比較審斂法的推論可知

也發(fā)散．對于

時的情形，則可類似討論．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法對于極限形式的比較審斂法來說，在兩個正項級數(shù)的一般項趨于零的情況下，其實是比較它們一般項作為無窮小的階．定理表明，當n→∞時，如果un是與vn同階或比vn高階的無窮小，而級數(shù)

收斂，則級數(shù)

收斂；如果un是與vn同階或比vn低階的無窮小，而級數(shù)

發(fā)散，則級數(shù)

發(fā)散．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為而級數(shù)

發(fā)散，根據(jù)比較審斂法的極限形式知此級數(shù)發(fā)散．【例5】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為而級數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法的極限形式知此級數(shù)收斂．【例6】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法由上可知，利用比較審斂法判定一個級數(shù)的斂散性，需要選擇一個已知收斂或發(fā)散的級數(shù)作為比較標準，如等比級數(shù)、p級數(shù)等．但選擇什么樣的級數(shù)才能使比較審斂法有效．這并不容易做到的．因此，我們必須尋求更有效的審斂法．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法（比值審斂法，達朗貝爾（d’Alembert）審斂法）設(shè)

是正項級數(shù)，如果則（1）當ρ<1時，級數(shù)

收斂.（2）當ρ>1時，級數(shù)

發(fā)散（包括ρ=∞）.

（3）當ρ=1時，級數(shù)

可能收斂也可能發(fā)散．定理4第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法證由極限的定義可知，對任給ε>0，存在正整數(shù)N，當n>N時，不等式成立．（1）當ρ<1時，取ε使得ρ+ε=q<1，于是當n>N時，即第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法因此，有故正項級數(shù)(11-16)的各項小于或等于級數(shù)第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法的對應(yīng)項，而上式是收斂的等比級數(shù)，由比較審斂法可知式(11-6)收斂，從而

也收斂.（2）當ρ>1時，取ε使得ρ－ε=q>1，于是當n>N時，從而所以un是遞增的，

故級數(shù)發(fā)散．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法

的情形可以類似地證明．（3）當ρ=1時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．例如，p級數(shù)

，不論p為何值時都有當p>1時級數(shù)收斂，當p≤1時級數(shù)發(fā)散．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為即

．由比值審斂法可知，級數(shù)

收斂．【例7】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法順便指出，在判定級數(shù)收斂后，利用級數(shù)收斂的必要條件可以得到

因此，有時可通過級數(shù)收斂性來判別某些數(shù)列的極限．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為即

由比值審斂法可知，級數(shù)

收斂．同時，由收斂的必要條件知

【例8】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為即

由比值審斂法可知，級數(shù)

發(fā)散．【例9】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法根值審斂法，柯西審斂法）設(shè)是正項級數(shù)，如果則（1）當ρ<1時，級數(shù)

收斂.（2）當ρ>1時，級數(shù)

發(fā)散（包括ρ=∞）.

（3）當ρ=1時，級數(shù)

可能收斂也可能發(fā)散．定理5的證明與定理4類似，在此不再贅述．定理5第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為即

由比值審斂法可知，級數(shù)

收斂．【例10】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解因為即

由比值審斂法可知，級數(shù)

收斂．【例11】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法需要指出的是，定理4和定理5的條件都是使結(jié)論成立的充分條件，而不是必要條件.例如，級數(shù)

是收斂的，但

不存在；又如，p>1時的p級數(shù)是收斂的，但

，而不小于1．第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法判定級數(shù)

的斂散性．

解由于【例12】第二節(jié)正項級數(shù)及其審斂法對于級數(shù)

，由于級數(shù)

收斂，從而本例題所討論的級數(shù)收斂．上面用