福建省南平市建甌東峰第二中學2021年高三數學理期末試題含解析

/福建省南平市建甌東峰第二中學2021年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，某空間幾何體的正視圖與側視圖相同，則此幾何體的表面積為（

）A．6π

B．

C．4π

D．參考答案：C此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球拼接而成.表面積為【命題意圖】此題源于教材，此題考查了組合體的三視圖，球的表面積公式，扇形面積公式.此題生活模型可看做一個甜筒，也可看做一個唐朝流傳下來的玩具不倒翁模型.2.給定命題p：“復數z是純虛數”是“”的充要條件；命題q：已知非零向量a，b滿足a在b方向上的投影為。，則ab．則下列各命題中，假命題的是

A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.在各項均為正數的等比數列中，A．有最小值6 B．有最大值6 C．有最大值9 D．有最小值3參考答案：A4.運行如圖所示的程序框圖若輸出的s的值為55則在內應填入(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】根據程序框圖的循環(huán)條件，依次計算，即得解【詳解】初始：；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足輸出條件；故選：C【點睛】本題考查了程序框圖的循環(huán)結構，考查了學生邏輯推理，數學運算能力，屬于中檔題.5.一種零件加工由兩道工序組成，第一道工序的廢品率是p,第二道工序的廢品率是p,

則零件加工的成品率是

（）

A．1－p－q

B．1－pq

C．1－p－q+pq

D．1－p參考答案：C6.若不等式≥對一切都成立，則的最小值為

(

)

參考答案：C7.已知某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖的面積為1，則該幾何體最長的棱的長度為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.若x>0,y>0且，則的最小值為(

)A．3

B．

C．2

D．3+參考答案：D略9.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長9.5%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數圖象大致為 （

）

參考答案：D略10.（理）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1，則BC1與DB1的距離為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何？”其意思為：“今有一個長方體（記為ABCD-A1B1C1D1）的糧倉，寬3丈（即丈），長4丈5尺，可裝粟一萬斛，問該糧倉的高是多少？”已知1斛粟的體積為2.7立方尺，一丈為10尺，則下列判斷正確的是

．（填寫所有正確結論的編號）①該糧倉的高是2丈；②異面直線AD與BC1所成角的正弦值為；③長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為平方丈．參考答案：①③由題意，因為，解得尺尺，故①正確；異面直線與所成角為，則，故②錯誤，此長方體的長、寬、高分別為丈、丈、丈，故其外接球的表面積為平分丈，所以③是正確的．

12.在平面直角坐標系中，定義為,兩點之間的“折線距離”．則原點與直線上一點的“折線距離”的最小值是

▲

．參考答案：設,直線與坐標軸的交點坐標為，直線的斜率為。過P做于,則原點與直線上一點的“折線距離”為,因為為等腰三角形，所以,由圖象可知，此時在的內部，所以原點與直線上一點的“折線距離”的最小距離為。13.已知函數，若，f(x)≥mx，則m的取值范圍是________。參考答案：[-2,e]14.二次函數y=-x2+2mx-m2+3的圖象的對稱軸為x+2=0，則m=__________

參考答案：-2略15.=

▲

.參考答案：答案：

16.設是由正數組成的等比數列，公比=2，且，那么=_________。參考答案：17.冪函數f(x)的圖像經過點（2，），則f（）的值為

.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分).如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，是的中點。（1）求證：平面平面（4分）（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．（8分）

參考答案：略19.

已知函數f（x）＝lnx－ax＋a（a∈R），g（x）＝＋2x＋m（x＜0）．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）若a＝0，函數y＝f（x）在A（2，f（2））處的切線與函數y＝g（x）相切于B（，g（）），求實數m的值．參考答案：略20.（10分）已知點F為拋物線C：y2=4x的焦點，點P是準線l上的動點，直線PF交拋物線C于A，B兩點，若點P的縱坐標為m（m≠0），點D為準線l與x軸的交點．（Ⅰ）求直線PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；（Ⅲ）設，，求證λ+μ為定值．參考答案：考點：直線的一般式方程；拋物線的應用．專題：計算題．分析：（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（﹣1，m），（1，0），求出斜率用點斜式寫出直線方程．（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），用弦長公式求出線段AB的長，再由點到直線的距離公式求點D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關于參數m的表達式，再根據m的取值范圍求出面積的范圍．（Ⅲ），，變化為坐標表示式，從中求出參數λ，μ用兩點A，B的坐標表示的表達式，即可證明出兩者之和為定值．（Ⅰ）由題知點P，F的坐標分別為（﹣1，m），（1，0），于是直線PF的斜率為，所以直線PF的方程為，即為mx+2y﹣m=0．（3分）（Ⅱ）設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），由得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，所以，x1x2=1．于是．點D到直線mx+2y﹣m=0的距離，所以．因為m∈R且m≠0，于是S＞4，所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），于是，（x2≠±1）．所以．所以λ+μ為定值0．（14分）點評：考查求直線方程、拋物線在的焦點弦弦長公式、點到直線的距離公式及向量中數乘向量的意義，涉及知識較多，綜合性較強．21.如圖，已知斜三棱柱ABC一A1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，且BA1⊥AC1．（Ⅰ）求證：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【專題】證明題；數形結合；綜合法；空間位置關系與距離．【分析】（1）推導出BC⊥AC，BC⊥AC1，BA1⊥AC1，由此能證明AC1⊥平面A1BC．（2）推導出平面A1AB⊥平面BCF，過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A1AB，求出CH=，過H作HG⊥A1B于G，連CG，則CG⊥A1B，從而∠CGH為二面角A﹣A1B﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】證明：（1）因為A1D⊥平面ABC，所以，平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC，所以，BC⊥平面AA1C1C，得BC⊥AC1，又BA1⊥AC1，所以，AC1⊥平面A1BC．解：（2）因為AC1⊥A1C，所以四邊形AA1C1C為菱形，故AA1=AC=2，又D為AC中點，知∠A1AC=60°，取AA1的中點F，則AA1⊥平面BCF，從而，平面A1AB⊥平面BCF，過C作CH⊥BF于H，則CH⊥面A1AB，在Rt△BCF，BC=2，CF=，故CH=，過H作HG⊥A1B于G，連CG，則CG⊥A1B，從而∠CGH為二面角A﹣A1B﹣C的平面角，在Rt△A1BC中，A1C=BC=2，所以，CG=，在Rt△CGH中，sin∠CGH=，cosCGH==．故二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.已知橢圓經過點,對稱軸為坐標軸,焦點在軸上,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)求的平分線所在直線的方程;(3)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點?若存在,請找出;若不存在,說明理由.參考答案：（1）橢圓方程E為：

（3’）（2）（法一）方程為：，方程為：設角分線上任意一點為，則。

（5’）得或（舍，斜率為正）直線方程為

（7’）（法二）

（5’）