3.7-探索與表達(dá)規(guī)律-專題探究-學(xué)案-2021-2022學(xué)年魯教版（五四制）六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

《探索規(guī)律》專題探究最近幾年，全國(guó)多數(shù)地市的中考試題都有找規(guī)律的題目，人們開(kāi)始逐漸重視這一類數(shù)學(xué)題目。所謂規(guī)律探索題，指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)字、式子、圖形，或者是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過(guò)程，要求通過(guò)觀察，分析，推理探索其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問(wèn)題在素材的選擇、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等方面都比較新穎靈活，由于這類題目沒(méi)有固定的形式和方法，要求學(xué)生通過(guò)閱讀、觀察、分析、比較、猜想、概括等探索活動(dòng)來(lái)解決問(wèn)題，它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法。研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律題的解題思想，不但能夠提高學(xué)生的考試成績(jī)，而且更有助于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)。但究竟怎樣才能把這種題目做好，是一個(gè)值得探究的問(wèn)題。下面就解決這類問(wèn)題作一個(gè)初步的探究。一、常見(jiàn)題型1.代數(shù)中的規(guī)律2.平面圖形中的規(guī)律3.空間圖形中的規(guī)律二、一般步驟應(yīng)用規(guī)律證規(guī)律察應(yīng)用規(guī)律證規(guī)律察特例表達(dá)規(guī)律察特例猜想規(guī)律表達(dá)規(guī)律察特例猜想規(guī)律察特例驗(yàn)證規(guī)律察特例觀察特例成立重新探索重新探索三、應(yīng)用舉例：（一）代數(shù)中的規(guī)律：找數(shù)字規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào)。所以，把項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。＜一＞數(shù)字中的規(guī)律:數(shù)字中的規(guī)律包括等差數(shù)列、等比數(shù)列、乘方的數(shù)列、循環(huán)數(shù)列等。這些是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到的。我們先來(lái)看一下等差數(shù)列。1.等差數(shù)列：這類數(shù)列的規(guī)律是每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的差值是相等的，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減。等差數(shù)列中比較簡(jiǎn)單的是自然數(shù)數(shù)列，如：0,1,2,3,4,5，·······，n.奇數(shù)數(shù)列，如：1，3，5，7，9，·······2n-1.偶數(shù)數(shù)列2，4，6，8，10·······2n。例題1（1）1，5，9，13，17······第n個(gè)為（2）7，11，15，19，23·······第n個(gè)為。變式訓(xùn)練：1、已知下列一組數(shù)：1，34，59，716，925A．2n-13B．2C．2n+1D．2【分析】仔細(xì)觀察給出的數(shù)字，找出其中存在的規(guī)律從而解題即可．【解答】解：∵1=2×1-11234=2∴第n個(gè)數(shù)是：2故選：B．2.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：12，1，1，（），911，1113，1317······【分析】把整數(shù)1化為33，55，原數(shù)列為：12，33，55，（），911，1113，13【解答】解：答案為1.3.觀察下列單項(xiàng)式：a,-2a2,3a3,-4a4,5a5,········。（1）觀察規(guī)律，寫(xiě)出第2017和2018個(gè)單項(xiàng)式；（2）請(qǐng)你寫(xiě)出第n個(gè)單項(xiàng)式和第n+1個(gè)單項(xiàng)式?！窘獯稹拷猓海?）第2017個(gè)單項(xiàng)式是2017a20172018個(gè)單項(xiàng)式是-2018a2018（2）第n個(gè)單項(xiàng)式是（-1）n+1nn,第n+1個(gè)單項(xiàng)式是（-1）n+2(n+1)n。4.已知：a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，……，則a100=．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)已知數(shù)列得出an=，據(jù)此解答可得．【解答】解：由題意知an=，當(dāng)n=100時(shí)，a100==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)列得出an=．5、設(shè)a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，其中a1表示第一個(gè)數(shù)，a2表示第二個(gè)數(shù)，依此類推，an表示第n個(gè)數(shù)（n是正整數(shù)）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，則a2018=4035．【分析】由4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，可得（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，根據(jù)a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，得出an+1=an+2，根據(jù)a1=1，分別求出a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律an=2n﹣1，即可求出a2018=4035．【解答】解：∵4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，∴（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，∵a1，a2，a3……是一列正整數(shù)，∴an+1﹣1=an+1，∴an+1=an+2，∵a1=1，∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，…，∴an=2n﹣1，∴a2018=4035．故答案為4035．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過(guò)計(jì)算，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．解決本題的難點(diǎn)在于得出式子an+1=an+2．6、把所有正偶數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第一組：2，4；第二組：6，8，10，12；第三組：14，16，18，20，22，24第四組：26，28，30，32，34，36，38，40……則現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正偶數(shù)m是第i組第j個(gè)數(shù)（從左到又?jǐn)?shù)），如A10=（2，3），則A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）【分析】由第n組中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為2n，知第n組最后一個(gè)偶數(shù)為2×（2+4+6+……+2n）=2×2×（1+2+3+…+n）=2n（n+1），據(jù)此求出第31組最后一個(gè)偶數(shù)為1984，繼而可得答案．【解答】解：由題意知第n組中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為2n，則第n組最后一個(gè)偶數(shù)為2×（2+4+6+……+2n）=2×2×（1+2+3+…+n）=2n（n+1），因?yàn)榈?1組最后一個(gè)偶數(shù)為2×31×32=1984，所以=17，則A2018=（32，17），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列得出第n組最后一個(gè)偶數(shù)為2n（n+1）．2、等比數(shù)列：每相鄰兩個(gè)數(shù)之間的比值是相等的，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減。等比數(shù)列在數(shù)字推理測(cè)驗(yàn)中，也是比較常見(jiàn)的。例題2：請(qǐng)按照下列規(guī)律填空，并寫(xiě)出第n項(xiàng)：（1）1，3，9，27，,········。（2）3，6，12，24，48，,········。例題3：有一列按一定規(guī)律排列的數(shù)：2，4，8，16，x，64······，求x及x24-（x4分析：先觀察分析所給出的這列數(shù)的規(guī)律，然后求出x的值，進(jìn)而代到后面的代數(shù)式中求值。解：因?yàn)榈趎個(gè)數(shù)是2n,x是第5個(gè)數(shù)，所以x=25=32,所以原式=3224-（324）變式訓(xùn)練二：1、按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三個(gè)數(shù)的和為768，則n為（）A．9 B．10 C．11 D．12菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】觀察得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，根據(jù)最后三個(gè)數(shù)的和為768，列出方程，求解即可．【解答】解：由題意，得第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n=768，當(dāng)n為偶數(shù)：整理得出：3×2n﹣2=768，解得：n=10；當(dāng)n為奇數(shù)：整理得出：﹣3×2n﹣2=768，則求不出整數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律，得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2、為了求1+2+22+23+…+22016的值，可令S=1+2+22+23+…+22016，則2S=2+22+23+24+…+22017，因此2S﹣S=22017﹣1，所以1+2+22+23+…+22016=22017﹣1．仿照以上推理計(jì)算出1+5+52+53+…+52016的值是（）A．52016﹣1 B．52017﹣1 C． D．【考點(diǎn)】1G：有理數(shù)的混合運(yùn)算；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】設(shè)S=1+5+52+53+…+52016，則5S=5+52+53+…+52014+52017，相減即可求出答案．【解答】解：∵設(shè)S=1+5+52+53+…+52016，則5S=5+52+53+…+52014+52017，∴4S=52017﹣1，則S=，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用及數(shù)字的變化問(wèn)題，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．3.總結(jié)規(guī)律：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32…，用含n的式子表示為（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】首先觀察這組數(shù)得到一規(guī)律，第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【解答】解：通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n（﹣2）n﹣1．故答案為：（﹣1）n（﹣2）n﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．4、設(shè)一列數(shù)1、、、、…、的和為Sn，則Sn=．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由已知Sn=1++++…+，將這個(gè)等式兩邊同時(shí)乘以，得：Sn=+++…+，然后兩式相減，得：Sn=1﹣，進(jìn)而得到：Sn=2﹣．【解答】解：∵Sn=1++++…+①，∴Sn=+++…+②，∴①﹣②得：Sn=1﹣，∴Sn=2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)字的變化類的規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是：表示Sn=+++…+．3.關(guān)于乘方的數(shù)列在乘方的數(shù)列中，自然數(shù)的平方，立方要記熟練，平方依次為0，1,4,9,16,25,36·····立方依次為0，1,8,27,64,125,216········例題4請(qǐng)按照下列規(guī)律填空，寫(xiě)出第n個(gè)數(shù)（n為正整數(shù)）：（1）0,3,8，15，,········。（2）9,16,25,36，,········。（3）2,9,28,65，,········。例題5、觀察下列各式數(shù)：0，3，8，15，24，……。試按此規(guī)律寫(xiě)出第100個(gè)數(shù)是＿＿＿。分析：解答這一題，可以先找一般規(guī)律，然后使用這個(gè)規(guī)律，計(jì)算出第100個(gè)數(shù)。我們把有關(guān)的量放在一起加以比較：

項(xiàng)數(shù)：1

2

3

4

5

……

項(xiàng)：0，3，8，15，24，……。

通過(guò)觀察我們

容易發(fā)現(xiàn)，已知數(shù)的每一項(xiàng)，都等于它的項(xiàng)數(shù)的平方減1。因此，第n項(xiàng)是n2-1，第100項(xiàng)是1002-1。如果題目比較復(fù)雜，或者包含的變量比較多。解題的時(shí)候，不但考慮已知數(shù)的項(xiàng)數(shù)，還要考慮其他因素。變式訓(xùn)練：1.觀察下一列數(shù)的特點(diǎn)：0，1，-4，9，-16，25，·······，則第11個(gè)數(shù)是（）A．-121 B．-100 C．100 D．1212.觀察下一列數(shù)的特點(diǎn)：12,25,310,417,,········(第3、觀察下列各數(shù)：1，，，，…，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算這列數(shù)的第6個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)為，再將n=6代入計(jì)算即可求解．【解答】解：觀察該組數(shù)發(fā)現(xiàn)：1，，，，…，第n個(gè)數(shù)為，當(dāng)n=6時(shí)，==．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化類問(wèn)題，通過(guò)觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題是應(yīng)該具備的基本能力．本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)為．4.農(nóng)夫?qū)⑻O(píng)果樹(shù)種在正方形的果園內(nèi)．為了保護(hù)蘋(píng)果樹(shù)不怕風(fēng)吹，他在蘋(píng)果樹(shù)的周圍種針葉樹(shù)．在下圖里，你可以看到農(nóng)夫所種植蘋(píng)果樹(shù)的列數(shù)（n）和蘋(píng)果樹(shù)數(shù)量及針葉樹(shù)數(shù)量的規(guī)律：當(dāng)n為某一個(gè)數(shù)值時(shí)，蘋(píng)果樹(shù)數(shù)量會(huì)等于針葉樹(shù)數(shù)量，則n為（）A．6 B．8 C．12 D．16【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)為相應(yīng)序號(hào)的平方，再求出各個(gè)圖形中針葉樹(shù)的棵樹(shù)，并找出規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)圖形中的棵樹(shù)的表達(dá)式，然后列出方程求解即可．【解答】解：第1個(gè)圖形中蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)是1，針葉樹(shù)的棵樹(shù)是8，第2個(gè)圖形中蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)是4=22，針葉樹(shù)的棵樹(shù)是16=8×2，第3個(gè)圖形中蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)是9=32，針葉樹(shù)的棵樹(shù)是24=8×3，第4個(gè)圖形中蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)是16=42，針葉樹(shù)的棵樹(shù)是32=8×4，…，所以，第n個(gè)圖形中蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)是n2，針葉樹(shù)的棵樹(shù)是8n，∵蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)與針葉樹(shù)的棵數(shù)相等，∴n2=8n，解得n1=0（舍去），n2=8．故選：B．5、觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，，，…（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)第7個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)規(guī)律可知，用分式表示第n個(gè)數(shù)應(yīng)是（n為正整數(shù)）．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)第1個(gè)數(shù)的分子是1加1，分母是1乘以1加2，第2個(gè)數(shù)的分子是2加1，分母是2乘以2加2，依此論推，可以得出第7個(gè)數(shù)是分子是7加1，分母是7乘以7加2，第n個(gè)數(shù)的分子是n加1，分母是n乘以n加2，根據(jù)這一規(guī)律，即可得出答案．【解答】解：（1）∵第一個(gè)數(shù)是：=，第二個(gè)數(shù)是：=，第三個(gè)數(shù)是：=，…第7個(gè)數(shù)是：=；（2）根據(jù)（1）可得：；故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，要求學(xué)生通過(guò)觀察，找分?jǐn)?shù)的規(guī)律時(shí)，一定要分別觀察分?jǐn)?shù)的分子和分母的規(guī)律．6、設(shè)一列數(shù)1、、、、…、的和為Sn，則Sn=2﹣．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由已知Sn=1++++…+，將這個(gè)等式兩邊同時(shí)乘以，得：Sn=+++…+，然后兩式相減，得：Sn=1﹣，進(jìn)而得到：Sn=2﹣．【解答】解：∵Sn=1++++…+①，∴Sn=+++…+②，∴①﹣②得：Sn=1﹣，∴Sn=2﹣．故答案為：2﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)字的變化類的規(guī)律型題，解題的關(guān)鍵是：表示Sn=+++…+．7．按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù)：﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、…，若最后三個(gè)數(shù)的和為768，則n為（）A．9 B．10 C．11 D．12【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】觀察得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，根據(jù)最后三個(gè)數(shù)的和為768，列出方程，求解即可．【解答】解：由題意，得第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n，那么（﹣2）n﹣2+（﹣2）n﹣1+（﹣2）n=768，當(dāng)n為偶數(shù)：整理得出：3×2n﹣2=768，解得：n=10；當(dāng)n為奇數(shù)：整理得出：﹣3×2n﹣2=768，則求不出整數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律，得出第n個(gè)數(shù)為（﹣2）n是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4、加減法數(shù)列：例題：請(qǐng)你按照如下規(guī)律填空：（1）1，1，2，3，5，（）·····（2）6，3，3，（），3，-3·······變式訓(xùn)練：1、楊輝三角2、古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，…叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性．若把第一個(gè)三角數(shù)記為a1，第二個(gè)三角數(shù)記為a2…，第n個(gè)三角數(shù)記為an，計(jì)算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=1.6×105或160000．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】首先計(jì)算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可以得出結(jié)論．【解答】解：∵；；；…∴；∴．故答案為：1.6×105或160000．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是規(guī)律發(fā)現(xiàn)，根據(jù)計(jì)算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．3、從1開(kāi)始得到如下的一列數(shù)：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一個(gè)數(shù)加上自己的個(gè)位數(shù)，成為下一個(gè)數(shù)，上述一列數(shù)中小于100的個(gè)數(shù)為（）A．21 B．22 C．23 D．99【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】根據(jù)數(shù)字的變化，找出規(guī)律，每4個(gè)數(shù)一組，每一組數(shù)的首數(shù)字為1，16，36，56，76，96，由此可得結(jié)果．【解答】解：由題意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4個(gè)數(shù)一組，后面依次為36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的個(gè)數(shù)為：21個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．5、循環(huán)數(shù)列：這類題型的特點(diǎn)是數(shù)列的結(jié)果是以某些數(shù)為一組循環(huán)出現(xiàn)的。例題：觀察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，通過(guò)觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定32016的個(gè)位數(shù)字是（）A．9B．7C．3D．1變式訓(xùn)練：1、式子31+32+33+·······+32016的個(gè)位數(shù)字是（）A．9B．7C．3D．02、將全體自然數(shù)按下面的方式進(jìn)行排列：按照這樣的排列規(guī)律，2014應(yīng)位于（）A．位 B．位 C．位 D．位【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，因?yàn)?014是第2015個(gè)數(shù)，所以用2015除以4，再根據(jù)商和余數(shù)的情況確定2014所在的位置即可．【解答】解：由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2014是第2015個(gè)數(shù)，∴2015÷4=503余3，∴2014應(yīng)位于第504循環(huán)組的第3個(gè)數(shù)，在位．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，要注意2014是第2015個(gè)數(shù)．3、根據(jù)如圖中箭頭的指向規(guī)律，從2016到2017再到2018，箭頭的方向是以下圖示中的（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】觀察不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2016除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況解答即可．【解答】解：由圖可知，每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，2016÷4=504，∴2016是第505個(gè)循環(huán)組的第1個(gè)數(shù)，∴從2016到2017再到2018，箭頭的方向是．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)每4個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．4、一列數(shù)，x1，x2，x3…，其中x1=，xn=（n為不小于2的整數(shù)），則x2016等于（）A． B．2 C．0 D．﹣1【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型；51：數(shù)與式．【分析】計(jì)算出數(shù)列的前4個(gè)數(shù)即可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，根據(jù)2016÷3=672知x2016=x3=﹣1．【解答】解：∵x1=，x2==2，x3==﹣1，x4==，…∴該數(shù)列每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，∵2016÷3=672，∴x2016=x3=﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列得出該數(shù)列每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)．5、a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是=﹣2，﹣2的“哈利數(shù)”是，已知a1=3，a2是a1的“哈利數(shù)”，a3是a2的“哈利數(shù)”，a4是a3的“哈利數(shù)”，…，依此類推，則a2018=（）A．3 B．﹣2 C． D．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】分別求出數(shù)列的前5個(gè)數(shù)得出該數(shù)列每4個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵a1=3，∴a2==﹣2，a3=，a4=，a5=，∴該數(shù)列每4個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，∵2018÷4=504…2，∴a2018=a2=﹣2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變換規(guī)律，根據(jù)題意得出該數(shù)列每4個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)是關(guān)鍵．6、已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，Sn=；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，Sn=﹣Sn﹣1﹣1），按此規(guī)律，S2018=﹣．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】根據(jù)Sn數(shù)的變化找出Sn的值每6個(gè)一循環(huán)，結(jié)合2018=336×6+2，即可得出S2018=S2，此題得解．【解答】解：S1=，S2=﹣S1﹣1=﹣﹣1=﹣，S3==﹣，S4=﹣S3﹣1=﹣1=﹣，S5==﹣（a+1），S6=﹣S5﹣1=（a+1）﹣1=a，S7==，…，∴Sn的值每6個(gè)一循環(huán)．∵2018=336×6+2，∴S2018=S2=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出Sn的值每6個(gè)一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．7、若a是不為1的實(shí)數(shù)，我們把1﹣稱為a的差倒數(shù)，設(shè)a1=﹣，若a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3是差倒數(shù)，…，依此類推，a2017的值是﹣．【考點(diǎn)】17：倒數(shù)；37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型；51：數(shù)與式．【分析】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別計(jì)算出a1，a2，a3，a4，…則得到從a1開(kāi)始每3個(gè)值就循環(huán)，而2017=3×672+1，所以a2017=a1=﹣．【解答】解：∵a1=﹣，a2==，a3==4，a4==﹣，∴每3個(gè)數(shù)為一周期循環(huán)，∵2017÷3=672…1，∴a2017=a1=﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．＜二＞等式中的規(guī)律：例題：研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？=1\*GB3①13=12=×12×22=2\*GB3②13+23=32=×22×32=3\*GB3③13+23+33=62=×32×42；=4\*GB3④13+23+33+43=102=×42×52；=5\*GB3⑤13+23+33+43+53=152=×52×62；=1\*GB2⑴根據(jù)以上算式的規(guī)律，寫(xiě)出第六個(gè)算式；=2\*GB2⑵用含n（n為正整數(shù)）的式子表示第n個(gè)算式；=3\*GB2⑶請(qǐng)用以上規(guī)律計(jì)算73+83+93+·······+203。解：=1\*GB2⑴=6\*GB3⑥13+23+33+43+53+63=212=2\*GB2⑵13+23+33·······+n3=×n2×(n+1)2=3\*GB2⑶73+83+93+·······+203=(13+23+33+·······+203)–(13+23+33+·······+63)=×202×212–×62×72=43659變式訓(xùn)練1觀察下列等式：=1\*GB3①3+5+7=15=3x5;=2\*GB3②5+7+9=21=3x7;=3\*GB3③7+9+11=27=3x9;=4\*GB3④9+11+13=33=3x11;········=1\*GB2⑴根據(jù)你觀察的規(guī)律，寫(xiě)出第六個(gè)等式；=2\*GB2⑵小穎說(shuō)：“三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是3的整數(shù)倍”，她說(shuō)得對(duì)嗎？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。解：=1\*GB2⑴13+15+17=45=3x15=2\*GB2⑵設(shè)三個(gè)連續(xù)奇數(shù)依次為2n+1,2n+3,2n+5.根據(jù)題意得：2n+1+2n+3+2n+5=6n+9=3（2n+3）因?yàn)閚為正整數(shù)所以三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和一定是3的整數(shù)倍。2.閱讀下列材料：1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3），3×4=（3×4×5﹣2×3×4），由以上三個(gè)等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20．2.讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫(xiě)出過(guò)程）；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）]；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=1260．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題；21：閱讀型；2A：規(guī)律型．【分析】可得規(guī)律：a×b=[a×b×（b+1）﹣（a﹣1）×a×b]．【解答】解：1×2=（1×2×3﹣0×1×2）；2×3=（2×3×4﹣1×2×3）；3×4=（3×4×5﹣2×3×4）；…10×11=（10×11×12﹣9×10×11）；…n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]．（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11）=（10×11×12）=440；（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]；（3）1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）；2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）；3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5）；…7×8×9=（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+…+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）；=（7×8×9×10）=1260．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．3、閱讀下列解題過(guò)程：為了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，則2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上方法計(jì)算1+3+32+33+…+32014．4.觀察下列等式：第一個(gè)等式是1+2=3，第二個(gè)等式是2+3=5，第三個(gè)等式是4+5=9，第四個(gè)等式是8+9=17，…猜想：第n個(gè)等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】第一個(gè)等式是20+（20+1）=21+1，第二個(gè)等式是21+（21+1）=22+1，第三個(gè)等式是22+（22+1）=23+1，第四個(gè)等式是23+（23+1）=24+1，第n個(gè)等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【解答】解：第n個(gè)等式是2n﹣1+（2n﹣1+1）=2n+1．【點(diǎn)評(píng)】解決此類探究性問(wèn)題，關(guān)鍵在觀察、分析已知數(shù)據(jù)，尋找它們之間的相互聯(lián)系，探尋其規(guī)律．5.觀察下列各式：…請(qǐng)你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的代數(shù)式表達(dá)出來(lái)（n≥1）．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】2A：規(guī)律型．【分析】觀察分析可得：=（1+1）；=（2+1）；…則將此題規(guī)律用含自然數(shù)n（n≥1）的等式表示出來(lái)【解答】解：∵=（1+1）；=（2+1）；∴=（n+1）（n≥1）．故答案為：=（n+1）（n≥1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律得到=（n+1）（n≥1）．6.先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問(wèn)題．┅┅（1）計(jì)算=；（2）探究=；（用含有n的式子表示）（3）若的值為，求n的值．【考點(diǎn)】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題；2A：規(guī)律型．【分析】通過(guò)觀察數(shù)據(jù)找到規(guī)律，并以規(guī)律解題即可．【解答】解：（1）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=；（2）原式=1﹣﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（3）=+…+==由=，解得n=17，經(jīng)檢驗(yàn)n=17是方程的根，∴n=17．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出分式的符號(hào)的變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．代數(shù)中的規(guī)律小結(jié)：

1、找到題目中的不變量

2、找到題目中的改變量，并認(rèn)真觀察改變量的變化規(guī)律

3、觀察與猜想結(jié)合找到變量與不變量之間的關(guān)系=2\*GB4㈡、平面圖形中的規(guī)律探索圖形的變化規(guī)律也是探索規(guī)律中比較常見(jiàn)的，這類題型的特點(diǎn)是直觀易懂，從一些基本的圖形開(kāi)始觀察，努力尋找其他圖形的變化規(guī)律，揭示其內(nèi)在的奧秘，發(fā)展學(xué)生的觀察能力、分析推理能力。平面圖形中的規(guī)律，也分為等差數(shù)列、等比數(shù)列。等差數(shù)列例題：如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼成下列圖案，若第n個(gè)圖案中有2017個(gè)白色紙片，則n的值為（）A．671 B．672 C．673 D．674【分析】將已知三個(gè)圖案中白色紙片數(shù)拆分，得出規(guī)律：每增加一個(gè)黑色紙片時(shí)，相應(yīng)增加3個(gè)白色紙片；據(jù)此可得第n個(gè)圖案中白色紙片數(shù)，從而可得關(guān)于n的方程，解方程可得．【解答】解：∵第1個(gè)圖案中白色紙片有4=1+1×3張；第2個(gè)圖案中白色紙片有7=1+2×3張；第3個(gè)圖案中白色紙片有10=1+3×3張；…∴第n個(gè)圖案中白色紙片有1+n×3=3n+1（張），根據(jù)題意得：3n+1=2017，解得：n=672，故選：B．變式訓(xùn)練：1、用棋子擺出下列一組圖形：按照這種規(guī)律擺下去，第n個(gè)圖形用的棋子個(gè)數(shù)為（）A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3【分析】解決這類問(wèn)題首先要從簡(jiǎn)單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．【解答】解：∵第一個(gè)圖需棋子3+3=6；第二個(gè)圖需棋子3×2+3=9；第三個(gè)圖需棋子3×3+3=12；…∴第n個(gè)圖需棋子3n+3枚．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類：首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問(wèn)題．2、如圖，將一張等邊三角形紙片沿中位線剪成4個(gè)小三角形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作；再將其中一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為第三次操作；…根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作的次數(shù)是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由第一次操作后三角形共有4個(gè)、第二次操作后三角形共有（4+3）個(gè)、第三次操作后三角形共有（4+3+3）個(gè)，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1個(gè)，根據(jù)題意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4個(gè)；第二次操作后，三角形共有4+3=7個(gè)；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10個(gè)；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1個(gè)；當(dāng)3n+1=100時(shí)，解得：n=33，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出第n次操作后，三角形的個(gè)數(shù)為3n+1是解題關(guān)鍵．3、將圖1中的正方形剪開(kāi)得到圖2，圖2中共有4個(gè)正方形；將圖2中一個(gè)正方形剪開(kāi)得到圖3，圖3中共有7個(gè)正方形；將圖3中一個(gè)正方形剪開(kāi)得到圖4，圖4中共有10個(gè)正方形；…；如此下去．則圖10中正方形的個(gè)數(shù)是（）A．28 B．29 C．31 D．32【分析】根據(jù)已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：每次分割，都會(huì)增加3個(gè)正方形，所以可以得到此題的規(guī)律為：第n個(gè)圖形中的正方形個(gè)數(shù)為：3n﹣2．依此求出圖10中正方形的個(gè)數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意：每次分割，都會(huì)增加3個(gè)正方形．故圖10中共有3×10﹣2=28個(gè)正方形．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：圖形的變化，要求學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律：每次分割，都會(huì)增加3個(gè)正方形．4、一根繩子彎曲成如圖1所示的形狀．當(dāng)用剪刀像圖2那樣沿虛線a把繩子剪斷時(shí)，繩子被剪為5段；當(dāng)用剪刀像圖3那樣沿虛線b（b∥a）把繩子再剪一次時(shí)，繩子就被剪為9段．若用剪刀在虛線a，b之間把繩子再剪（n﹣2）次（剪刀的方向與a平行），這樣一共剪n次時(shí)繩子的段數(shù)是（）A．4n+1 B．4n+2 C．4n+3 D．4n+5【分析】本題做為一道選擇題，學(xué)生可把n=1，x=5；n=2，x=9代入選項(xiàng)中即可得出答案．而若作為常規(guī)題，學(xué)生則需要一一列出n=1，2，3…的能，再對(duì)x的取值進(jìn)行歸納．【解答】解：設(shè)段數(shù)為x則依題意得：n=0時(shí)，x=1，n=1，x=5，n=2，x=9，n=3，x=13…所以當(dāng)n=n時(shí)，x=4n+1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．而作為選擇題，將已知代入求解能節(jié)省很多時(shí)間和避免計(jì)算錯(cuò)誤．6、將正方形圖1作如下操作：第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到9個(gè)正方形…，以此類推，根據(jù)以上操作，若要得到2013個(gè)正方形，則需要操作的次數(shù)是（）A．502 B．503 C．504 D．505【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)正方形的個(gè)數(shù)變化可設(shè)第n次得到2013個(gè)正方形，則4n+1=2013，求出即可．【解答】解：∵第1次：分別連接各邊中點(diǎn)如圖2，得到4+1=5個(gè)正方形；第2次：將圖2左上角正方形按上述方法再分割如圖3，得到4×2+1=9個(gè)正方形…，以此類推，根據(jù)以上操作，若第n次得到2013個(gè)正方形，則4n+1=2013，解得：n=503．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．等比數(shù)列例題：將邊長(zhǎng)為1的正方形紙片按圖1所示方法進(jìn)行對(duì)折，記第1次對(duì)折后得到的圖形面積為S1，第2次對(duì)折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對(duì)折后得到的圖形面積為Sn，請(qǐng)根據(jù)圖2化簡(jiǎn)，S1+S2+S3+…+S2014=1﹣．【分析】觀察圖形的變化發(fā)現(xiàn)每次折疊后的面積與正方形的關(guān)系，從而寫(xiě)出面積和的通項(xiàng)公式．【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)S1+S2+S3+…+S2014=+++…+=1﹣，故答案為：1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形的變化，并找到圖形的變化規(guī)律．變式訓(xùn)練：1、如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)A1、B1，則四邊形A1ABB1的面積為，再分別取A1C、B1C的中點(diǎn)A2、B2，A2C、B2C的中點(diǎn)A3、B3，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出+++…+=1﹣．．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)【分析】對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．【解答】解：∵A1、B1分別是AC、BC兩邊的中點(diǎn)，且△ABC的面積為1，∴△A1B1C的面積為1×．∴四邊形A1ABB1的面積=△ABC的面積﹣△A1B1C的面積==1﹣；∴四邊形A2A1B1B2的面積=△A1B1C的面積﹣△A2B2C的面積=﹣=．…，∴第n個(gè)四邊形的面積==．故+++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣．故答案為：，1﹣．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力2、【閱讀】求值：1+2+22+23+…+22016解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+22016①將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得2S=2+22+23+24+…+22017②由②﹣①得2S﹣S=22017﹣1即：S=1+2+22+23+24+…+22016=22017﹣1仿照此法計(jì)算：（1）1+3+32+33+…+3100（2）1++++…+3、【應(yīng)用】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2016次，依次得到小正方形S3、S4…S2016．完成下列問(wèn)題：（3）小正方形S2016的面積等于；（4）求正方形S1、S2、S3、S4…S2016的面積和．【分析】（1）先將等式①的兩邊同時(shí)乘以3，再由②﹣①得結(jié)論；（2）將等式①的兩邊同時(shí)乘以，再由②﹣①得結(jié)論；（3）根據(jù)題意依次求S1、S2、S3、…，得出S2016的值；（4）將等式①的兩邊同時(shí)乘以4，再由②﹣①得結(jié)論；【解答】解：（1）設(shè)S=1+3+32+33+…+3100①，將等式①的兩邊同時(shí)乘以3得：3S=3+32+33+…+3100+3101②，由②﹣①得3S﹣S=3101﹣1，即：S=1+3+32+33+…+3100=；（2）設(shè)S=1++++…+①，將等式①的兩邊同時(shí)乘以得：S=+++…++②，由②﹣①得：S﹣S=﹣1，S=2﹣，即：S=1++++…+=2﹣；（3）由題意得：S=1，S1=，S2=×=，S3=××=，…，S2016=，故答案為：；（4）設(shè)A=S1+S2+S3+S4+…+S2016=+++…+①，將等式①的兩邊同時(shí)乘以4得：4A=1++++…+②，由②﹣①得：4A﹣A=1﹣，A=（1﹣），即：S1+S2+S3+S4+…+S2016=（1﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題是數(shù)字與圖形相結(jié)合的規(guī)律題，關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀已知材料，通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，并按此規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；本題還通過(guò)等分正方形的面積與數(shù)字類的規(guī)律結(jié)合在一起，進(jìn)一步將數(shù)字類的規(guī)律應(yīng)用到數(shù)學(xué)中來(lái)．4、一質(zhì)點(diǎn)P從距原點(diǎn)1個(gè)單位的A點(diǎn)處向原點(diǎn)方向跳動(dòng)，第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處，第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到OA1的中點(diǎn)A2處，第三次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到OA2的中點(diǎn)A3處，如此不斷跳動(dòng)下去，則第n次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為（）A．1﹣ B． C．（）n+1 D．【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題．【分析】根據(jù)題意分析可得：每次跳動(dòng)后，到原點(diǎn)O的距離為跳動(dòng)前的一半．【解答】解：故第n次跳動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．5.如圖，下面是按照一定規(guī)律畫(huà)出的“樹(shù)形圖”，經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖A2比圖A1多出2個(gè)“樹(shù)枝”，圖A3比圖A2多出4個(gè)“樹(shù)枝”，圖A4比圖A3多出8個(gè)“樹(shù)枝”，…，照此規(guī)律，圖A6比圖A2多出“樹(shù)枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64【考點(diǎn)】38：規(guī)律型：圖形的變化類．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】16：壓軸題；2A：規(guī)律型．【分析】通過(guò)觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖A2比圖A1多出2個(gè)“樹(shù)枝”，圖A3比圖A2多出4個(gè)“樹(shù)枝”，圖A4比圖A3多出8個(gè)“樹(shù)枝”，…，以此類推可得：A6比圖A2多出“樹(shù)枝”4+8+16+32個(gè)【解答】解：圖A2比圖A1多出2個(gè)“樹(shù)枝”，圖A3比圖A2多出4個(gè)“樹(shù)枝”，圖A4比圖A3多出8個(gè)“樹(shù)枝”，…，A6比圖A2多出“樹(shù)枝”4+8+16+32=60個(gè)，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力．＜三＞、循環(huán)數(shù)列例題：一個(gè)紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍(lán)紫的順序重復(fù)排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個(gè)數(shù)可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】該紙鏈?zhǔn)?的倍數(shù)，剩下部分有12個(gè)，12=5×2+2，所以中間截去的是3+5n，從選項(xiàng)中數(shù)減3為5的倍數(shù)即得到答案．【解答】解：由題意，可知中間截去的是5n+3（n為正整數(shù)），由5n+3=2013，解得n=402，其余選項(xiàng)求出的n不為正整數(shù)，則選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個(gè)不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案．變式訓(xùn)練：1、有一串彩色的珠子，按白黃藍(lán)的順序重復(fù)排列，其中有一部分放在盒子里，如圖所示，則這串珠子被放在盒子里的顆數(shù)可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案．【解答】解：根據(jù)規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)盒子里有3n+1顆珠子，當(dāng)有2011顆時(shí)，n恰為整數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力．注意由特殊到一般的分析方法．2、將正方體骰子（相對(duì)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖1．在圖2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則完成一次變換．若骰子的初始位置為圖1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點(diǎn)數(shù)是（）A．6 B．5 C．3 D．