泰 勒 公 式課件

泰勒公式第三節(jié)、泰勒公式對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了方便研究，往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)．在各種函數(shù)中，多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的一種，只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次加、減、乘三種運(yùn)算，便能求出它的函數(shù)值來(lái)，因此，我們希望用多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù)．那么，如何從理論上建立一個(gè)復(fù)雜函數(shù)與一個(gè)簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式之間的關(guān)系呢？1712年，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor）解決了這個(gè)問(wèn)題.這正是本節(jié)所要介紹的泰勒公式的核心內(nèi)容．一、泰勒中值定理引入1.在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道，當(dāng)|x|很小時(shí)，有如下的近似等式：ex≈1+x,ln(1+x)≈x.這些都是用一次多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)函數(shù)的例子．但是這種近似表達(dá)式存在著兩大不足：①精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無(wú)窮小；②不能具體估計(jì)出誤差大?。谑?，如何改進(jìn)這兩大缺點(diǎn)是當(dāng)時(shí)擺在數(shù)學(xué)家面前的一個(gè)重要課題．

泰勒首先提出下面的問(wèn)題：設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到（n+1）階導(dǎo)數(shù)，試找出一個(gè)關(guān)于(x－x0)的n次多項(xiàng)式pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1）來(lái)近似表達(dá)f(x)，要求pn(x)與f(x)之差是比(x－x0)n高階的無(wú)窮小，并給出誤差|f(x)－pn(x)|的具體表達(dá)式．下面我們來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題．假設(shè)pn(x)在x0處的函數(shù)及它的直到n階導(dǎo)數(shù)在x0處的值依次與f(x0),f′(x0),…,f(n)(x0)相等，即滿足pn(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),p″(x0)=f″(x0),…,p(n)n(x0)=f(n)(x0)，一、泰勒中值定理

按這些等式來(lái)確定多項(xiàng)式（3-1）的系數(shù)a0,a1,a2,…,an．為此，對(duì)式（3-1）求各階導(dǎo)數(shù)，然后分別代入以上等式，得a0=f(x0),1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0),…,n!an=f(n)(x0),即得下面的定理表明，多項(xiàng)式（3-2）的確是所要找的n次多項(xiàng)式．一、泰勒中值定理泰勒中值定理2.泰勒中值定理如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一x∈(a,b)，有其中這里ξ是x0與x之間的某個(gè)值．一、泰勒中值定理

證設(shè)Rn(x)=f(x)－pn(x)，只需證明

（ξ在x0與x之間）.由假設(shè)可知，Rn(x)在(a,b)內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，且Rn(x0)=R′n(x0)=R″n(x0)=…=R(n)n(x0)=0.

對(duì)兩個(gè)函數(shù)Rn(x)及(x－x0)n+1在以x0與x為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理（顯然，這兩個(gè)函數(shù)滿足柯西中值定理的條件），得

（ξ1在x0與x之間）一、泰勒中值定理

再對(duì)兩個(gè)函數(shù)R′n(x)與(n+1)(x－x0)n在以x0及ξ1為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得

（ξ2在x0與ξ1之間）.照此方法繼續(xù)下去，經(jīng)過(guò)（n+1）次后，得（ξ在x0與ξn之間，因而也在x0與x之間）.注意到Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)（因pn(n+1)(x)=0），則由上式得（ξ在x0與x之間）.定理證畢．一、泰勒中值定理二、泰勒公式及其余項(xiàng)多項(xiàng)式（3-2）被稱為函數(shù)f(x)按(x－x0)的冪展開(kāi)的n次近似多項(xiàng)式，式（3-3）稱為f(x)按(x－x0)的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式，而表達(dá)式（3-4）稱為拉格朗日型余項(xiàng)．當(dāng)n=0時(shí)，泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)（ξ在x0與x之間)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣．

由泰勒中值定理可知，以多項(xiàng)式pn(x)近似表達(dá)函數(shù)f(x)時(shí)，其誤差為|Rn(x)|．如果對(duì)于某個(gè)固定的n，當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，|f(n+1)(x)|≤M，則有估計(jì)式(3-5)及l(fā)imx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可見(jiàn)，當(dāng)x→x0時(shí)誤差|Rn(x)|是比(x－x0)n高階的無(wú)窮小，即Rn(x)=o［(x－x0)n］.(3-6)這樣，我們提出的問(wèn)題完滿地得到解決．二、泰勒公式及其余項(xiàng)在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí)，n階泰勒公式也可以寫成(3-7)Rn(x)的表達(dá)式(3-6)稱為佩亞諾(Peano)型余項(xiàng)，式(3-7)稱為f(x)按(x－x0)的冪展開(kāi)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式．二、泰勒公式及其余項(xiàng)

在泰勒公式（3-3）中，如果取x0=0，則ξ在0與x之間．因此可令ξ=θx(0<θ<1)，從而泰勒公式變成比較簡(jiǎn)單的形式，即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林(Maclaurin)公式(3-8)在泰勒公式（3-7）中，如果取x0=0，則有帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式(3-9)由式(3-8)或式（3-9）可得近似公式誤差估計(jì)式（3-5）相應(yīng)變成(3-10)二、泰勒公式及其余項(xiàng)

寫出函數(shù)f(x)=ex的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式．解因?yàn)閒(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=ex．所以f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=1．把這些值代入式（3-8），并注意到f(n+1)(θx)=eθx使得(0<θ<1).由這個(gè)公式可知，ex用它的n次近似多項(xiàng)式可表達(dá)為【例1】二、泰勒公式及其余項(xiàng)

這時(shí)所產(chǎn)生的誤差為(0<θ<1).如果取x=1，則得無(wú)理數(shù)e的近似式為其誤差為當(dāng)n=10時(shí)，可算出e≈2.718282，其誤差不超過(guò)10－6．二、泰勒公式及其余項(xiàng)

求f(x)=sinx的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式．解因?yàn)樗运鼈冺樞蜓h(huán)地取四個(gè)數(shù)0,1,0,－1，于是按(3-8)式得（令n=2m）【例2】二、泰勒公式及其余項(xiàng)其中(0<θ<1).如果取m=1，則得近似公式sinx≈x.這時(shí)誤差為如果m分別取2和3，則可得sinx的3次和5次近似多項(xiàng)式其誤差的絕對(duì)值依次不超過(guò)類似地，還可以得到(4-11)(4-12)二、泰勒公式及其余項(xiàng)其中(0<θ<1)；其中(0<θ<1)；其中Rn(x)=(0<θ<1).由以上帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式，易得相應(yīng)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式，讀者可自行寫出．二、泰勒公式及其余項(xiàng)【例3】二、泰勒公式及其余項(xiàng)【例4】二、泰勒公式及其余項(xiàng)解法2

用泰勒公式求極限二、泰勒公式及其余項(xiàng)由以上解法可知，在求“”型未定式時(shí)，若無(wú)窮小的階數(shù)比較高（三階以上），用泰勒公式求解比用洛必達(dá)法則求解容易．注意二、泰勒公式及其余項(xiàng)

設(shè)f(x)在［a,b］上具有三階導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=f′(b)=f″(b)=0，證明在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使證f(x)在x0=b的二階泰勒公式為【例5】二、泰勒公式及其余項(xiàng)（1）要證明命題“f(n)(ξ)=0”．當(dāng)n較小時(shí)（如n=1,2），可考慮對(duì)f(n－1)(x)使用羅爾定理的處理方法．此時(shí)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為尋找使函數(shù)f(n－1)(x)的值相等的兩個(gè)點(diǎn)，這往往需要借助于微分中值定理（如羅爾定理或拉格朗日中值定理）．（2）當(dāng)n較大時(shí)，可考慮使用f(x)的n－1階泰勒公式證明f(n)(ξ)=0．注意二、泰勒公式及其余項(xiàng)

應(yīng)用三階泰勒公式近似計(jì)算sin18°的值，并估計(jì)誤差．解18°=π/10與0