2019屆廣西專用中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第四章圖形的認識4.3等腰三角形與直角三角形試卷講義

§4.3等腰三角形與直角三角形中考數(shù)學(xué)

(廣西專用)考點一等腰三角形五年中考A組

2014-2018年廣西中考題組五年中考1.(2017河池,12,3分)已知等邊△ABC的邊長為12,D是AB上的動點,過D作DE⊥AC于點E,過E作

EF⊥BC于點F,過F作FG⊥AB于點G.當(dāng)G與D重合時,AD的長是

(

)A.3

B.4

C.8

D.9答案

B設(shè)AD=2x,∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE⊥AC于點E,EF⊥BC于點F,FG⊥AB于點G,且點G與D重合,

∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x,∴CE=12-x,∴CF=6-

,∴BF=6+

,∴BD=3+

,∴3+

+2x=12,∴x=4,∴AD=4.故選B.2.(2016賀州,7,3分)一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為

(

)A.12

B.16

C.20

D.16或20答案

C①當(dāng)腰長為4時,4+4=8,故此種情況不存在.②當(dāng)腰長為8時,8-4<8<8+4,符合題意,故此三角形的周長=8+8+4=20.故選C.易錯警示

本題易錯選D選項,主要是沒有考慮腰長為4時不符合三角形兩邊之和大于第三邊

這個條件.3.(2015來賓,9,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AB的垂直平分線DE分別交AB,BC于

點D,E,則∠BAE等于

(

)

A.80°

B.60°

C.50°

D.40°答案

D∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=(180°-100°)÷2=40°,∵DE所在直線是AB的垂直平分線,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=40°,故選D.思路分析

先利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù),再利用中垂線的性質(zhì)求解.主要考點

等腰三角形及線段的垂直平分線的性質(zhì).4.(2018桂林,16,3分)如圖,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,則圖中等腰三角形的個

數(shù)是

.

答案3解析∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=

=72°,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴AD=BD=BC,∴△ABD,△BCD,△ABC均為等腰三角形,故有3個.考點二直角三角形1.(2018柳州,6,3分)如圖,圖中直角三角形共有

(

)

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案

C題圖中共有3個直角三角形,故選C.2.(2018賀州,10,3分)如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D,E是邊BC的中點,AD=ED=

3,則BC的長為

(

)

A.3

B.3

C.6

D.6

答案

D∵AD⊥BC,AD=ED=3,∴AE=

=

=3

.又∠BAC=90°,E為BC的中點,∴BC=2AE=2×3

=6

.3.(2016百色,6,3分)如圖,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,則BC=

(

)

A.6

B.6

C.6

D.12答案

A∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=

AB=

×12=6.故選A.4.(2016北海,8,3分)如圖,在△ABC中,AD為BC邊上的高,BE為AC邊上的中線,AB=10,BC=12,AD

=6,連接DE,則DE的長為

(

)

A.

B.

C.2

D.2

答案

B在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,根據(jù)勾股定理得BD=

=8,則CD=BC-BD=4.在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理得AC=

=2

,又點E為AC的中點,所以DE=

AC=

.故選B.評析本題考查了勾股定理,及直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半.5.(2015桂林,8,3分)下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是(

)A.30,40,50

B.7,12,13C.5,9,12

D.3,4,6答案

A

A.∵302+402=502,∴該組線段能構(gòu)成直角三角形,故正確;B.∵72+122≠132,∴該組線

段不能構(gòu)成直角三角形,故錯誤;C.∵52+92≠122,∴該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯誤;D.∵

32+42≠62,∴該組線段不能構(gòu)成直角三角形,故錯誤.故選A.6.(2018玉林,17,3分)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,則AD的取值范圍是

.

答案2<AD<8解析過B作BE⊥AD于E,分別延長AD,BC交于F,在Rt△ABE中,

=cos60°,∴AE=4×

=2.在Rt△ABF中,

=cos60°,∴AF=

=8.故2<AD<8.

7.(2018貴港,26,10分)已知:A,B兩點在直線l的同一側(cè),線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在

AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線l向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與

直線l相交于點P.(1)當(dāng)P與O重合(如圖2所示),設(shè)點C是AO的中點,連接BC.求證:四邊形OCBM是正方形;(2)請利用圖1所示的情形,求證:

=

;(3)若AO=2

,且當(dāng)MO=2PO時,請直接寫出AB和PB的長.

圖1圖2解析(1)證明:∵AO⊥l,BM⊥l,∴AO∥BM,∵AO=2BM,C為AO中點,∴OC=BM,∴四邊形OCBM是平行四邊形.∵∠OMB=90°,∴四邊形OCBM是矩形,∴∠OCB=90°,在△OCB和△ACB中,

∴△OCB≌△ACB(SAS),∴∠CBO=∠ABC,又∵∠ABO=90°,∴∠CBO=45°,又∵∠OCB=90°,∴∠COB=45°,∴CO=CB.∴四邊形OCBM是正方形.(2)證明:過B作BC⊥AO于C,設(shè)AO與PB相交于D.∵∠AOM=∠OMB=∠OCB=90°,∴四邊形OCBM是矩形.∴OM=BC.∵∠POA=∠ABP=90°,∠ADB=∠PDO,∴∠BPM=∠A.又∵∠ACB=∠PMB=90°,∴△ACB∽△PMB.∴

=

.∵OM=BC,∴

=

.(3)①當(dāng)P在線段OM外時,如圖.設(shè)OA與BP相交于點C.

∵MO=2PO,∴

=

.∵CO∥BM,∴△POC∽△PMB.∴

=

=

=

,又∵AO=2

,BM=

AO=

,∴OC=

,AC=

.∵∠ABP=∠POA=90°,∠PCO=∠ACB,∴△ABC∽△POC,∴

=

,∴CB·CP=AC·CO.∵

=

,∴設(shè)PC=x(x>0),則CB=2x.∴

×

=2x2,解得x=

(負值舍去).∴PB=

,CB=

.∴在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=

=

=

.②當(dāng)P在線段OM內(nèi)時,如圖.

過A作AC⊥BM交MB的延長線于C,∴∠ACB=∠AOM=∠OMB=90°.∴四邊形AOMC是矩形.∴AO=CM,AC=OM,又∵AO=2BM,AO=2

,∴BC=BM=

.∵∠ABP=90°,∠OMB=90°,∴∠PBM+∠ABC=90°,∠PBM+∠BPM=90°,∴∠ABC=∠BPM.∴△PMB∽△BCA.∴

=

.∴AC·PM=BM·CB,即MO·PM=6.又∵MO=2PO,∴PO=PM=

MO,∴2PM2=6.∴PM=

.∴MO=AC=2

.在Rt△BPM中,PB=

=

=3,在Rt△ABC中,AB=

=

=3

.∴綜上所述,AB=

或3

,PB=

或3.B組2014—2018年全國中考題組考點一等腰三角形1.(2018福建,5,4分)如圖,等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,點E在線段AD上,∠EBC=45°,則

∠ACE等于

(

)

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案

A由等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為點D,可得∠ACB=60°,且點D是BC的中點,所

以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根據(jù)等邊對等角,得到∠ECB=∠EBC=45°,故∠ACE=∠ACB-∠

ECB=60°-45°=15°.2.(2017內(nèi)蒙古包頭,6,3分)若等腰三角形的周長為10cm,其中一邊長為2cm,則該等腰三角形

的底邊長為

(

)A.2cm

B.4cm

C.6cm

D.8cm答案

A當(dāng)腰長為2cm時,底邊長為6cm,但是2+2=4<6,即兩邊之和小于第三邊,不合題意;當(dāng)

底邊長為2cm時,腰長為4cm,符合題意,故選A.3.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得

它的第三個頂點在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為

(

)

\A.4

B.5

C.6

D.7答案

D①如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,則△BCD就是等腰三角形;②如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點E,則△ACE就是等腰三角形;③如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于M,交AC于點F,則△BCM、△BCF是等腰三角

形;④如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點H,則△ACH就是等腰三角形;⑤如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點G,則△AGB就是等腰三角形;⑥如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則△BCI就是等腰三角形.故選D.4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一個底角為50°,則它的頂角的度數(shù)為

.答案80°解析∵等腰三角形的兩底角相等,∴180°-50°×2=80°,∴頂角為80°.5.(2018天津,17,3分)如圖,在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,EF⊥AC于點F,

G為EF的中點,連接DG,則DG的長為

.

答案

解析連接DE,在等邊△ABC中,

∵D、E分別是AB、BC的中點,∴DE∥AC,DE=EC=

AC=2.∴∠DEB=∠C=60°.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠FEC=30°,EF=

.∴∠DEG=180°-60°-30°=90°.∵G是EF的中點,∴EG=

.∴在Rt△DEG中,DG=

=

=

.思路分析

連接DE,根據(jù)題意可得DE∥AC,又EF⊥AC,可得到∠FEC的度數(shù),判斷出△DEG是

直角三角形,再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長.疑難突破

本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì),勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段

DG的長,DG與圖中的線段無直接的關(guān)系,所以應(yīng)根據(jù)條件連接DE,構(gòu)造直角三角形,運用勾股

定理求出DG的長.6.(2018遼寧沈陽,16,3分)如圖,△ABC是等邊三角形,AB=

,點D是邊BC上一點,點H是線段AD上一點,連接BH、CH,當(dāng)∠BHD=60°,∠AHC=90°時,DH=

.

答案

解析延長AD至點E,使得HE=BH,連接BE、CE,

∵∠BHD=60°,∴△BHE是等邊三角形,∴BH=BE=HE,∠BEH=60°,∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∴∠ABH=∠CBE,∴△ABH≌△CBE,∴∠BEC=

∠BHA=120°,∴∠HEC=60°,∵CH⊥AD,∴∠CHE=90°,設(shè)BH=x(x>0),則HE=x,CH=

x,過點B作BG⊥HE于G,則BG=

x,EG=

,∠BGD=∠CHD=90°,又∵∠BDG=∠CDH,∴△BDG∽△CDH,∴

=

=

=

,∵BC=

,∴CD=

,又DH=

GH=

×

HE=

,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即

+(

x)2=

,解得x=1,∴DH=

.疑難突破

此類題型中,可根據(jù)等邊三角形、60°這些條件,通過補全小等邊三角形,構(gòu)造全等

三角形,從而實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)化.考點二直角三角形1.(2018陜西,6,3分)如圖,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平

分線交AD于點E,則AE的長為

(

)

A.2

B.3

C.

D.

答案

D∵AC=8,∠C=45°,AD⊥BC,∴AD=ACsin45°=4

,過點E作EF⊥AB于點F,∵BE是∠ABC的平分線,∴DE=EF,∵∠ABC=60°,AD⊥BC,∴∠BAE=30°,在Rt△AEF中,EF=

AE,又∵AD=4

,DE=EF,∴AE=

AD=

,故選D.思路分析

首先利用AC的長及∠C的正弦求出AD的長,進而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角

形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系,最后求出AE的長.2.(2016四川南充,7,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,點D,E分別是直角邊BC,AC的中點,

則DE的長為

(

)

A.1

B.2

C.

D.1+

答案

A在Rt△ABC中,∵∠A=30°,BC=1,∴AB=2.∵點D,E分別是BC,AC的中點,∴DE=

AB=

×2=1.3.(2017內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,AF平分∠CAB,

交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

A過F作FG⊥AB于點G,∵AF平分∠CAB,∠ACB=90°,∴FC=FG.易證△ACF≌△AGF,∴AC=AG.

∵∠5+∠6=90°,∠B+∠6=90°,∴∠5=∠B.∵∠3=∠1+∠5,∠4=∠2+∠B,∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴CE=CF.∵AC=3,AB=5,∴BC=4.在Rt△BFG中,設(shè)CF=x(x>0),則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=

,∴CE=CF=

.選A.4.(2018福建,13,4分)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點,則CD=

.

答案3解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線,由“直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半”可得CD=

AB=3.5.(2018福建,15,4分)把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三

角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若

AB=

,則CD=

.

答案

-1解析由題意知△ABC,△ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=

,由勾股定理得BC=AD=2.過A作AF⊥BC于F,則FC=AF=1,在Rt△AFD中,由勾股定理得FD=

,故CD=FD-FC=

-1.

6.(2018湖北黃岡,13,3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5

cm的點B處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處,則螞

蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為

cm(杯壁厚度不計).

答案20解析如圖,將圓柱側(cè)面展開,延長AC至A',使A'C=AC,連接A'B,則線段A'B的長為螞蟻到蜂蜜的

最短距離.過B作BB'⊥AD,垂足為B'.在Rt△A'B'B中,B'B=16,A'B'=14-5+3=12,所以A'B=

=

=20,即螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.

7.(2018河南,15,3分)如圖,∠MAN=90°,點C在邊AM上,AC=4,點B為邊AN上一動點,連接BC,△A'

BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱.點D,E分別為AC,BC的中點,連接DE并延長交A'B所在直線

于點F,連接A'E.當(dāng)△A'EF為直角三角形時,AB的長為

.

答案4或4

解析(1)當(dāng)點A'在直線DE下方時,如圖1,∵∠CA'F=90°,∠EA'F>∠CA'F,∴△A'EF為鈍角三角

形,不符合;(2)①當(dāng)點A'在直線DE上方時,如圖2.當(dāng)∠A'FE=90°時,∵DE∥AB,∴∠EDA=90°,∴A

'B∥AC.由對稱知四邊形ABA'C為正方形,∴AB=AC=4;②當(dāng)點A'在直線DE上方時,如圖3.當(dāng)∠A'

EF=90°時,A'E∥AC,所以∠A'EC=∠ACE=∠A'CE,∴A'C=A'E.∵A'E=EC,∴△A'CE為等邊三角

形,∴∠ACB=∠A'CB=60°,∴在Rt△ACB中,AB=AC·tan60°=4

;③當(dāng)點A'在直線DE上方時,∠EA'F<∠CA'B,不可能為90°.綜上所述,當(dāng)△A'EF為直角三角形時,AB的長為4或4

.

圖1

圖2

圖3方法總結(jié)

解對稱(折疊)型問題,當(dāng)對稱軸過定點時,一般要找出對稱中的定長線段,以定點為

圓心,定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法.再根據(jù)題目中所要求的條

件,結(jié)合全等、相似或勾股定理等計算得出結(jié)果.思路分析

由題意知,點B為邊AN上的動點,A點的對稱點A'可以在直線DE的下方或上方.分類

討論,當(dāng)點A'在DE的下方時,△A'EF不可能為直角三角形,當(dāng)點A'在直線DE上方時,∠A'EF或∠

A'FE為90°時分別計算AB的長,顯然∠EA'F<90°,可以排除.8.(2018新疆烏魯木齊,15,4分)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2

,AC=2,點D是BC的中點,點E是邊AB上一動點,沿DE所在直線把△BDE翻折到△B‘DE的位置,B’D交AB于點F.若△AB‘F為

直角三角形,則AE的長為

.

答案3或2.8解析易知∠B'AF不可能為直角.當(dāng)∠B'FA是直角時,如圖1,

圖1∵∠C是直角,∠ABC=∠DBF,∴△BCA∽△BFD,∴

=

,又∵BC=2

,且易知BD=

,AB=4,∴BF=

×2

=

,由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴BE=B'E,∠EB'F=∠ABD=30°,∴BE=EB'=2EF,∴BE=

BF=1,∴AE=4-1=3.當(dāng)∠FB'A是直角時,如圖2,

圖2連接B'C、AD、BB',由翻折可知△DBE≌△DB'E,∴B'D=BD=

BC=CD,∴∠BB'C=90°,∵∠FB'A=∠ACD=90°,∴Rt△ACD≌Rt△AB'D,∴AC=AB',又易證∠DB'B=∠CB'A,∴△DB'B∽△AB'

C,∴

=

=

,又

=

,故可證△BB'C∽△DCA,∴∠CDA=∠B'BC,∴AD∥BB',延長DE交BB'于M,可得

=

=

(*),易知DM垂直平分BB',∴BM=

BB',在直角三角形BB'C中,由BB'2+B'C2=BC2=12,

=

,可求得BB'=

,∴BM=

.在直角三角形DCA中,DA=

=

,將BM=

,AD=

代入(*)可得AE=2.8.綜上,AE=3或2.8.疑難突破

本題的難點是∠FB'A為直角時如何求AE,突破方法是作出輔助線B'C、AD、BB',

并根據(jù)翻折證明△BB'C∽△DCA,然后利用相似比求出AE.9.(2017河南,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=

+1,點M,N分別是邊BC,AB上的動點,沿MN所在的直線折疊∠B,使點B的對應(yīng)點B'

落在邊AC上.若△MB'C為直角三角形,則BM的長為

.

答案

或1解析在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°.(1)當(dāng)∠MB'C=90°時,∠B'MC=∠C=45°.設(shè)BM=x,則B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=

x,∴

x+x=

+1,解得x=1,∴BM=1.(2)如圖,當(dāng)∠B'MC=90°時,點B'與點A重合,

此時BM=B'M=

BC=

.綜上所述,BM的長為1或

.10.(2018安徽,23,14分)如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.點D為邊AC上一點,DE⊥AB于點E.點M

為BD的中點,CM的延長線交AB于點F.(1)求證:CM=EM;(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;(3)如圖2,若△DAE≌△CEM,點N為CM的中點.求證:AN∥EM.

圖1圖2解析(1)證明:由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M為斜邊BD的中點,∴CM=

BD.又DE⊥AB,同理,EM=

BD,∴CM=EM.

(4分)(2)由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.又由(1)知CM=BM=EM,∴∠CME=∠CMD+∠DME=2(∠CBM+∠EBM)=2∠CBA=2×40°=80°,∴∠EMF=180°-∠CME=100°.

(9分)(3)證明:∵△DAE≌△CEM,∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,∴△DEM是等邊三角形,∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.證法一:在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,∴

=

,又∵NM=

CM=

EM=

AE,∴FN=FM+NM=

EF+

AE=

(AE+EF)=

AF.∴

=

=

.又∵∠AFN=∠EFM,∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,∴AN∥EM.

(14分)證法二:連接AM,則∠EAM=∠EMA=

∠MEF=15°,

∴∠AMC=∠EMC-∠EMA=75°,①又∠CMD=∠EMC-∠EMD=30°,且MC=MD,∴∠ACM=

×(180°-30°)=75°.②由①②可知AC=AM,又N為CM的中點,∴AN⊥CM,又∵EM⊥CF,∴AN∥EM.

(14分)思路分析

(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)由直角三角形中兩銳角

互余求出∠CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠MEB=∠MBE,∠MCB=∠MBC,從而可得∠CME=

∠DME+∠CMD=2(∠CBM+∠EBM),最后由補角性質(zhì)求出∠EMF;(3)由△DAE≌△CEM可推

出△DEM為等邊三角形,從而可得∠MEF=30°,下面證AN∥EM有兩個思路:一是根據(jù)直角三角

形30°角所對直角邊等于斜邊的一半可得

=

,又點N是CM的中點,可推出

=

,從而可證△AFN∽△EFM,進一步即可證明AN∥EM;二是連接AM,計算可得∠AMC=∠ACM,而N是CM

的中點,從而AN⊥CM,進一步即可證明AN∥EM.11.(2016內(nèi)蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠

ECD=90°,D為AB邊上一點.(1)求證:△ACE≌△BCD;(2)求證:2CD2=AD2+DB2.

證明(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∴CD=CE,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA=∠DCB.

(1分)在△ACE與△BCD中,

(3分)∴△ACE≌△BCD.

(4分)(2)∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD.

(5分)∵∠EAC=∠BAC=45°,∴∠EAD=90°.在Rt△EAD中,ED2=AD2+AE2,∴ED2=AD2+BD2.

(6分)又ED2=EC2+CD2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.

(7分)C組教師專用題組考點一等腰三角形1.(2016湖北武漢,10,3分)平面直角坐標(biāo)系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點C,使△ABC

為等腰三角形,則滿足條件的點C的個數(shù)是

(

)A.5

B.6

C.7

D.8答案

A如圖,①當(dāng)AB=AC時,以點A為圓心,AB長為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個交點(點B除

外),即O(0,0),C0(0,4),其中點C0與A、B兩點共線,不符合題意;②當(dāng)AB=BC時,以點B為圓心,AB長

為半徑作圓,與坐標(biāo)軸有兩個交點,均符合題意;③當(dāng)AC=BC時,作AB的垂直平分線,與坐標(biāo)軸有

兩個交點,均符合題意.所以滿足條件的點C有5個,故選A.

2.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點M,N分別在OA,OB上,且△

PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有

(

)

A.1個

B.2個

C.3個

D.3個以上答案

D如圖所示,過點P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則△PCD為等邊三

角形.在OC,DB上分別取M,N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠

MPN=60°,則△PMN為等邊三角形,因為滿足CM=DN的M,N有無數(shù)個,所以滿足題意的三角形

有無數(shù)個.

3.(2015福建龍巖,8,4分)如圖,在邊長為

的等邊三角形ABC中,過點C垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點P,則點P到邊AB所在直線的距離為

(

)

A.

B.

C.

D.1答案

D由題意可得,∠PBC=30°,在Rt△PBC中,PC=BC·tan30°=1,因為BP是∠ABC的平分

線,所以點P到直線AB的距離等于點P到直線BC的距離,即為1,故選D.4.(2015吉林長春,6,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,過點A作AD∥BC.若∠1=70°,則∠BAC的大小

為

(

)

A.30°

B.40°

C.50°

D.70°答案

B∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.∴∠B=70°.∴∠BAC=40°.故選B.5.(2014江蘇蘇州,10,3分)如圖,△AOB為等腰三角形,頂點A的坐標(biāo)為(2,

),底邊OB在x軸上.將△AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A'O'B,點A的對應(yīng)點A'在x軸上,則點O'的坐標(biāo)

為

(

)

A.

B.

C.

D.

答案

C過A作OB邊的垂線AC,垂足為C,過O'作BA'邊的垂線O'D,垂足為D,因為頂點A

的坐

標(biāo)為(2,

),所以C點坐標(biāo)為(2,0),所以O(shè)C=2,AC=

,在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理得OA=3,所以AB=3.因為△AOB為等腰三角形,所以C為OB的中點,所以B點坐標(biāo)為(4,0),故BO'=BO=4.在Rt

△O'BD和Rt△O'A'D中,O'B2-BD2=O'A'2-A'D2.設(shè)BD=x,則有42-x2=32-(3-x)2,解得x=

,所以BD=

,所以O(shè)'D=

,又OD=4+

=

,故O'點的坐標(biāo)為

,故選C.

6.(2015浙江紹興,13,5分)由于木質(zhì)的衣架沒有柔性,在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設(shè)

計了一種衣架,在使用時能輕易收攏,然后套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18cm.

若衣架收攏時,∠AOB=60°,如圖2,則此時A,B兩點間的距離是

cm.

答案18解析連接AB.因為OA=OB=18cm,收攏后的∠AOB=60°,所以△AOB是正三角形,故AB=18cm.7.(2016湖南長沙,17,3分)如圖,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點D,交邊AC

于點E,則△BCE的周長為

.

答案13解析∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周長為BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.評析

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理,即線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個

端點的距離相等.8.(2014江蘇蘇州,15,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=

∠BAC,則tan∠BPC=

.

答案

解析過A作等腰△ABC底邊BC上的高AD,垂足為D,則AD

平分∠BAC,且D為BC的中點,所以

BD=4,根據(jù)勾股定理可求出AD=3,又因為∠BPC=

∠BAC,所以∠BPC=∠BAD,所以tan∠BPC=tan∠BAD=

=

.9.(2014河南,11,3分)如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點B、C為圓心,以大于

BC的長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點;②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,∠B=25°,則

∠ACB的度數(shù)為

.

答案105°解析由題意知MN垂直平分BC,∴CD=BD,又CD=AC,∴AC=CD=BD,∴∠DCB=∠B=25°,∴∠A=∠CDA=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=105°.10(2016北京,16,3分)下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.已知:直線l和l外一點P.

求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點P.作法:如圖,(1)在直線l上任取兩點A,B;(2)分別以點A,B為圓心,AP,BP長為半徑作弧,兩弧相交于點Q;(3)作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的垂線.

請回答:該作圖的依據(jù)是

.答案三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等;等腰三角形的頂角平分線

與底邊上的高重合;兩點確定一條直線解析連接PA、QA、PB、QB.由題意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,∴△PAB≌△QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等),∴∠PAB=∠QAB(全等三角形的對應(yīng)角相等).由兩點確定一條直線作直線PQ.∵PA=QA,∴AB⊥PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合).11.(2016賀州,16,3分)如圖,在△ABC中,分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形

BCE,連接AE、BD交于點O,則∠AOB的度數(shù)為

.

答案120°解析設(shè)AC與BD交于點H.∵△ACD,△BCE都是等邊三角形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°.∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE.在△DCB和△ACE中,

∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CDB=∠CAE.又∵∠DCH+∠CHD+∠CDB=180°,∠AOH+∠OHA+∠CAE=180°,∠CHD=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°.∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.思路分析

先證明△DCB≌△ACE,再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDB=∠CAE,再利用對

頂角相等及三角形內(nèi)角和定理得∠AOD=∠ACD=60°,即可求出∠AOB.主要考點

全等三角形的判定及性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì).12.(2016吉林,12,3分)如圖,已知線段AB,分別以點A和點B為圓心,大于

AB的長為半徑作弧,兩弧相交于C,D兩點,作直線CD交AB于點E.在直線CD上任取一點F,連接FA,FB.若FA=5,則FB=

.

答案5解析由題意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.13.(2016柳州,23,8分)求證:等腰三角形的兩個底角相等.(請根據(jù)下圖用符號表示已知和求證,并寫出證明過程).已知:求證:證明:

解析已知:在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C.證法一:過點A作AD⊥BC,垂足為D.

則∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(HL).∴∠B=∠C.證法二:過點A作∠BAC的平分線AD交BC于點D.則∠BAD=∠CAD.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C.證法三:過點A作BC邊上的中線AD交BC于點D.

則BD=CD.在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C.14.(2017黑龍江哈爾濱,24,8分)已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90

°,連接AE、BD交于點O.AE與DC交于點M,BD與AC交于點N.(1)如圖1,求證:AE=BD;(2)如圖2,若AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形.

圖1

圖2解析(1)證明:∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.(2)△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.15.(2016寧夏,21,6分)在等邊△ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,若CD=2,過點D作DE∥AB,過

點E作EF⊥DE,交BC的延長線于點F.求EF的長.

解析∵△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∵DE∥AB,∴∠EDF=∠B=60°,∠DEC=∠A=60°,∴△CDE為等邊三角形,∴DE=CD=2.

(4分)∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,在Rt△DEF中,EF=DE·tan60°=2

.

(6分)16.(2015北京,20,5分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BE⊥AC于點E.求證:∠CBE=∠BAD.

證明∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∵BE⊥AC,∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD.17.(2014浙江杭州,18,8分)在△ABC中,AB=AC,點E,F分別在AB,AC上,AE=AF,BF與CE相交于點

P.求證:PB=PC,并直接寫出圖中其他相等的線段.

解析在△AFB和△AEC中,AF=AE,∠A為公共角,AB=AC,所以△AFB≌△AEC,所以∠ABF=∠ACE.因為AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠PBC=∠PCB,所以PB=PC.其余相等的線段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.18.(2014浙江溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過

點E作EF⊥DE,交BC的延長線于點F.(1)求∠F的度數(shù);(2)若CD=2,求DF的長.

解析(1)∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等邊三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.19.(2015重慶,25,12分)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.點E是∠BAC角平分線上一

點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DH⊥AC,

垂足為H,連接EF,HF.(1)如圖1,若點H是AC的中點,AC=2

,求AB,BD的長;(2)如圖1,求證:HF=EF;(3)如圖2,連接CF,CE.猜想:△CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由.圖1

圖2解析(1)∵點H是AC的中點,AC=2

,∴AH=

AC=

.

(1分)∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4

.

(2分)∵DA⊥AB,DH⊥AC,∴∠DAB=∠DHA=90°.∴∠DAH=30°,∴AD=2.

(3分)在Rt△ADB中,∵∠DAB=90°,∴BD2=AD2+AB2.∴BD=

=2

.

(4分)(2)證明:連接AF,如圖.∵F是BD的中點,∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD.

(5分)∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°.∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,∴DH=

AD.∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=

∠BAC=30°.∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.∴AE=

AD,∴AE=DH.

(6分)∵∠FDA=∠FAD,∠HDA=∠EAD=60°,∴∠FDA-∠HDA=∠FAD-∠EAD,∴∠FDH=∠FAE.

(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS).∴FH=FE.

(8分)(3)△CEF是等邊三角形.

(9分)理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.

∵F是BD的中點,∴FG∥DA,FG=

DA.∴∠FGA=180°-∠DAG=90°,又∵AE=

AD,∴AE=FG.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點G為AB的中點,∴CG=AG.又∵∠CAB=60°,∴△GAC為等邊三角形.

(10分)∴AC=CG,∠ACG=∠AGC=60°.∴∠FGC=30°,∴∠FGC=∠EAC.∴△FGC≌△EAC(SAS).

(11分)∴CF=CE,∠ACE=∠GCF.∵∠ECF=∠ECG+∠GCF=∠ECG+∠ACE=∠ACG=60°,∴△CEF是等邊三角形.

(12分)考點二直角三角形1.(2015北京,6,3分)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點M與點C被湖隔開,若測得AM的長

為1.2km,則M,C兩點間的距離為

(

)

A.0.5km

B.0.6kmC.0.9km

D.1.2km答案

D∵AC⊥BC,M是AB的中點,∴MC=

AB=AM=1.2km.故選D.2.(2016黑龍江哈爾濱,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,點P為邊BC的三等

分點,連接AP,則AP的長為

.答案

或

解析當(dāng)CP=1時,根據(jù)勾股定理得AP=

=

;當(dāng)CP=2時,根據(jù)勾股定理得AP=

=

=

,故AP的長為

或

.3.(2015山東聊城,15,3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則

點D到AB的距離是

.

答案

解析∵∠C=90°,∠A=30°,AB=6,∴∠ABC=60°,BC=3,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=

∠ABC=30°,點D到AB的距離等于DC,在Rt△BDC中,DC=tan∠DBC×BC=

×3=

,∴點D到AB的距離等于

.4.(2015江西南昌,14,3分)如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個動點,∠

AOC=60°,則當(dāng)△PAB為直角三角形時,AP的長為

.

答案2或2

或2

解析由題意知,滿足條件的點P有三個位置.如圖①,∠APB=90°,因為OA=OB=2,所以O(shè)P=OA=

2,又因為∠AOC=60°,所以△POA為等邊三角形,所以AP=2.如圖②,∠APB=90°,因為OA=OB=2,所以O(shè)P=OA=OB=2,又∠AOC=∠BOP=60°,所以△OBP為

等邊三角形,所以∠OBP=60°,所以∠OAP=30°,所以AP=AB·cos∠OAP=4×

=2

.如圖③,∠ABP=90°,因為∠BOP=∠AOC=60°,所以BP=OB·tan60°=2

.在Rt△ABP中,AP=

=

=

=2

.綜上所述,AP的長為2或2

或2

.評析

本題是以等腰三角形中的動點為背景的分類討論型問題,考查了含特殊角的直角三角

形的邊角關(guān)系、勾股定理等知識,本題易漏掉某種情況,屬易錯題.5.(2014湖北武漢,16,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,則

BD的長為

.

答案

解析作AD'⊥AD,且使AD'=AD,連接CD',DD',如圖.由已知條件可得∠BAC+∠CAD=∠DAD'+∠CAD,即∠BAD=∠CAD'.在△BAD與△CAD'中,

∴△BAD≌△CAD'(SAS),∴BD=CD'.又∠DAD'=90°,由勾股定理得DD'=?=

=4

,易知∠D'DA+∠ADC=90°,由勾股定理得CD'=?=

=

,∴BD=CD'=

.

評析

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),屬難題.6.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連

接BM,MN,BN.(1)求證:BM=MN;(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的長.

解析(1)證明:在△ABC中,∠ABC=90°,M為AC的中點,∴BM=

AC.∵N為CD的中點,∴MN=

AD.∵AC=AD,∴BM=MN.(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=30°.由BM=AM,可得∠BMC=2∠BAC=60°.由MN∥AD,可得∠CMN=∠CAD=30°.∴∠BMN=∠BMC+∠CMN=90°.∵AC=AD=2,∴BM=MN=1.在Rt△BMN中,BN=

=

.考點一等腰三角形三年模擬A組

2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組1.(2018百色一模,2)已知一個等腰三角形的頂角是60°,則這個三角形的底角大小是

(

)A.120°

B.60°

C.40°

D.30°答案

B根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知等腰三角形兩底角相等,故底角大小為60°,選B.2.(2018貴港覃塘一模,10)如圖,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,若AB=4,AD=2,則△AED的

周長是

(

)

A.6

B.7

C.8

D.10答案

A∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠EDB=∠

EBD,∴BE=DE,∴C△ADE=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6,故選A.思路分析

根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出△BDE為等腰三角形,然后將△ADE

的周長轉(zhuǎn)化為AB+AD即可得出答案.評析

本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型.解答這個問題的

關(guān)鍵就是得出△BDE為等腰三角形.3.(2016桂林三模,8)若一個等腰三角形的兩邊長分別是2和5,則它的周長為(

)A.12

B.9

C.12或9

D.9或7答案

A∵一個等腰三角形的兩邊長分別是2和5,∴當(dāng)腰長為2時,2+2<5,不成立;當(dāng)腰長為5

時,5+2>5,符合要求.則它的周長為5+5+2=12.故選A.4.(2016貴港二模,9)如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,則∠ABD=

(

)

A.36°

B.54°

C.18°

D.64°答案

B∵AB=AC,∠ABC=72°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=36°.∵

BD⊥AC,∴∠ABD=90°-36°=54°.故選B.5.(2018桂林二模,15)已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4,則該等腰三角形的周長是

.答案10解析設(shè)第三邊長為a,則a=2或4,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知4-2<a<4+2,∴2<a<6,∴a=4,∴周長為2+4+4=10.6.(2016玉林博白一模,16)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,若AB=5,CD=3,則△ABC的周

長是

.

答案16解析∵在△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于點D,∴BD=CD,∵AB=5,CD=3,∴△ABC的周長=5+3+3+5=16.考點二直角三角形1.(2018桂林三模,9)如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,分別以點A,點B為圓心,大于

AB長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN交AB于點O,連接CO,則CO的長是

(

)

A.1.5

B.2

C.2.4

D.2.5答案

D∵AB=5,AC=4,BC=3,∴AB2=