多元函數微分學2

以上公式中的導數稱為全導數.6.復合函數的求導法則（鏈式法則）鏈式法則如圖示解解例3.設f，g為連續(xù)可微函數求解設解令記同理有

練習設其中f具有連續(xù)偏導數，求解解2.設f具有連續(xù)偏導數，求7.隱函數的偏導數隱函數的求導公式（1）、一個方程,一個自變量的情形解法（1）公式令則法（2）兩邊求導法則（2）、一個方程,兩個自變量解令整理得解切平面的法向量設曲面方程為切平面方程為8.曲面的切平面與法線法線方程為特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因為是曲面上的切點，所求切點為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數取得極值的點稱為極值點.9.二元函數無條件極值(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函數取得極值的條件注：1）極值點處的切平面平行于xoy平面；

2）使一階偏導數同時為零的點，稱為函數的駐點.駐點極值點如何判定駐點是否為極值點？注意：求最值的一般方法：將函數在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.3、多元函數的最值例1（03四01）某廠生產某產品甲和乙，出售的單價分別為10元和9元，生產甲產品x件與生產乙產品y件的總費用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元，問兩種產品的產量各多少件時能夠取得最大利潤？解：利潤=總售價-總費用L(x,y)=(10x+9y)-(400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2))唯一駐點x=120,y=80第三步，比較以上兩步所得各函數值，最大者為M，最小者為m．故M=25，m=9．例2:求函數z=f(x,y)=x2+4y2+9在區(qū)域D：x2+y2≤4上的最大值M和最小值m.解:第一步，求f在域內可能極值點函數值:

fx(x,y)=2x=0，fy(x,y)=8y=0

駐點(0,0),f(0,0)=9.第二步，求f在邊界上的可能最值點．在邊界x2+y2=4上，z=3y2+13，—2≤y≤2，

z’=0=>y=0(0,0),(0,-2),(0,2)例3設為其極值點，求

解：實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買張磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為．設每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實質：求在條件下的極值點．10、條件極值拉格朗日乘數法條件極值：對自變量有附加條件的極值．（01四01）某工廠生產某產品需兩種原料A、B，產品的產量z與所需A原料數x及B的原料數y的關系式為z=x2+8xy+7y2,已知A原料的單價為1萬元/噸，B的單價為2萬元/噸，現有100萬元，如何購置原料，才能使該產品的產量最大？法一（化條件極值為無條件極值）將x+2y=100代入z=x2+8xy+7y2

Z=1002+400y-5y2Z’=0=>y=40唯一駐點購置x=20,y=40原料，才能使該產品的產量最大（01四01）某工廠生產某產品需兩種原料A、B，產品的產量z與所需A原料數x及B的原料數y的關系式為z=x2+8xy+7y2,已知A原料的單價為1萬元/噸，B的單價為2萬元/噸，現有100萬元，如何購置原料，才能使該產品的產量最大？法二（條件極值拉格朗日乘數法）

L=x2+8xy+7y2+λ(x+2y-100）x=20,y=40解則

2x=3y,y=2z解：(法一）設直角三角形的兩直角邊分別為x和y，則x2+y2=a2L=x+y+a=x++aL′=1-由L′=0得：x=y=∴當兩直角邊相等且等于時周長最大。例2.在斜邊之長為a的一切直角三角形中求有最大周長的直角三角形解：(法二）設直角三角形的兩直角邊分別為x和y，則x2+y2=a2L=x+y+a+λ（x2+y2-a2)∴當兩直角邊相等且等于時周長最大。例2.在斜邊之長為a的一切直角三角形中求有最大周長的直角三角形例3.證明點（x0,y0)到直線ax+by+c=0的（最短）距離為證明：設則問題就是在條件ax+by+c=0下求f(x,y)的最小值。構造函數例4解分析:得例6：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設他購買張磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數為U(x,y)=lnx+lny

．設每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實