3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像講義

PAGEPAGE10第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解指數(shù)函數(shù)的概念與意義,駕馭指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.能畫(huà)出詳細(xì)指數(shù)函數(shù)的圖像,并能依據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像說(shuō)明指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(重點(diǎn))1.通過(guò)指數(shù)函數(shù)概念的學(xué)習(xí),培育數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.借助指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的學(xué)習(xí),提升直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……,依此類推.問(wèn)題1:1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂2次得到多少個(gè)細(xì)胞?分裂x次得到多少個(gè)細(xì)胞?答案22=4個(gè),2x個(gè).問(wèn)題2:分裂多少次可得到16個(gè)呢?如何求解?答案設(shè)分裂y次,由2y=16,得2y=24,解得y=4.1.指數(shù)函數(shù)的定義一般地,函數(shù)①y=ax稱為指數(shù)函數(shù),其中a為②常數(shù),a>0且a≠1.思索:指數(shù)函數(shù)中為什么規(guī)定a>0且a≠1?提示①假如a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax恒等于0,沒(méi)有探討的必要;當(dāng)x≤0時(shí),ax無(wú)意義;②假如a<0,例如f(x)=(-4)x,那么x=12,14,…時(shí),該函數(shù)無(wú)意義;③假如a=1,那么y=1x是一個(gè)常量,沒(méi)有探討為了避開(kāi)上述各種狀況的出現(xiàn),所以規(guī)定a>0且a≠1.2.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖像和性質(zhì)a>10<a<1圖像性質(zhì)定義域R值域(0,+∞)過(guò)定點(diǎn)③(0,1)函數(shù)值的改變當(dāng)x>0時(shí),④y>1;當(dāng)x<0時(shí),⑤0<y<1當(dāng)x>0時(shí),⑥0<y<1;當(dāng)x<0時(shí),⑦y>1單調(diào)性在R上是⑧增函數(shù)在R上是⑨減函數(shù)探究一指數(shù)函數(shù)的概念例1(易錯(cuò)題)函數(shù)y=(a-2)2ax是指數(shù)函數(shù),則()A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1易錯(cuò)辨析:忽視指數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)、系數(shù)的要求致誤.要特殊留意底數(shù)大于0且不等于1這一隱含條件.答案C解析由指數(shù)函數(shù)的定義知(a解得a=3.易錯(cuò)點(diǎn)撥推斷函數(shù)是指數(shù)函數(shù)時(shí)需抓住四點(diǎn)(1)底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的自變量必需位于指數(shù)的位置上.(3)ax的系數(shù)必需為1.(4)等號(hào)右邊不是多項(xiàng)式,如y=ax+1(a>0且a≠1)不是指數(shù)函數(shù).1.(1)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(2)=9,則f(x)=.

(2)已知函數(shù)f(x)=(2a-1)x是指數(shù)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(1)3x(2)12,解析(1)由題意設(shè)f(x)=ax(a>0且a≠1),則f(2)=a2=9,所以a=3,所以f(x)=3x.(2)由題意可知2a-1>0,2探究二指數(shù)函數(shù)的圖像例2(1)①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx的函數(shù)圖像如圖所示,則a,b,c,d與0和1的關(guān)系是()A.0<a<b<1<c<d B.0<b<a<1<d<cC.0<b<a<1<c<d D.1<a<b<c<d(2)已知函數(shù)f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)滿意f(1)>1,若函數(shù)g(x)=f(x+1)-4的圖像不過(guò)其次象限,則a的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(2,5]C.(1,2) D.(1,5]答案(1)B(2)B解析(1)由指數(shù)函數(shù)的圖像可知,當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí),函數(shù)為增函數(shù),并且底數(shù)越大圖像上升得越快,因此得到c>d>1;當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí),函數(shù)為減函數(shù),并且底數(shù)越大圖像下降得越慢,因此得到1>a>b>0,所以0<b<a<1<d<c.故選B.(2)因?yàn)閒(1)>1,所以a-1>1,即a>2,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x+1)-4的圖像不過(guò)其次象限,所以g(0)=a1-1-4≤0,所以a≤5,所以a的取值范圍是(2,5].思維突破處理指數(shù)函數(shù)圖像問(wèn)題的策略(1)抓住特殊點(diǎn):指數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)(0,1).(2)巧用圖像變換:函數(shù)圖像的平移變換(左右平移、上下平移).2.(1)(多選)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=ax,y=x+a的圖像,其中可能正確的是()(2)函數(shù)y=a-|x|(0<a<1)的圖像是()答案(1)CD(2)A解析(1)函數(shù)y=x+a單調(diào)遞增,且a為直線y=x+a在y軸上的截距,又當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax單調(diào)遞增,當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=ax單調(diào)遞減.故選項(xiàng)C、D中的圖像符合條件,故選CD.(2)y=a-|x|=1a|x探究三求指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合所得函數(shù)的定義域、值域例3求函數(shù)y=0.31解析由x-1≠0得x≠1,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}.由1x思維突破指數(shù)函數(shù)y=ax與y=f(x)的復(fù)合方式主要是y=af(x)和y=f(ax).函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)與函數(shù)f(x)的定義域相同,求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí),要達(dá)到指數(shù)函數(shù)本身的要求,并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.3.(1)(變條件)函數(shù)改為y=3x(2)(變條件)函數(shù)改為y=4x-2x+1,求此函數(shù)的定義域、值域.解析(1)∵對(duì)一切x∈R,3x≠-1,∴函數(shù)的定義域?yàn)镽.y=1+3x-11+3x∴0<11+3x∴0<1-11+(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.y=(2x)2-2x+1=2x-1∵2x>0,∴2x=12,即x=-1時(shí),y取得最小值,最小值為34,∴函數(shù)的值域?yàn)?.下列函數(shù)肯定是指數(shù)函數(shù)的是()A.y=2x+1 B.y=x3C.y=3·2x D.y=3-x答案D2.指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx的圖像如圖所示,則()A.a<0,b<0 B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1答案C函數(shù)y=ax的圖像是下降的,所以0<a<1;函數(shù)y=bx的圖像是上升的,所以b>1.3.a取隨意正實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax+1-2的圖像都恒過(guò)定點(diǎn)()A.(-1,-1) B.(-1,0)C.(0,-1) D.(-1,-3)答案A4.假如函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,9),那么實(shí)數(shù)a=.

答案3解析指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,9),∴9=a2,解得a=3.5.已知函數(shù)y=13x在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,則m+n的值為答案12解析因?yàn)閥=13x所以m=13-1所以m+n=12.直觀想象——數(shù)形結(jié)合思路的理解與應(yīng)用若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),求b的取值范圍.素養(yǎng)探究:指數(shù)函數(shù)問(wèn)題比較抽象,解題時(shí)盡量先借助函數(shù)圖像將問(wèn)題直觀化、形象化、明朗化,然后利用數(shù)形結(jié)合的思想使問(wèn)題敏捷直觀,過(guò)程中體現(xiàn)直觀想象核心素養(yǎng).解析作出曲線|y|=2x+1與直線y=b,如圖所示,由圖像可得,若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿意的條件是b∈[-1,1].直線y=2a與函數(shù)y=|2x-1|的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析y=|2x-1|=1-函數(shù)圖像如下:由圖可知,要使直線y=2a與函數(shù)y=|2x-1|的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn),需0<2a<1,即0<a<12故實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a<12——————————————課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練—————————————1.函數(shù)y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的圖像可能是()答案D函數(shù)y=ax-a-1的圖像是由函數(shù)y=ax的圖像向下平移1a個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,A項(xiàng)明顯錯(cuò)誤;當(dāng)a>1時(shí),0<1a當(dāng)0<a<1時(shí),1a2.函數(shù)y=axA.a>0 B.a<1 C.0<a<1 D.a≠0答案C由ax-1≥0,得ax≥a0.∵函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0],∴a的取值范圍是0<a<1.3.一批設(shè)備價(jià)值a萬(wàn)元,由于運(yùn)用磨損,每年比上一年的價(jià)值降低b%,則n年后這批設(shè)備的價(jià)值為()A.na(1-b%)萬(wàn)元 B.a(1-nb%)萬(wàn)元C.a[1-(b%)n]萬(wàn)元 D.a(1-b%)n萬(wàn)元答案D一年后這批設(shè)備的價(jià)值為a-ab%=a(1-b%)萬(wàn)元,兩年后這批設(shè)備的價(jià)值為a(1-b%)-a(1-b%)b%=a(1-b%)2萬(wàn)元,……,n年后這批設(shè)備的價(jià)值為a(1-b%)n萬(wàn)元,故選D.4.若函數(shù)f(x)=a2x2A.{x|x>1} B.{x|x<1}C.{x|x>0} D.{x|x<0}答案A∵y=2x2-3x+1的圖像的對(duì)稱軸是直線x=34,且開(kāi)口向上,∴函數(shù)f(x)在(1,3)上遞增,依據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,知a>1,又ax-1>1=a0,∴x-1>0,解得x>1,故選A.5.(原創(chuàng)題)已知函數(shù)f(x)=3x-12,x≥1答案15解析由題意得,f-12=4-(-12)6.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿意f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,則a=,f(2)=.

答案2;154解析∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②①+②,得g(x)=2;①-②,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=22-2-2=1547.已知x∈[-3,2],求f(x)=14x-解析f(x)=14x-12x+1=4-x-2-x+1=2-2x-2-x+1=2-x-122+34,∵x∈[-3,2],∴148.(多選)若函數(shù)f(x)=ax+b-1(a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,則肯定有()A.a>1 B.0<a<1C.b>0 D.b<0答案AD∵函數(shù)f(x)=ax+b-1(a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限,∴a>9.定義一種運(yùn)算:g☉h=g(g≥答案Bf(x)=2x(x≥0故選B.10.函數(shù)f(x)=ax-1-2(a>0且x≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn),f(x)的值域?yàn)?

答案(1,-1);(-2,+∞)解析由x-1=0得x=1,f(1)=a0-2=1-2=-1,即函數(shù)f(x)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)(1,-1).∵ax-1>0,∴ax-1-2>-2,∴f(x)的值域?yàn)?-2,+∞).11.方程|2x-1|=a有唯一實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是.

答案a≥1或a=0解析作出函數(shù)y=|2x-1|的圖像,如圖,由題意知,直線y=a與函數(shù)y=|2x-1|的圖像的交點(diǎn)只有一個(gè),∴a≥1或a=0.12.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?1,2),則函數(shù)y=f(2x)的定義域?yàn)?

答案(0,1)解析由函數(shù)的定義,得1<2x<2?0<x<1,所以y=f(2x)的定義域?yàn)?0,1).13.設(shè)f(x)=3x,g(x)=13(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x),g(x)的圖像;(2)計(jì)算f(1)與g(-1),f(π)與g(-π),f(m)與g(-m)的值,從中你能得到什么結(jié)論?解析(1)函數(shù)f(x),g(x)的圖像如圖所示:(2)f(1)=31=3,g(-1)=13f(π)=3π,g(-π)=13-πf(m)=3m,g(-m)=13-m從以上計(jì)算的結(jié)果看,當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的自變量的取值互為相反數(shù)時(shí),其函數(shù)值相等,即當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)互為倒數(shù)時(shí),兩函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.14.已知函數(shù)f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定義域?yàn)閇-1,1].(1)求