2024-2025學(xué)年人教版九年級(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（六）

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年人教版九年級(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（六）一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?老河口市期中）如圖，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△ADE，若∠BAC＝20°，則∠CAD的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°2．（2024秋?淮南月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是AC的中點，N是A′B′的中點，連接MN，若AC＝6，∠ABC＝30°，則線段MN的最小值為（）A．1 B．3 C．3 D．23．（2024秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B的坐標(biāo)為（8，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點C的坐標(biāo)是（）A．（4，8） B．（8，4） C．(4，43)4．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點B′恰好在邊BC上．若∠AB′C′＝66°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．33° B．48° C．58° D．66°5．（2024秋?南崗區(qū)校級月考）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，M為BC邊上的一點，BM＝2CM，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α角后所得到的△AB′C′的邊AB′經(jīng)過點M，則α可以是（）A．15° B．30° C．45° D．60°二．填空題（共5小題）6．（2024秋?淮南月考）如圖，A點的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點的坐標(biāo)為（3，3），C點的坐標(biāo)為（5，3），D點的坐標(biāo)為（3，﹣1），線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個角度可以得到另一條線段．（1）旋轉(zhuǎn)中心是；（2）旋轉(zhuǎn)角為°．7．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，AD平分∠BAC交BC邊于點D．將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度使AB邊落在AC邊上，得到△AFE，連接CE若AC=1+3．則CE的長為8．（2024?光山縣三模）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝10，將線段CD繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點D的對應(yīng)點為點P，連接AP，當(dāng)點P在?ABCD的邊上時，恰好AB＝AP，則點A到直線BP的距離為．9．（2024秋?廣安區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（1，0），Rt△ABC的直角邊BC與x軸重合，AC∥y軸，將Rt△ABC依次繞著頂點B，A，C的順序，沿著順時針方向在x軸上作無滑動的旋轉(zhuǎn)，頂點B，A，C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點依次為點B1，A1，C1，??，按照這種方式依次旋轉(zhuǎn)下去，若BC＝3，AC＝4，則點B2025的坐標(biāo)是．10．（2024秋?孝昌縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ABC把繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，連接AA′，則AA′的長是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?吉林期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DEC，若AC＝4，CE＝7．求BD的長．12．（2024秋?淮南月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△A′B′C由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A′與點A、點B′與點B是對應(yīng)點，連接AB′，當(dāng)A，B′，A′在同一條直線上，求AA′的長．13．（2024秋?靜海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝63°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度數(shù)．14．（2023秋?東莞市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，將AC邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)40°，得到線段CD，連接BD，求∠CBD的度數(shù)．15．（2024秋?越秀區(qū)校級月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBE，求∠DCE的度數(shù)．

2024-2025學(xué)年人教版九年級(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（六）參考答案與試題解析題號12345答案CBCBB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?老河口市期中）如圖，將△ABC繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△ADE，若∠BAC＝20°，則∠CAD的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．30° D．20°【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】C【分析】先找到旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC進(jìn)行計算即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝50°，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°．故選：C．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．2．（2024秋?淮南月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是AC的中點，N是A′B′的中點，連接MN，若AC＝6，∠ABC＝30°，則線段MN的最小值為（）A．1 B．3 C．3 D．2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】連接CN．解直角三角形求出CN，CM，再根據(jù)MN≥CN﹣CM即可解決問題．【解答】解：如圖，連接CN．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝12，由勾股定理得：BC=∵M(jìn)是AC的中點，N是A′B′的中點，∴CM=MA=12AC=3∵將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，∴∠A′CB′＝∠ACB＝90°，A′B′＝AB＝12，∴CN=∵M(jìn)N≥CN﹣CM，∴MN≥6﹣3，即MN≥3，∴MN的最小值為3，故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．3．（2024秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B的坐標(biāo)為（8，0），將△ABO繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點C的坐標(biāo)是（）A．（4，8） B．（8，4） C．(4，43)【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】C【分析】作CM⊥x軸于M，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出BC＝OB＝8，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BM，利用勾股定理列式求出CM，然后求出點C的橫坐標(biāo)，再寫出點C的坐標(biāo)即可．【解答】解：作CM⊥x軸于M，由題意可得：BC＝OB＝8，∵∠OBC＝60°，∠MCB＝30°，∴BM=∴OM＝OB﹣BM＝8﹣4＝4，∴C(4故選：C．【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，勾股定理，直角三角形角30°所對的直角邊等于斜邊的一半，求出OM，CM的長度是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，點B′恰好在邊BC上．若∠AB′C′＝66°，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）A．33° B．48° C．58° D．66°【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】旋轉(zhuǎn)得AB＝AB′，∠ABB′＝∠AB′C′，根據(jù)等邊對等角，得出等腰三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB＝AB′，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠AB′B＝∠ABB′，∵∠AB′C′＝66°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝∠AB′C′＝66°，∴∠BAB′＝180°﹣66°﹣66°＝48°，故選：B．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是推出等腰三角形．5．（2024秋?南崗區(qū)校級月考）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，M為BC邊上的一點，BM＝2CM，將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)α角后所得到的△AB′C′的邊AB′經(jīng)過點M，則α可以是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀．【答案】B【分析】設(shè)AC＝x則AB=2x，BC=3x，結(jié)合BM＝2CM得到CM=33x，根據(jù)【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，M為BC邊上的一點，BM＝2CM，設(shè)AC＝x，∴AB=2x，BC=∴CM=∴tan∠CAM=CM∴∠CAM＝30°，∴∠BAM＝30°，故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握正切函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?淮南月考）如圖，A點的坐標(biāo)為（﹣1，5），B點的坐標(biāo)為（3，3），C點的坐標(biāo)為（5，3），D點的坐標(biāo)為（3，﹣1），線段AB與線段CD存在一種特殊關(guān)系，即其中一條線段繞著某點旋轉(zhuǎn)一個角度可以得到另一條線段．（1）旋轉(zhuǎn)中心是（1，1）或（4，4）；（2）旋轉(zhuǎn)角為90°．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀．【答案】（1）（1，1）或（4，4）；（2）90．【分析】（1）當(dāng)點A的對應(yīng)點為點C時；當(dāng)點A的對應(yīng)點為點D時，根據(jù)網(wǎng)格的特點得出旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角，即可求解；（2）由（1）直接寫出旋轉(zhuǎn)角即可．【解答】解：（1）當(dāng)點A的對應(yīng)點為點C時，連接AC、BD，分別作線段AC、BD的垂直平分線交于點E，如圖1，∵A（﹣1，5），B（3，3），∴E點的坐標(biāo)為（1，1）；根據(jù)網(wǎng)格可得∠BED＝90°；當(dāng)點A的對應(yīng)點為點D時，連接AD、BC，分別作線段AD、BC的垂直平分線交于點M，如圖2，∵A（﹣1，5），B（3，3），∴M點的坐標(biāo)為（4，4）．根據(jù)網(wǎng)格可得∠BMC＝90°綜上所述：這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（1，1）或（4，4），旋轉(zhuǎn)角為90°，故答案為：（1，1）或（4，4）；（2）由（1）知，旋轉(zhuǎn)角為90°，故答案為：90．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．7．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，AD平分∠BAC交BC邊于點D．將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度使AB邊落在AC邊上，得到△AFE，連接CE若AC=1+3．則CE的長為2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】2．【分析】根據(jù)題意得出∠ACB＝45°，再由角平分線確定∠BAD＝∠CAD＝30°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)得出∠ACD＝∠ACE＝45°，過點E作EH⊥AC，設(shè)CH＝EH＝x，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理結(jié)合圖形求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度使AB邊落在AC邊上，得到△AFE，∴∠EAC＝∠CAD＝30°，AE＝AD，∵AC＝AC，在△CAD和△CAE中，AD=∴△CAD≌△CAE（SAS），∴∠ACD＝∠ACE＝45°，過點E作EH⊥AC，如圖：∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∴CH＝EH，設(shè)CH＝EH＝x，∴AE＝2EH＝2x，∴AH=∴AC=∵AC=1+∴x＝1，∴CH＝EH＝1，∴CE=故答案為：2．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．8．（2024?光山縣三模）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝10，將線段CD繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點D的對應(yīng)點為點P，連接AP，當(dāng)點P在?ABCD的邊上時，恰好AB＝AP，則點A到直線BP的距離為52或53【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】52或5【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB＝CD＝5，AD＝BC＝10，AB∥CD，然后分兩種情況：當(dāng)點P落在AD邊上時，過點A作AE⊥BP，垂足為E；當(dāng)點P落在BC邊上時，過點A作AF⊥BP，垂足為F；分別進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝10，AB∥CD，分兩種情況：如圖：當(dāng)點P落在AD邊上時，過點A作AE⊥BP，垂足為E，由旋轉(zhuǎn)得：CP＝CD＝5，∵AB＝AP＝5，AD＝10，∴DP＝AD﹣AP＝10﹣5＝5，∴CD＝CP＝DP＝5，∴△CDP是等邊三角形，∴∠D＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAP＝180°﹣∠D＝120°，∵AB＝AP，∴∠ABP＝∠APB=12（180°﹣120°）＝在Rt△AEB中，AE=12AB∴點A到直線BP的距離為52如圖：當(dāng)點P落在BC邊上時，過點A作AF⊥BP，垂足為F，由旋轉(zhuǎn)得：CP＝CD＝5，∵BC＝10，∴BP＝BC﹣CP＝10﹣5＝5，∵AB＝AP＝5，∴AB＝AP＝BP＝5，∴△ABP是等邊三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABF中，AF＝AB?sin60°＝5×3∴點A到直線BP的距離為53綜上所述：點A到直線BP的距離為52或5故答案為：52或5【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?廣安區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（1，0），Rt△ABC的直角邊BC與x軸重合，AC∥y軸，將Rt△ABC依次繞著頂點B，A，C的順序，沿著順時針方向在x軸上作無滑動的旋轉(zhuǎn)，頂點B，A，C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點依次為點B1，A1，C1，??，按照這種方式依次旋轉(zhuǎn)下去，若BC＝3，AC＝4，則點B2025的坐標(biāo)是（12157，3）．【考點】坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；規(guī)律型：點的坐標(biāo)；勾股定理．【專題】平面直角坐標(biāo)系；運算能力．【答案】（12157，3）．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB＝5，可得CC2＝3+5+4＝12，由旋轉(zhuǎn)得B1，B3，B5??B2n﹣1在x軸上方，縱坐標(biāo)為3；B2，B4，B6??B2n在x軸上，縱坐標(biāo)為0；可知B2025在x軸上方，縱坐標(biāo)為3；橫坐標(biāo)為1013×12+1＝12157即可得出B2025的坐標(biāo)．【解答】解：∵BC＝3，AC＝4，∴AB=AC由旋轉(zhuǎn)得CC2＝12，∵B1，B3，B5??B2n﹣1在x軸上方，縱坐標(biāo)為3；B2，B4，B6??B2n在x軸上，縱坐標(biāo)為0；∴B2025的橫坐標(biāo)為：[（2025+1）÷2]×12+1＝12157，縱坐標(biāo)為3，∴點B2025的坐標(biāo)（12157，3），故答案為：（12157，3）．【點評】本題主要考查點的坐標(biāo)與圖形變換，掌握點的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?孝昌縣期中）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，△ABC把繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′，連接AA′，則AA′的長是52．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】52．【分析】先根據(jù)勾股定理計算出AB＝5，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，然后利用勾股定理可計算出AA'的長．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB=32∵△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'BC'，∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，∴AA′=52+故答案為：52．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?吉林期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DEC，若AC＝4，CE＝7．求BD的長．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力；推理能力．【答案】BD的長為3．【分析】由旋轉(zhuǎn)得∠ACD＝90°，DC＝AC＝4，CE＝CB＝7，而∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠ACB，則點D在BC上，求得BD＝CB﹣DC＝3．【解答】解：∵將Rt△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△DEC，∴∠ACD＝90°，DC＝AC＝4，CE＝CB＝7，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB，∴點D在BC上，∴BD＝CB﹣DC＝7﹣4＝3，∴BD的長為3．【點評】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解旋轉(zhuǎn)角的概念并且證明點D在BC上是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?淮南月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△A′B′C由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點A′與點A、點B′與點B是對應(yīng)點，連接AB′，當(dāng)A，B′，A′在同一條直線上，求AA′的長．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】3．【分析】由直角三角形兩銳角互余可得∠BAC＝30°，進(jìn)而得AB＝2BC＝2×1＝2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A′B′＝AB＝2，B′C＝BC＝1，A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，即可得∠CAA′＝∠A′＝30°，利用三角形外角性質(zhì)可得∠B′CA＝30°，即得∠B′CA＝∠CAA′，得到B′A＝B′C＝1，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2，∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：A′B′＝AB＝2，B′C＝BC＝1，A′C＝AC，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，∴△CAA′為等腰三角形，∠CAA′＝∠A′＝30°，∵A、B′、A′在同一條直線上，∴∠A′B′C＝∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA＝60°﹣30°＝30°，∴∠B′CA＝∠CAA′，∴B′A＝B′C＝1，∴AA′＝AB′+A′B′＝2+1＝3，故AA′的長為3．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?靜海區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．（1）求證：EF＝BC；（2）若∠ABC＝63°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度數(shù)．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）79°．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出EF＝BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，那么∠FAG＝54°．由△ABC≌△AEF，得出∠AFE＝∠ACB＝25°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝79°．【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，AB=∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝63°，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，∴∠FAG＝∠BAE＝54°．∵△ABC≌△AEF，∴∠AFE＝∠ACB＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝54°+25°＝79°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)，證明△ABC≌△AEF是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋?東莞市期末）如圖，△ABC為等邊三角形，將AC邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)40°，得到線段CD，連接BD，求∠CBD的度數(shù)．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運算能力．【答案】40°．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，由等邊三角形的性質(zhì)可求∠CBD＝40°，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵將AC邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)40°，∴∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，∴∠BCD＝100°，∴∠CBD＝∠D＝40°．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?越秀區(qū)校級月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點D在AC上，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBE，求∠DCE的度數(shù)．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀；推理能力．【答案】90°．【分析】根據(jù)題意，∠A＝∠BCA＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB與CB重合，△ABD≌△CBE，∠A＝∠BCE＝45°，由∠DCE＝∠BCD+∠BCE即可求解．【解答】解：在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCA＝45°，點D在AC上，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△CBE，∴AB與CB重合，△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝45°+45°＝90°，∴∠DCE的度數(shù)為90°．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．規(guī)律型：點的坐標(biāo)1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐標(biāo)系和點坐標(biāo)的意義（2）探索各個象限的點和坐標(biāo)軸上的點其坐標(biāo)符號規(guī)律（3）探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點的坐標(biāo)變化規(guī)律．2．重點：探索各個象限的點和坐標(biāo)軸上的點其坐標(biāo)符號規(guī)律3．難點：探索關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中有關(guān)對稱，平移等變化的點的坐標(biāo)變化規(guī)律．2．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．全等三角形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等②全等三角形的周長相等，面積相等③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．4．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．5．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．6．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，