【優(yōu)化設(shè)計】2020-2021學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第二章2.1.1知能演練輕松闖關(guān)

1．依據(jù)給出的數(shù)塔猜想123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：選B.由數(shù)塔猜想應(yīng)是各位數(shù)字都是1的七位數(shù)，即1111111.2．由“若a＞b，則a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，則ac＞bc”接受的是()A．歸納推理 B．演繹推理C．類比推理 D．?dāng)?shù)學(xué)證明解析：選C.由加法類比乘法．3．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下面圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，則圖中a，b可能是下列哪個選項運(yùn)算的結(jié)果()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D解析：選B.由圖可知字母A，B，C，D與圖形的對應(yīng)關(guān)系如下：因此a、b所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果為圖形的搭配．其中a為B*D，b為A*C.選B.4．(2021·臨沂高二檢測)用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：依據(jù)上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：選C.從①②③可以看出，從圖②開頭每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2.5．(2022·高考江西卷)觀看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：選C.利用歸納推理，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開頭，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．6．(2021·湛江高二檢測)圖(1)所示的圖形有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則圖(2)所示的圖形有體積關(guān)系：eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝________.解析：由三棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh及相像比可知，eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)答案：eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)7．在如下數(shù)表中，已知每行、每列中的數(shù)都成等差數(shù)列，第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369……………那么位于表中的第n行第n＋1列的數(shù)是________．解析：觀看數(shù)表可知，第n行的第1個數(shù)為n，且第n行的數(shù)列的公差為n，所以位于第n行第n＋1列的數(shù)為n＋n2.答案：n＋n28．(2021·溫州高二檢測)下面使用類比推理，得出正確結(jié)論的是________．①“若a·3＝b·3，則a＝b”類比出“若a·0＝b·0，則a＝b”；②“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比出“(a·b)c＝ac·bc”；③“若(a＋b)c＝ac＋bc”類比出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”；④“(ab)n＝anbn”類比出“(a＋b)n＝an＋bn”．解析：①中，3與0兩個數(shù)的性質(zhì)不同，故類比中把3換成0，其結(jié)論不成立；②中，乘法滿足對加法的支配律，但乘法不滿足對乘法的支配律；③是正確的；④中，令n＝2明顯不成立．答案：③9．已知數(shù)列{an}的第1項a1＝1，且an＋1＝eq\f(an,1＋an)(n＝1,2,3，…)，試歸納出這個數(shù)列的通項公式．解：a2＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(\f(1,3),1＋\f(1,3))＝eq\f(1,4)，…通過觀看可得：數(shù)列的前四項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此歸納出an＝eq\f(1,n).10．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．解：性質(zhì)：若M，N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(直線PM，PN的斜率分別記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．證明：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n)，由于點(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2＝eq\f(b2,a2)·m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)·x2－b2，所以kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．1.如圖，一個粒子在第一象限及邊界運(yùn)動，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動到(0,1)，然后它接著按圖示在x軸，y軸的平行方始終回運(yùn)動，且每秒移動一個單位長度，則2014秒時，這個粒子所處的位置對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(44,10) B．(10,44)C．(11,44) D．(43,46)解析：選B.考查粒子運(yùn)動到關(guān)鍵點(diǎn)(1,1)用時2秒，運(yùn)動到點(diǎn)(2,2)用時6秒，運(yùn)動到點(diǎn)(3,3)用時12秒，運(yùn)動到點(diǎn)(4,4)用時20秒，…，歸納猜想粒子運(yùn)動到點(diǎn)(n，n)用時n(n＋1)秒．又當(dāng)n為奇數(shù)時，此后x秒粒子運(yùn)動到點(diǎn)(n，n－x)；當(dāng)n為偶數(shù)時，此后x秒粒子運(yùn)動到點(diǎn)(n－x，n)(1≤x≤n)．由于粒子運(yùn)動到點(diǎn)(44,44)用時44×45＝1980秒，所以2014秒時，這個粒子所處的位置對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(10,44)．2．設(shè)P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，eq\f(a,b)∈P(除數(shù)b≠0)，則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域，數(shù)集F＝{a＋beq\r(2)|a，b∈Q}也是數(shù)域．有下列命題：①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集Q?M，則數(shù)集M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個數(shù)域．其中正確的命題的序號是________．(把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上)解析：①錯.4,5是整數(shù)，但eq\f(4,5)＝0.8,0.8不是整數(shù)；②錯．設(shè)M由有理數(shù)集合Q和元素π組成，則1，π∈M，但是1＋π不屬于M；③正確．設(shè)a，b∈P，其中一個必定不等于零，設(shè)a≠0，則a－a＝0，所以0∈P，eq\f(a,a)＝1，所以1∈P.所以0－1＝－1，－1－1＝－2，－2－1＝－3，….全部負(fù)整數(shù)都屬于P，而負(fù)整數(shù)有無窮多個，所以③正確；④正確．把數(shù)域F＝{a＋beq\r(2)|a，b∈Q}中的eq\r(2)改為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，仍是數(shù)域，有無窮多個．故應(yīng)填③④.答案：③④3．在平面幾何中，爭辯正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值eq\f(\r(3),2)a.類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四周體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明．解：類比所得的真命題是：棱長為a的正四周體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和是定值eq\f(\r(6),3)a.證明：設(shè)M是正四周體PABC內(nèi)任一點(diǎn)，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四周體四個面的面積相等，故有：VPABC＝VMABC＋VMPAB＋VMPAC＋VMPBC＝eq\f(1,3)·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)．而S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，VPABC＝eq\f(\r(2),12)a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝eq\f(\r(6),3)a(定值)．4.如圖，設(shè)有雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上．(1)若△F1MF2＝90°，求△F1MF2的面積；(2)若∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面積又是多少？(3)觀看以上計算結(jié)果，你能看出隨∠F1MF2的變化，△F1MF2的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結(jié)論．解：(1)由雙曲線方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r(13)，設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2)．由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4，兩邊平方得req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1·r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9.(2)若∠F1MF2＝60°，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cos60°，|F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，∴r1r2＝36.求得S△F1MF2＝eq\f(1,2)r1r2sin60°＝9eq\r(3).同理可求得若∠F1MF2＝120°，S△F1MF2＝3eq\r(3).(3)由以上結(jié)果猜想，隨著∠F1MF2的增大，△F1MF2的面積將減小．證明如下：令∠F1MF2＝θ，則S△F1MF2＝eq\f(1,2)r