2021高考數(shù)學(xué)(文)一輪知能檢測：第10章-第6節(jié)-幾何概型

第六節(jié)幾何概型[全盤鞏固]1．如圖，EFGH是以O(shè)為圓心、半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示大事“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(A)＝()A.eq\f(4,π)B.eq\f(1,π)C．2D.eq\f(2,π)解析：選D豆子落在正方形EFGH內(nèi)是隨機(jī)的，故可以認(rèn)為豆子落在正方形EFGH內(nèi)任一點是等可能的，屬于幾何概型．由于圓的半徑為1，所以正方形EFGH的邊長是eq\r(2)，則正方形EFGH的面積是2，又圓的面積是π，所以P(A)＝eq\f(2,π).2.如圖，在矩形ABCD中，點E為邊CD的中點．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：選C不妨設(shè)矩形的長、寬分別為a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝eq\f(1,2)ab，由幾何概型的概率公式可知P＝eq\f(S△ABE,S矩形)＝eq\f(1,2).3．(2022·遼寧高考)在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)解析：選C設(shè)AC＝xcm，則CB＝(12－x)cm(0<x<12)，所以矩形面積為x(12－x)cm2，由x(12－x)<32，解得x>8或x<4，所以0<x<4或8<x<12.故所求概率為eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).4．(2022·金華模擬)在區(qū)間[－5,5]內(nèi)隨機(jī)地取出一個數(shù)a，則恰好使1是關(guān)于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一個解的概率為()A．0.3B．0.4C．0.6解析：選D由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故當(dāng)a∈[－5，－1)∪(2,5]時，1是關(guān)于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一個解．故所求概率為P＝eq\f(－1＋5＋5－2,5－－5)＝eq\f(7,10)＝0.7.5．(2022·長沙模擬)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))表示的平面區(qū)域為D，在D內(nèi)任取一點P(x，y)，若滿足2x＋y≤b的概率大于eq\f(1,4)，則實數(shù)b的取值范圍是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：選C區(qū)域D表示以點O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)為頂點的正方形，其面積S1＝1.依據(jù)題意，b>0，設(shè)正方形OABC位于直線2x＋y＝b下方部分面積為S2，由于直線2x＋y＝b在x軸，y軸上的截距分別為eq\f(b,2)，b，則當(dāng)0<b≤1時，S2＝eq\f(1,2)·eq\f(b2,2)＝eq\f(b2,4)≤eq\f(1,4).故題設(shè)，P＝eq\f(S2,S1)＝S2>eq\f(1,4)，則b>1.6．(2021·湖南高考)已知大事“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)地取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析：選D依題可知，E，F(xiàn)是CD上的四等分點，P只能在線段EF上且BF＝AB.不妨設(shè)CD＝AB＝a，BC＝b，則有b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,4)))2＝a2，即b2＝eq\f(7,16)a2，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(7),4).7．在區(qū)間[0,1]上任憑選擇兩個實數(shù)x，y，則使eq\r(x2＋y2)≤1成立的概率為________．解析：D為直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝1圍成的正方形區(qū)域，而d為由eq\r(x2＋y2)≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)圍成的單位圓在第一象限內(nèi)部分(四分之一個圓)，故所求概率為eq\f(Sd,SD)＝eq\f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)8．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是________．解析：要使S△PBC>eq\f(1,4)S△ABC，只需PB>eq\f(1,4)AB.故所求概率為P＝eq\f(\f(3,4)AB,AB)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．小張通過做玩耍的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于eq\f(1,2)，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于eq\f(1,4)，則去打籃球；否則，在家看書．則小張周末不在家看書的概率為________．解析：由于去看電影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打籃球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16)，所以小張周末不在家看書的概率為P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)10.如圖，在單位圓O的某始終徑上隨機(jī)地取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長不超過1的概率．解：弦長不超過1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q點在直徑AB上是隨機(jī)的，大事A＝{弦長超過1}．由幾何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).所以弦長不超過1的概率為1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).11．城市公交車的數(shù)量太多簡潔造成資源的鋪張，太少又難以滿足乘客需求，為此，某市公交公司在某站臺60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人，將他們的候車時間作為樣本分成5組，如下表所示(單位：min)：組別候車時間人數(shù)一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(1)求這15名乘客的平均候車時間；(2)估量這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步問卷調(diào)查，求抽到的2人恰好來自不同組的概率．解：(1)eq\f(1,15)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝eq\f(1,15)×157.5＝10.5，故這15名乘客的平均候車時間為10.5min.(2)由幾何概型的概率計算公式可得，候車時間少于10分鐘的概率為eq\f(2＋6,15)＝eq\f(8,15)，所以候車時間少于10分鐘的人數(shù)為60×eq\f(8,15)＝32.(3)將第三組乘客編號為a1，a2，a3，a4，第四組乘客編號為b1，b2.從6人中任選2人的全部可能狀況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15種，其中2人恰好來自不同組包含8種可能狀況，故所求概率為eq\f(8,15).12．(2022·濟(jì)南模擬)某幼兒園在“六·一兒童節(jié)”開展了一次親子活動，此次活動由寶寶和父母之一(后面以家長代稱)共同完成，幼兒園供應(yīng)了兩種玩耍方案：方案一：寶寶和家長同時各拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別是1,2,3,4,5,6)，寶寶所得點數(shù)記為x，家長所得點數(shù)記為y；方案二：寶寶和家長同時按下自己手中一個計算器的按鈕(此計算器只能產(chǎn)生區(qū)間[1,6]的隨機(jī)實數(shù))，寶寶的計算器產(chǎn)生的隨機(jī)實數(shù)記為m，家長的計算器產(chǎn)生的隨機(jī)實數(shù)記為n.(1)在方案一中，若x＋1＝2y，則嘉獎寶寶一朵小紅花，求拋擲一次后寶寶得到一朵小紅花的概率；(2)在方案二中，若m>2n，則嘉獎寶寶一本愛好讀物，求按下一次按鈕后寶寶得到一本愛好讀物的概率．解析：(1)由題意，寶寶和家長所得點數(shù)x，y全部取值所得基本大事總數(shù)為36.而滿足x＋1＝2y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3組．則拋擲一次后寶寶得小紅花的概率P1＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)由題意，m，n∈[1,6]，則(m，n)全部取值組成一個邊長為5的正方形，其面積為25.(m，n)滿足不等式m>2n，所占區(qū)域面積為eq\f(1,2)×4×2＝4.則按下一次按鈕后寶寶得愛好讀物一本的概率P2＝eq\f(4,25).[沖擊名校]設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個點，則此點到直線x－4＝0的距離大于2的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(16,25)D.eq\f