【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)必修四課時(shí)作業(yè)：2.4.1

§2．4向量的應(yīng)用2．4．1向量在幾何中的應(yīng)用課時(shí)目標(biāo)經(jīng)受用向量方法解決某些簡潔的平面幾何問題及其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題等的工具，進(jìn)展運(yùn)算力氣和解決實(shí)際問題的力氣．1．向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問題，包括相像問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?____________?__________．(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，a⊥b?__________?__________．(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝_______________＝___________．(4)求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝________________．2．直線的方向向量和法向量(1)直線y＝kx＋b的方向向量為(1，k)，法向量為(k，－1)．(2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為________，法向量為________．一、選擇題1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長是()A．2eq\r(5)B．eq\f(5,2)eq\r(5)C．3eq\r(5)D．eq\f(7,2)eq\r(5)2．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O是△ABC的()A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)3．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是()A．30°B．45°C．135°D．150°4．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的外形是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形5．已知點(diǎn)A(eq\r(3)，1)，B(0,0)，C(eq\r(3)，0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于()A．2B．eq\f(1,2)C．－3D．－eq\f(1,3)6．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，則△ABC的外形是()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等邊)三角形D．等邊三角形二、填空題7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________________________________________________________________________．8．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝________．9．設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的外形確定是______．10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝__________________．三、解答題11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分線的方程．12．P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF．力氣提升13．已知點(diǎn)O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的()A．重心、外心、垂心B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、內(nèi)心(注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的垂心)14．求證：△ABC的三條高線交于一點(diǎn)．1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．2．在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則eq\o(P1P2,\s\up6(→))(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量．所以，一條直線的方向向量有很多多個(gè)，它們都共線．同理，與直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量．一條直線的法向量也有很多多個(gè)．熟知以下結(jié)論，在解題時(shí)可以直接應(yīng)用．①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量為n＝(k，－1)．②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．§2.4向量的應(yīng)用2．4.1向量在幾何中的應(yīng)用答案學(xué)問梳理1．(1)a＝λbx1y2－x2y1＝0(2)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0(3)eq\f(a·b,|a||b|)eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))(4)eq\r(x2＋y2)2．(2)(B，－A)(A，B)作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[BC中點(diǎn)為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,2)eq\r(5).]2．D[∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，∴(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O為三條高的交點(diǎn)．]3．B[設(shè)l1、l2的方向向量為v1，v2，則v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，∴|cos〈v1，v2〉|＝eq\f(|v1·v2|,|v1|·|v2|)＝eq\f(25,5×5\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴l(xiāng)1與l2的夾角為45°.]4．B[∵|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]5．C[如圖所示，由題知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(|BC|,|CE|)＝3，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→)).]6．D[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC.而eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)，又〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.故△ABC為正三角形，選D.]7．2解析∵O是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∴eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\f(m,2)－1)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→)).又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MO,\s\up6(→))，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－1＝－λ，,\f(n,2)＝λ，))化簡得m＋n＝2.8．－25解析△ABC中，B＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－16，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－9.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－25.9．等腰三角形解析∵(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC是等腰三角形．10.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))解析已知A(0,1)，B(－3,4)，設(shè)E(0,5)，D(－3,9)，∴四邊形OBDE為菱形．∴∠AOB的角平分線是菱形OBDE的對角線OD.設(shè)C(x1，y1)，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝3eq\r(10)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3\r(10))eq\o(OD,\s\up6(→)).∴(x1，y1)＝eq\f(2,3\r(10))×(－3,9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5)))，即eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),5)，\f(3\r(10),5))).11．解eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－8,6)，A的平分線的一個(gè)方向向量為：eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(7,5))).∵角A的平分線過點(diǎn)A.∴所求直線方程為7x＋y－29＝0.12．證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形邊長為1，|eq\o(DP,\s\up6(→))|＝λ，則A(0,1)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)λ,2)，\f(\r(2)λ,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)λ))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，1－\f(\r(2),2)λ))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1，－\f(\r(2),2)λ)).∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))2)＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，同理|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(λ2－\r(2)λ＋1)，∴|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，∴PA＝EF.∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)λ,2)－1))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)λ))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→)).∴PA⊥EF.13．C[如圖，設(shè)D為BC邊的中點(diǎn)，∵eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝－eq