【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：《排列應(yīng)用舉例》

第5課時(shí)排列應(yīng)用舉例1.進(jìn)一步鞏固對(duì)排列、排列數(shù)的概念的理解.2.學(xué)會(huì)排列問題的推斷及常見的幾種解法.3.培育同學(xué)轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想.6個(gè)人預(yù)定了一個(gè)晚宴,其中有兩個(gè)人是一對(duì)夫妻,服務(wù)生依據(jù)要求選取了一個(gè)6個(gè)座位的圓形桌子,并依據(jù)6個(gè)人的名字支配座位,那么夫妻相鄰而坐的方法有多少種?問題1:甲、乙分別對(duì)復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題給出了他們的解法.甲的解法:先排一對(duì)夫妻中男的位置,有A61種方法,再排這對(duì)夫妻中女的位置,有A21種方法,其他4人隨機(jī)排,有種方法,共計(jì)有乙的解法:把夫妻捆綁看作一個(gè)元素,與其他人進(jìn)行排列有A55A上述解法中,甲的解法正確,乙的解法錯(cuò)誤,錯(cuò)誤緣由是.

問題2:相鄰問題與不相鄰問題(1)相鄰問題:把相鄰的兩個(gè)元素先內(nèi)部排列,再捆綁看成一個(gè)元素,與其他元素進(jìn)行排列.(2)不相鄰問題:先把其他的元素進(jìn)行排列,再把要求不相鄰的元素插入其他元素的空位之間.問題3:排列應(yīng)用題解題思路(1)分析參與排列的元素有沒有限制,若無限制條件直接應(yīng)用公式.(2)在有限制的排列中,特殊元素先排,特殊位置先排.(3)相鄰問題用,不相鄰問題用.

(4)分類爭(zhēng)辯要留意不重不漏的原則.1.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了2個(gè)新節(jié)目.假如將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為().A.42B.30C.20D.122.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為().A.24 B.18 C.12 D.63.A、B、C、D、E五人并排站成一排照相,假如B必需站在A的右邊(A、B可以不相鄰),則不同排列的種數(shù)為.

4.7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法?階乘公式的應(yīng)用(1)計(jì)算A85+A84A96-排列應(yīng)用題7人站成一排照相,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).(1)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾;(2)全體排成一排,甲、乙、丙都在一起;(3)全體排成一排,甲、乙、丙互不相鄰;(4)全體排成一排,甲、乙兩人中間恰好有3人.排列中的染色問題用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi),每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色,假如顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?化簡(jiǎn):1×1!+2×2!+3×3!+…+n×n!.用0,1,3,5,7五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且5不在十位位置上的五位數(shù)?四種不同的顏色涂在如圖所示的6個(gè)區(qū)域,且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色.求共有多少種不同的涂色方法?1.兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起到動(dòng)物園游玩,購票后排隊(duì)依次入園,為平安起見,首尾肯定要排兩位爸爸,另外,兩個(gè)小孩肯定要排在一起,則這6人的入園挨次排法種數(shù)為().A.48B.36C.24D.122.如圖,將1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字,下面是一種填法,則不同的填寫方法共有().123312231A.8 B.12 C.18 D.243.將A、B、C、D、E五個(gè)不同的文件放入一排編號(hào)依次為1、2、3、4、5、6的六個(gè)抽屜內(nèi),每個(gè)抽屜至多放一種文件.若文件A、B必需放入相鄰的抽屜內(nèi),文件C、D也必需放相鄰的抽屜內(nèi),則文件放入抽屜內(nèi)滿足條件的全部不同的方法有種.

4.8位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法?(2021年·北京卷)將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,假如分給同1人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是.

考題變式(我來改編):第5課時(shí)排列應(yīng)用舉例學(xué)問體系梳理問題1:A44乙的解法是針對(duì)站成一排,首尾不相接的情形,圓形排列可以看作是首尾相接的排列,所以乙的解法補(bǔ)上夫妻兩人分別站在首末兩端的情形,即A55問題3:(3)捆綁法插空法基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A可分為兩類:兩個(gè)節(jié)目相鄰或兩個(gè)節(jié)目不相鄰,若兩個(gè)節(jié)目相鄰,則有A22A61=12種排法;若兩個(gè)節(jié)目不相鄰,則有A62=30種排法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有2.B依據(jù)所選偶數(shù)為0和2分類爭(zhēng)辯求解.當(dāng)選0時(shí),0只能消滅在十位數(shù)字上,有A32當(dāng)選2時(shí),2只能消滅在十位數(shù)字或百位數(shù)字上,有A21由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有A32+A213.60完成這件事可分兩步:第一步在5個(gè)位置中先選三個(gè)位置排C、D、E三人,有A53種不同排法;其次步在余下的兩個(gè)位置上支配A、B兩人,只有1種排法,所以共有A53×14.解:問題可以看作是余下的6個(gè)元素的全排列,即共有A66=720重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)(法一)A85+A84A(法二)A85+A84A(2)原不等式轉(zhuǎn)化為9!(9-x)!>6×9化簡(jiǎn)得x2-21x+104>0,解得x<8或x>13,又由于2<x≤9,且x∈N+,所以原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.【小結(jié)】在使用排列數(shù)公式Anm=n!(n-m)!進(jìn)行計(jì)算時(shí),要留意公式成立的條件:m,探究二:【解析】(1)(法一)(優(yōu)先法)甲為特殊元素.先排甲,有5種方法,其余6人有A66種方法,共有5×A6(法二)排頭與排尾為特殊位置.排頭與排尾從非甲的6個(gè)人中選2個(gè)排列,有A62種方法,中間5個(gè)位置由余下4人和甲進(jìn)行全排列有A55種方法,共有A6(2)(捆綁法)將甲、乙、丙看成一個(gè)整體,與其他4人在一起進(jìn)行全排列,有A55種方法,再將甲、乙、丙進(jìn)行全排列,有A33種方法,故共有A5(3)(插空法)先排其他4人,有A44種方法,再從4人之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排甲、乙、丙,有A53種方法,故共有A4(4)把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體,第一步先排甲、乙兩人有A22種方法,再從剩下的5人中選3人排到中間,有A53種方法,最終把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體,與剩余2人全排列,有A33種方法,故共有A2【小結(jié)】求有限制條件的排列應(yīng)用題的主要方法有:(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先支配的方法,即先排特殊元素或特殊位置;(2)相鄰問題捆綁處理的方法.即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列,同時(shí)留意捆綁元素的內(nèi)部排列;(3)不相鄰問題插空處理的方法.即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中;(4)分排問題直排處理的方法;(5)“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法;(6)定序問題除法處理的方法.即可以先不考慮挨次限制,排列后再除以定序元素的全排列;(7)正難則反,等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法.探究三:【解析】給4個(gè)區(qū)域涂色,分四步完成,第一步:涂1號(hào)區(qū)域有5種方法;其次步:從剩下的4種顏色中選一種涂2號(hào)區(qū)域,有4種方法;第三步,從與2號(hào)區(qū)域不同顏色的4種顏色中選一種涂3號(hào)區(qū)域,有4種方法;第四步,從與1號(hào)、3號(hào)區(qū)域不同顏色的3種顏色中選一種涂4號(hào)區(qū)域,有3種方法,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同涂色方法總數(shù)共有5×4×4×3=240種.[問題]上述解法正確嗎?這樣分成四步選擇,有沒有遺漏的狀況?[結(jié)論]不正確,上述思路在計(jì)算時(shí)存在遺漏狀況,我們不能只留意到相鄰區(qū)域不同顏色這一條件,還需對(duì)相對(duì)區(qū)域是否同色進(jìn)行爭(zhēng)辯.為了避開爭(zhēng)辯時(shí)的重復(fù)和遺漏,我們對(duì)四個(gè)區(qū)域所需涂色的種數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)辯,正確解法如下:可把問題分為三類:(1)四格涂4種不同的顏色,方法種數(shù)為A54=120;(2)四格涂3種顏色,這時(shí)有且僅有一組對(duì)角小方格顏色相同,涂法種數(shù)為2×5×A42=120;(3)四格涂2種顏色,這時(shí)兩組對(duì)角小方格分別涂相同的顏色,涂法種數(shù)為A52=20,【小結(jié)】解含有約束條件的排列問題,應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行合理分類,事情發(fā)生的連續(xù)性分步,做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確,分步層次清楚,不重不漏.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:由(n+1)!=(n+1)n!=n×n!+n!,得n×n!=(n+1)!-n!,∴原式=(n+1)!-n!+n!-(n-1)!+…+2!-1!=(n+1)!-1.應(yīng)用二:本題可分兩類:第一類:0在十位位置上,這時(shí),5不在十位位置上,所以五位數(shù)的個(gè)數(shù)為A44其次類:0不在十位位置上,這時(shí),由于5不能排在十位位置上,所以十位位置上只能排1,3,7之一,這一步有A31=3種方法.又由于0不能排在萬位位置上,所以萬位位置上只能排5或1,3,7被選作十位上的數(shù)字后余下的兩個(gè)數(shù)字之一,這一步有方法A31=3種.十位、萬位上的數(shù)字選定后,其余三個(gè)數(shù)字全排列即可,這一步有方法A33=6種.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,其次類中所求五位數(shù)的個(gè)數(shù)為由分類加法計(jì)數(shù)原理,符合條件的五位數(shù)共有24+54=78個(gè).應(yīng)用三:依題意只能選用4種顏色,要分四類:(1)②與⑤同色、④與⑥同色,則有A4(2)③與⑤同色、④與⑥同色,則有A4(3)②與⑤同色、③與⑥同色,則有A4(4)③與⑤同色、②與④同色,則有A4(5)②與④同色、③與⑥同色,則有A4所以依據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5A4基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C由題意得爸爸排法為A22,兩個(gè)小孩排在一起看成一體有A22種排法,媽媽和孩子共有A33種排法,因此排法種數(shù)共有2.B首先需要填寫第一行第一列,其余即可確定.因此共有A33A3.96利用“捆綁法”,AB、CD分別捆在一起,此