【全程復(fù)習(xí)方略】2022屆高考數(shù)學(xué)(文科人教A版)大一輪單元評(píng)估檢測(cè)(二)第二章-

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D.y=e|x|【解析】選C.選項(xiàng)A,C中函數(shù)為奇函數(shù),又函數(shù)y=sinx在(0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù),故選C.2.(2021·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)=1x+1,則函數(shù)f(f(x))的定義域是A.{x|x≠-1}B.{x|x≠-2}C.{x|x≠-1且x≠-2}D.{x|x≠-1或x≠-2}【解析】選C.由于f(f(x))=1f(x)+1=1所以x+1≠0且1x+1+1≠0,即x≠-1且x≠3.(2021·日照模擬)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的,且方程f(x)=0在(-2,2)上僅有一個(gè)實(shí)根x=0,則f(-1)f(1)的值()A.大于0B.小于0C.等于0D.與0的大小關(guān)系無(wú)法確定【解析】選D.由于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)上的圖象是連續(xù)不斷的,且方程f(x)=0在(-2,2)上僅有一個(gè)實(shí)根x=0,可得圖象:因此f(-1)f(1)的值與0的大小關(guān)系不確定.故選D.4.函數(shù)y=esinx(-π≤x≤π)的大致圖象為()【解析】選D.取x=-π,0,π這三個(gè)值,可得y總是1,故排解A,C;當(dāng)0<x<π2時(shí),y=sinx是增函數(shù),y=ex也是增函數(shù),故y=esinx【加固訓(xùn)練】函數(shù)f(x)=lnx-12x2的圖象大致是【解析】選B.函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=1x-x=1f′(x)=1-x2x>0得,0<x<1,即增區(qū)間為(0,1).由f′(x)=1-5.(2021·臨沂模擬)若a=log23,b=log32,c=esinπ,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a【解析】選D.a=log23>log22=1,b=log32<log33=1,c=esinπ=e0=1,所以a>c>b.6.已知函數(shù)f(x)=(a-3)x+5,x≤1,2ax,x>1是(-∞,+A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2]【解析】選D.由于f(x)為(-∞,+∞)上的減函數(shù),所以a-3<0,2a>0,(a-3)×1+5≥【加固訓(xùn)練】若f(x)=ax2+1,x≥0,(a2-1)eA.(1,2] B.[-2,-1)∪[2,+∞)C.(-∞,-2]∪(1,2] D.0,23∪[2,+【解析】選C.f(x)在定義域(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù)時(shí),(1)函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)時(shí),可得當(dāng)x=0時(shí),(a2-1)eax≤ax2+1=1,即a2-1≤1,解得-2≤a≤2,由于x≥0時(shí),y=ax2+1是增函數(shù),所以a>0,又由于x<0時(shí),(a2-1)eax是增函數(shù),所以a2-1>0,得a<-1或a>1,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是:1<a≤2.(2)函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時(shí),可得當(dāng)x=0時(shí),(a2-1)eax≥ax2+1=1,即a2-1≥1,解得a≤-2或a≥2.由于x≥0時(shí),y=ax2+1是減函數(shù),所以a<0,又由于x<0時(shí),(a2-1)eax是減函數(shù),所以a2-1>0,得a<-1或a>1,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是:a≤-2,綜上所述,得a∈(-∞,-2]∪(1,2],故選C.7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則()A.f(2)<f(5)<f(8) B.f(5)<f(8)<f(2)C.f(5)<f(2)<f(8) D.f(8)<f(2)<f(5)【解題提示】利用奇偶性、周期性將待比較函數(shù)值調(diào)整到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,再比較大小.【解析】選B.由于f(x-4)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且周期為8,所以f(8)=f(0),f(5)=-f(1)=f(-1),由于奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數(shù),又由于-2<-1<0<2,所以f(5)<f(8)<f(2).8.已知f(x)滿足f(4)=f(-2)=1,f′(x)為導(dǎo)函數(shù),且導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)<1的解集是()A.(-2,0)B.(-2,4)C.(0,4)D.(-∞,-2)∪(4,+∞)【解析】選B.由f′(x)的圖象知,當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,函數(shù)y=f(x)是減函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),且f(4)=f(-2)=1,從而f(x)<1的解集是(-2,4).9.(2021·合肥模擬)若定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f52+x=f52-x,且x-52f′(x)>0,則“對(duì)于任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”是“xA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選C.由于f52+x=f即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=52對(duì)稱,又由于x-5故函數(shù)y=f(x)在52再由對(duì)稱性可得,函數(shù)y=f(x)在-∞,由于對(duì)于任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),故x1和x2在區(qū)間-∞,所以x1+x2<5,反之,若x1+x2<5,則有x2-52<52-x故x1離對(duì)稱軸較遠(yuǎn),x2離對(duì)稱軸較近,由函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和單調(diào)性,可得f(x1)>f(x2).綜上可得,“任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”10.(2021·忻州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=log3x+2xA.(0,log32) B.(log32,1)C.(-1,-log32) D.(1,log34)【解析】選B.f(x)=log3x+2x-a=log31+2x-a,則函數(shù)f(x)在(1,2)上是減函數(shù),從而二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)11.若函數(shù)y=x2-3x-4的定義域?yàn)閇0,m],值域?yàn)?254,-4【解析】y=x2-3x-4=x-322-254.當(dāng)x=0或x=3時(shí),y=-4,所以答案:312.已知曲線f(x)=lnx在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則x0的值為.【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1x所以切線斜率為k=f′(x0)=1x所以切線方程為y-lnx0=1x0(x-x由于切線過點(diǎn)(0,1),所以代入切線方程得lnx0=2,解得x0=e2.答案:e213.(2021·淄博模擬)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x,則滿足不等式f(x)>0的x的取值范圍是.【解析】由log2x>0得x>1,由log2x<0得0<x<1,又函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)>0的解集為(-1,0)∪(1,+∞).答案:(-1,0)∪(1,+∞)14.(2021·哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2x,g(x)=12x-m.若?x?x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解題提示】依據(jù)f(x)min≥g(x)min求解.【解析】?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),只需f(x)=x2+2x在[1,2]上的最小值大于等于g(x)=12x-m在[-1,1]上的最小值,由于f′(x)=2x-2x2=所以f(x)=x2+2x所以f(x)min=f(1)=12+21由于g(x)=12所以g(x)min=g(1)=12所以12-m≤3,即m≥-5答案:-15.已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y=f(x)圖象如圖所示,對(duì)于滿足0<x1<x2<1的任意x1,x2給出下列結(jié)論:①f(x2)-f(x1)>x2-x1;②x2f(x1)>x1f(x2);③f(其中正確結(jié)論的序號(hào)是.(把全部正確結(jié)論的序號(hào)都填寫在橫線上)【解析】由f(x2)-f(x1)>x2-x1可得f(x2)-f(x1)x2-x1>1,即兩點(diǎn)(x1,f(x1))與(x2,f(x2))連線的斜率大于1,明顯①不正確;由x2f(x1)>x1f(x2)得f(答案:②③三、解答題(本大題共6小題,共75分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)16.(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=log3(9x)·log3(3x),19≤x≤(1)若m=log3x,求m的取值范圍.(2)求f(x)的最值,并給出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.【解析】(1)由于19≤x≤9,m=log3所以-2≤log3x≤2,即m的取值范圍是[-2,2].(2)由m=log3x得:f(x)=log3(9x)·log3(3x)=(2+log3x)·(1+log3x)=(2+m)·(1+m)=m+32又由于-2≤m≤2,所以當(dāng)m=log3x=-32即x=39時(shí)f(x)取得最小值-1當(dāng)m=log3x=2,即x=9時(shí)f(x)取得最大值12.17.(12分)(2021·濟(jì)南模擬)已知f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),函數(shù)解析式為f(x)=14x-b2(1)求b的值,并求出f(x)在[0,1]上的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]上的值域.【解析】(1)由于f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(x)在x=0處有意義,所以f(0)=0,即f(0)=1-b,所以b=1.設(shè)x∈[0,1],則-x∈[-1,0],所以f(-x)=14-x-12-x=4x-2x,f(x)=2所以f(x)在[0,1]上的解析式為f(x)=2x-4x,(2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-4x=2x-(2x)2,所以設(shè)t=2x(t>0),則g(t)=-t2+t,由于x∈[0,1],則t∈[1,2],當(dāng)t=1時(shí),最大值為1-1=0,當(dāng)t=2時(shí),取最小值-2,所以函數(shù)在[0,1]上取最小值-2,最大值為0,由于f(x)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),所以函數(shù)在[-1,0]上取最小值0,最大值為2,所以f(x)在[-1,1]上的值域?yàn)閇-2,2].18.(12分)(2021·漳州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+1x(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程.(2)求函數(shù)f(x)在12【解析】(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0},又f′(x)=1x-1x2所以f′(1)=0,又f(1)=1,所以切線方程為y=1.(2)由f′(x)=0,得x=1.列表x111(1,2)2f′(x)-0+f(x)2-ln2↘微小值1↗12所以函數(shù)的最小值是f(1)=1;又f12-f(2)=32-ln4=12所以函數(shù)的最大值是f1219.(12分)(2021·重慶模擬)如圖,在半徑為30cm的14圓形(O為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料OABC,其中點(diǎn)B在圓弧上,點(diǎn)A,C在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AB=xcm,圓柱的體積為Vcm3(1)寫出體積V關(guān)于x的函數(shù)解析式.(2)當(dāng)x為何值時(shí),才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大?【解題提示】(1)依據(jù)圓柱的體積公式求解.(2)利用導(dǎo)數(shù)求解.【解析】(1)連接OB,由于AB=xcm,所以O(shè)A=900-設(shè)圓柱的底面半徑為rcm,則900-x2=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π·900-(2)由(1)知V=900x-x34π(0<x<30),則V由V′=900-3x2因此V=900x-x3在(103,30)上是減函數(shù).所以當(dāng)x=103時(shí),V有最大值.20.(13分)(2021·淮北模擬)已知函數(shù)f(x)=exx的定義域?yàn)?0,+(1)求函數(shù)f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值.(2)對(duì)?x∈(0,+∞),不等式xf(x)>-x2+λx-1恒成立,求λ的取值范圍.【解析】f′(x)=xex-令f′(x)<0得0<x<1,所以,函數(shù)f(x)在(0,1)上是減函數(shù);在(1,+∞)上是增函數(shù).(1)當(dāng)m≥1時(shí),函數(shù)f(x)在[m,m+1](m>0)上是增函數(shù),所以,f(x)min=f(m)=em當(dāng)0<m<1時(shí),函數(shù)f(x)在[m,1]上是減函數(shù);在[1,m+1]上是增函數(shù),所以,f(x)min=f(1)=e.(2)由題意,對(duì)?x∈(0,+∞),不等式ex+x2+1>λx恒成立,即exx+x+1x令g(x)=exx+x+1x,則g′由g′(x)>0得,x>1;由g′(x)<0得,0<x<1.所以g(x)min=g(1)=e+2,所以λ<e+2.21.(14分)設(shè)函數(shù)f(x)=-13x3+x2+(m2-1)x(x∈(1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率.(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.(3)已知函數(shù)f(x)由三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0,x1,x2,且x1<x2,若對(duì)任意的x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=-13x3+x2,f′