《畫(huà)法幾何與機(jī)械制圖》課件第03章

第3章投影變換3.1換面法的基本概念3.2點(diǎn)的投影變換3.3直線的投影變換3.4平面的投影變換3.5換面法的應(yīng)用舉例

3.1換面法的基本概念

圖3-1所示為一三角形鉛垂面，在V面和H面投影體系(以后簡(jiǎn)稱為V/H體系)中的兩個(gè)投影都不顯示實(shí)形。為使新投影顯示實(shí)形，取一平行于三角形平面且垂直于H面的新投影面V1，組成新投影體系V1/H，V1與H面的交線成為新投影軸，三角形在V1面上的投影就顯示三角形的實(shí)形。再以新投影軸為軸，使新投影面V1旋轉(zhuǎn)至與H面重合，就得到了V1/H體系中投影圖。圖3-1V/H體系變?yōu)閂1/H體系

3.2點(diǎn)的投影變換

3.2.1點(diǎn)的一次變換

如圖3-2(a)所示，點(diǎn)A在V/H體系中，正面投影為a′，水平投影為a。

圖3-2(b)表示按上述規(guī)律，由V/H體系的投影求V1/H體系的投影的作圖。(a)立體圖(b)投影圖圖3-2點(diǎn)的一次變換(更換V面)圖3-3表示更換H面，由點(diǎn)A在V/H體系中的投影(a′,a),求其在新體系V/H1中的投影(a′，a1)的作圖過(guò)程。(a)立體圖(b)投影圖圖3-3點(diǎn)的一次變換(更換H面)3.2.2點(diǎn)的二次變換

點(diǎn)在一次變換時(shí)所得出的作圖規(guī)律也適用于二次變換或多次變換。圖3-4為由V/H體系經(jīng)過(guò)V1/H體系而變換成V1/H2體系的立體圖和投影圖，當(dāng)然變換次序也可以是V/H→V/H1→V2/H1。(a)立體圖(b)投影圖圖3-4點(diǎn)的二次變換

3.3直線的投影變換

3.3.1直線的一次變換

1.將一般位置直線變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€

在圖3-5(a)中，線段AB在V/H體系中為一般位置，若求AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α，則可用一個(gè)平行于AB且垂直于H面的V1面來(lái)代替V面，此時(shí)AB在V1/H體系中成為V1面的平行線，它在V1面上的投影a1′b1′?反映AB的實(shí)長(zhǎng)，a1′b1′?與X1軸的夾角即為AB對(duì)H面的傾角α。(a)立體圖(b)投影圖圖3-5一般位置直線變換為投影面平行線(求實(shí)長(zhǎng)和傾角α)圖3-5(b)表示投影圖作法，具體步驟如下：

(1)作X1軸∥ab，X1與ab的距離可任取。

(2)根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律，作出A、B兩點(diǎn)的新投影a1′、b1′。

(3)連a1′、b1′?即得a1′b1′，它反映AB的實(shí)長(zhǎng)，與X1軸的夾角反映AB對(duì)H面的傾角α。若求AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)V面的傾角β，則應(yīng)更換H面，將AB變?yōu)镠1面的平行線。圖3-6表示其投影圖作法。圖3-6一般位置直線變換為投影面平行線(求實(shí)長(zhǎng)和傾角β)

2.將投影面平行線變換為投影面垂直線

把投影面平行線變換為投影面垂直線，其目的是使線段的投影具有積聚性，以便于求解某些度量問(wèn)題。

(a)立體圖(b)投影圖圖3-7將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€3.3.2直線的二次變換

垂直于一般位置直線的平面一定是一般位置平面，因此，欲把一般位置直線變換為投影面的垂直線，僅一次變換是不行的，必須連續(xù)地變換兩次投影面，稱為直線的二次變換。如圖3-8(a)所示，第一次把一般位置直線變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€，第二次再把投影面的平行線變換為投影面的垂直線。

(a)立體圖(b)投影圖圖3-8將一般位置直線變?yōu)橥队懊?H2)的垂直線圖3-8(b)表示其投影圖的作法，具體步驟如下：

(1)先作X1軸∥ab，求得AB在V1面上的新投影a1′b1′。

(2)再作X2軸⊥a1′b1′，得出AB在H2面上的投影a2(b2)，這時(shí)a2與b2積聚為一點(diǎn)。

圖3-9表示先更換H、再更換V面將直線變成V2面的垂直線的作圖過(guò)程。圖3-9將一般位置直線變?yōu)橥队懊?V2)的垂直線

3.4平面的投影變換

3.4.1平面的一次變換

1.將一般位置平面變換為投影面的垂直面

將一般位置平面變換為投影面的垂直面，目的是使平面的投影具有積聚性，以便于求解某些度量(如求平面與投影面的夾角及與平面有關(guān)的距離)和定位等問(wèn)題。(a)立體圖(b)投影圖圖3-10將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?求夾角α)如求△ABC對(duì)V面的夾角β，可在△ABC內(nèi)取一正平線為輔助線，并用H1代替H，則△ABC的H1面投影與X1軸的夾角即為平面對(duì)V面的夾角β，如圖3-11所示。圖3-11將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?求夾角β)

2．將投影面垂直面變?yōu)橥队懊娴钠叫忻?/p>

目的是為了求平面的實(shí)形和解決同一平面內(nèi)的有關(guān)圖解問(wèn)題。

由于投影面垂直面已經(jīng)垂直于一個(gè)投影面，所以只要建立一個(gè)與已知平面平行的新投影面，即可在新體系中得到該平面的實(shí)形。圖3-12將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?.4.2平面的二次變換

平面的二次變換主要用于把一般位置平面變換為投影面的平行面。因?yàn)槠叫杏谝话阄恢闷矫娴钠矫嫒詾橐话阄恢闷矫妫员仨氝B續(xù)交替更換兩次投影面才行，即第一次將一般位置平面變換為投影面的垂直面，第二次再將投影面垂直面變換為投影面的平行面。圖3-13將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?/p>

3.5換面法的應(yīng)用舉例

3.5.1求解距離問(wèn)題

【例3-1】如圖3-14(a)所示，已知平面△ABC及面外一點(diǎn)M的兩面投影，求M點(diǎn)到三角形平面ABC的距離及其投影。圖3-14用換面法求點(diǎn)到平面的距離

【解】當(dāng)平面變換成投影面垂直面時(shí)，問(wèn)題得解。

如圖3-14(b)所示，當(dāng)平面變成V1面的垂直面時(shí)，反映點(diǎn)

至平面的垂線MK為一V1面的平行線，它在V1面上的投影m1′k1′?顯示實(shí)長(zhǎng)。一般位置平面變換成垂直面時(shí)，只

需一次變換即可。設(shè)新投影面V1垂直于H面，以代替V面。

【例3-2】如圖3-15(a)所示，已知直線AB及線外一點(diǎn)M的兩面投影，求作點(diǎn)M到直線AB的距離及其投影。

【解】當(dāng)直線變換成投影面的垂直線時(shí)，則在該投影面上就直接反映出點(diǎn)到直線的距離，如圖3-15(b)所示。為此，必須將一般位置直線AB經(jīng)兩次變換變?yōu)橥队懊娴拇怪本€，M點(diǎn)也隨之變換兩次，即可求出距離的實(shí)長(zhǎng)。圖3-15用換面法求點(diǎn)到直線的距離

【例3-3】求兩交叉直線AB、CD的公垂線實(shí)長(zhǎng)及投影(圖3-16)。

【解】?jī)山徊嬷本€之間的最短距離就是它們的公垂線，因此，如果把兩交叉直線之一變換成投影面的垂直線，例如將CD變?yōu)榇怪庇贖2面(圖3-16(b))，則公垂線MN必為H2面的平行線，故m2n2?=?MN。據(jù)上述分析，實(shí)質(zhì)上是把一般位置直線變換成投影面的垂直線的作圖問(wèn)題。圖3-16用換面法求兩交叉直線的公垂線及投影3.5.2求解角度問(wèn)題

【例3-4】如圖3-17(a)所示，已知兩一般位置平面△ABC和△ABD的兩面投影，試用換面法求兩平面之夾角f。

【解】任何不平行兩平面必相交，其相交之夾角稱為二面角。當(dāng)兩個(gè)平面同時(shí)垂直于某一投影面時(shí)，它們?cè)谠撈矫嫔系耐队熬e聚為直線，此兩直線間的夾角就反映出兩平面間的真實(shí)夾角。要使兩平面同時(shí)變換為新投影面的垂直面，必須把它們的交線變換為新投影面的垂直線。從圖3-17(a)、(b)中知道，AB是兩平面的交線，為一般位置直線，故需要兩次變換投影面，才可求出兩平面的夾角f

。圖3-17用換面法求兩平面之夾角

【例3-5】如圖3-18(a)所示，已知四邊形ABCD和直線EF的兩面投影，用換面法求直線EF與平面ABCD夾角θ的真實(shí)大小。

【解】作一新投影面和直線EF平行，且與平面ABCD垂直，則在該新投影面上的投影反映θ角。由于平面ABCD處于一般位置，因此，首先將它經(jīng)過(guò)二次變換變?yōu)橥队懊嫫叫忻?，然后，在其上作新投影面V3與之垂直，并與直線EF平行。故本題共需要變換三次投影面才能獲解。(a)已知條件(b)作圖過(guò)程及結(jié)果圖3-18用換面法求直線與平面之夾角3.5.3求解定位問(wèn)題

【例3-6】如圖3-19所示，求一般位置直線DE與△ABC平面的交點(diǎn)。

【解】如前所述，直線與平面的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，這一共有點(diǎn)可用換面法求出。(a)已知條件(b)作圖過(guò)程和結(jié)果圖3-19用換面法求直線與平面的交點(diǎn)

【例3-7】如圖3-20(a)所示，求兩一般位置平面△ABC和△DEF的交線MN。

【解】只要把兩平面之一變?yōu)橥队懊娲怪泵?，?wèn)題

得解。(a)已知條件(b)作圖過(guò)程和結(jié)果圖3-20用換面法求兩一般位置平面的交線

【例3-8】如圖3-21(a)所示，已知平面圖形的實(shí)形及一邊AB的投影，求作其正面投影和水平投影。

【解】由平面換面的基本問(wèn)題可知，將一般位置平面變換為投影面的平行面需經(jīng)兩次變換。