三角函數(shù)定義域和值域課件

三角函數(shù)的定義域和值域課程目標理解三角函數(shù)的定義域和值域。掌握三角函數(shù)圖像的繪制方法。運用三角函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性解決問題。三角函數(shù)的概念正弦函數(shù)正弦函數(shù)是三角函數(shù)中最基本的一種，它表示直角三角形中對邊與斜邊的比值。余弦函數(shù)余弦函數(shù)也是三角函數(shù)中最基本的一種，它表示直角三角形中鄰邊與斜邊的比值。正切函數(shù)正切函數(shù)表示直角三角形中對邊與鄰邊的比值。余切函數(shù)余切函數(shù)表示直角三角形中鄰邊與對邊的比值。三角函數(shù)的定義正弦函數(shù)在一個單位圓中，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的縱坐標稱為角α的正弦，記為sinα。余弦函數(shù)在一個單位圓中，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的橫坐標稱為角α的余弦，記為cosα。正切函數(shù)在一個單位圓中，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的縱坐標與橫坐標的比值稱為角α的正切，記為tanα。余切函數(shù)在一個單位圓中，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，則點P的橫坐標與縱坐標的比值稱為角α的余切，記為cotα。三角函數(shù)的坐標圖象三角函數(shù)的坐標圖象可以幫助我們更好地理解三角函數(shù)的性質(zhì)。例如，正弦函數(shù)的圖象是一個周期性的波浪形曲線，它的定義域是全體實數(shù)，值域是-1到1。三角函數(shù)的周期性1周期定義對于任意角*x*,如果存在一個非零常數(shù)*T*,使得*f(x+T)=f(x)*恒成立,則稱函數(shù)*f(x)*為周期函數(shù),*T*為函數(shù)的周期.2三角函數(shù)周期正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)都是周期函數(shù).3周期公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期為*2π*,正切函數(shù)和余切函數(shù)的周期為*π*.三角函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)對于任意自變量x，滿足f(-x)=-f(x)的函數(shù)被稱為奇函數(shù)。偶函數(shù)對于任意自變量x，滿足f(-x)=f(x)的函數(shù)被稱為偶函數(shù)。三角函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性定義在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的值隨著自變量的增大而增大，則稱函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的；反之，函數(shù)的值隨著自變量的增大而減小，則稱函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的。三角函數(shù)的單調(diào)性三角函數(shù)在不同的區(qū)間內(nèi)具有不同的單調(diào)性，需要根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行分析。三角函數(shù)的定義域定義域三角函數(shù)的定義域是指自變量可以取值的范圍，也就是函數(shù)圖像中所有點的橫坐標的集合。值域三角函數(shù)的值域是指函數(shù)圖像中所有點的縱坐標的集合，也就是函數(shù)輸出值的范圍。圖形可以通過函數(shù)圖像來直觀地觀察定義域和值域。正弦函數(shù)的定義域和值域正弦函數(shù)的定義域是所有實數(shù)，值域是[-1,1]。余弦函數(shù)的定義域和值域R定義域所有實數(shù)[-1,1]值域-1到1之間的閉區(qū)間正切函數(shù)的定義域和值域定義域x≠(π/2)+kπ,k∈Z值域(-∞,+∞)余切函數(shù)的定義域和值域余切函數(shù)的定義域是除了kπ（k為整數(shù)）以外的所有實數(shù)，值域是所有實數(shù)。正割函數(shù)的定義域和值域1定義域x≠(2k+1)π/2，k∈Z1值域y≤-1或y≥1余割函數(shù)的定義域和值域函數(shù)定義域值域y=cscxx≠kπ，k∈Zy≤-1或y≥1一般三角函數(shù)的定義域正弦函數(shù)定義域為R,值域為[-1,1].余弦函數(shù)定義域為R,值域為[-1,1].正切函數(shù)定義域為x≠(k+1/2)π,k∈Z,值域為R.余切函數(shù)定義域為x≠kπ,k∈Z,值域為R.常見三角函數(shù)的定義域總結(jié)正弦函數(shù)定義域為全體實數(shù)，值域為[-1,1]。余弦函數(shù)定義域為全體實數(shù)，值域為[-1,1]。正切函數(shù)定義域為x≠kπ+π/2(k∈Z)，值域為全體實數(shù)。余切函數(shù)定義域為x≠kπ(k∈Z)，值域為全體實數(shù)。三角函數(shù)的周期特性1周期性函數(shù)圖像在一定范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)2周期圖像重復(fù)出現(xiàn)的一段長度3周期函數(shù)具有周期性的函數(shù)三角函數(shù)的周期性證明定義如果函數(shù)f(x)滿足對于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T為函數(shù)f(x)的周期。正弦函數(shù)對于任意實數(shù)x，都有sin(x+2π)=sinx，所以正弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2π。余弦函數(shù)對于任意實數(shù)x，都有cos(x+2π)=cosx，所以余弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期為2π。正切函數(shù)對于任意實數(shù)x，都有tan(x+π)=tanx，所以正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期為π。余切函數(shù)對于任意實數(shù)x，都有cot(x+π)=cotx，所以余切函數(shù)是周期函數(shù)，周期為π。三角函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)對于任意x，滿足f(-x)=f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。例如：y=cos(x)是偶函數(shù)，因為cos(-x)=cos(x)。奇函數(shù)對于任意x，滿足f(-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。例如：y=sin(x)是奇函數(shù)，因為sin(-x)=-sin(x)。三角函數(shù)的奇偶性證明1正弦函數(shù)sin(-x)=-sin(x)2余弦函數(shù)cos(-x)=cos(x)3正切函數(shù)tan(-x)=-tan(x)4余切函數(shù)cot(-x)=-cot(x)三角函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)對于任意x，f(-x)=f(x)奇函數(shù)對于任意x，f(-x)=-f(x)三角函數(shù)單調(diào)性的判斷1定義若在區(qū)間上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞增；若函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)遞減。2圖像通過觀察三角函數(shù)圖像，可以直觀地判斷其單調(diào)性。3導(dǎo)數(shù)利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以嚴格證明其單調(diào)性。正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間[-2π+2kπ,-π+2kπ][0+2kπ,π+2kπ]單調(diào)遞減區(qū)間[-π+2kπ,0+2kπ][π+2kπ,2π+2kπ]余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增余弦函數(shù)在區(qū)間[2kπ,(2k+1)π]上單調(diào)遞增。單調(diào)遞減余弦函數(shù)在區(qū)間[(2k+1)π,2(k+1)π]上單調(diào)遞減。正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1單調(diào)遞增(-π/2+kπ,π/2+kπ)2單調(diào)遞減(π/2+kπ,3π/2+kπ)余切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間余切函數(shù)在每個區(qū)間上都是單調(diào)遞減的,并且在每個區(qū)間內(nèi)都存在一個極值。三角函數(shù)定義域和值域的綜合應(yīng)用函數(shù)圖像通過觀察函數(shù)圖像，可以直觀地判斷函數(shù)的定義域和值域，例如，正弦函數(shù)的圖像在y軸方向上是無限延伸的，所以它的值域是[-1,1]。函數(shù)性質(zhì)利用三角函數(shù)的性質(zhì)，例如周期性、奇偶性、單調(diào)性，可以推導(dǎo)出函數(shù)的定義域和值域。例如，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，所以它的定義域是對稱的，值域也是對稱的。函數(shù)方程通過解方程，可以得到函數(shù)的定義域和值域。例如，正切函數(shù)的定義域是除開所有角度為π/2+kπ的點，因為在這些點上函數(shù)無定義。本課重點與難點總結(jié)1重點三角函數(shù)的定義域和值域是理解三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是三角函數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵。2難點理解三角函數(shù)定義域和值域的求解方法，以及如何運用這些知識解決實際問題。課后思考題三角函數(shù)的定義域和值域是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是理解三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)。本節(jié)課我們學習了三角