【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：4.8

第四章4.8第8課時(shí)一、選擇題1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關(guān)系是()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°答案B2．如圖，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，α，β是可供測(cè)量的數(shù)據(jù)．下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對(duì)測(cè)量河寬較適宜的是()A．c和aB．c和bC．c和βD．b和α答案D3．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為()A．10kmB.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km答案D解析AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(102＋202＋2×10×20×\f(1,2))＝10eq\r(7)(km)．4．某人在山外一點(diǎn)測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?2°，沿水平面退后30米，又測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?9°，則山高為(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)()A．180米B．214米C．242米D．266米答案C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，eq\f(DC,sin3°)＝eq\f(BC,sin39°)，∴BC＝eq\f(30·sin39°,sin3°).在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝eq\f(30·sin39°·sin42°,sin3°)＝242.5．在200m高的山頂上，測(cè)得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)mD.eq\f(200,3)m答案A解析在Rt△BAC中∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3)，∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°)，∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．6．有一長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為________千米．()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案C解析由題意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.二、填空題7．(2010·濰坊質(zhì)檢)已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A、B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為____km.答案eq\r(6)－1解析如圖，由題意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.設(shè)BC＝x，則由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝eq\r(6)－1.8．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米．答案17500解析連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上進(jìn)行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最終一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最終一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國(guó)歌長(zhǎng)度約為50秒，升旗手應(yīng)以________(米/秒)的速度勻速升旗．答案0.6解析在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10eq\r(6)，由正弦定理，得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3)；在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米)．所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒)．三、解答題10．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為12eq\r(6)nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°.求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．解析(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理得eq\f(AD,sin∠B)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，即AD＝eq\f(ABsin∠B,sin∠ADB)＝eq\f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(nmile)．(2)在△ACD中，∵AC＝8eq\r(3)，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝242＋(8eq\r(3))2－2×24×8eq\r(3)cos30°＝192.即CD＝8eq\r(3)≈14(nmile)．因此A處與D處的距離為24nmile，燈塔C與D處的距離約為14nmile.11.如圖，港口B在港口O正東方120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科學(xué)考察船從港口O動(dòng)身，沿北偏東30°的OA方向以20海里/時(shí)的速度駛離港口O.一艘快船從港口B動(dòng)身，以60海里/時(shí)的速度駛向小島C，在C島裝運(yùn)補(bǔ)給物資后給考察船送去，現(xiàn)兩船同時(shí)動(dòng)身，補(bǔ)給物資的裝船時(shí)間要1小時(shí)，問(wèn)快艇駛離港口B后最少要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才能和考察船相遇？解析設(shè)快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過(guò)x小時(shí)，在OA上點(diǎn)D處與考察船相遇，連結(jié)CD，則快艇沿線段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60eq\r(3).∴快艇從港口B到小島C需要1小時(shí)．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60eq\r(3))2－2·20x·60eq\r(3)·cos30°.解得x＝3或x＝eq\f(3,8).∵x>1，∴x＝3.答：快艇駛離港口B后最少要經(jīng)過(guò)3小時(shí)才能和考察船相遇．12.如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)．現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船馬上前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？答案救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．解析由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí))．答：救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí)．注：假如認(rèn)定△DBC為直角三角形，依據(jù)勾股定理正確求得CD，同樣給分．老師備選題1.(南京第一次調(diào)研)如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停靠著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距3eq\r(2)海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處．則兩艘輪船之間的距離為________海里．答案eq\r(13)解析連接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝3eq\r(2)，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝eq\r(13).2．甲船在A處觀看乙船在它的北偏東60°的B處，此時(shí)兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船以什么方式前進(jìn)才能追趕上乙船？此時(shí)乙船行駛了多少海里？解析如圖所示，AC為甲船的航行路線，BC為乙船的航行路線，設(shè)甲船取北偏東θ的方向去追趕乙船，在C點(diǎn)處追上，若乙船行駛的速度是v，則甲船行駛的速度是eq\r(3)v，由于甲、乙兩船到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間相等，都為t，則BC＝vt，AC＝eq\r(3)vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v)，t2＝－eq\f(a,2v)(舍去)．所以BC＝a，∠CAB＝30°，θ＝30°.即甲船應(yīng)取北偏東30°的方向去追趕乙船，此時(shí)乙船已行駛a海里．3．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇動(dòng)身時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．(1)若期望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析(1)設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900t－\f(1,3)2＋300)，故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，Smin＝10eq\r(3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小．(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，如圖所示．由題意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t·cos(90°－30°)，化簡(jiǎn)得：v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900＝400(eq\f(1,t)－eq\f(3,4))2＋675.由于0<t≤eq\f(1,2)，即eq\f(1,t)≥2，所以當(dāng)eq\f(1,t)＝2時(shí)，v取得最小值10eq\r(13)，即小艇航行速度的最小值為10eq\r(13)海里/小時(shí)．(3)由(2)知v2＝eq\f(400,t2)－eq\f(600,t)＋900，設(shè)eq\f(1,t)＝u(u>0)，于是400u2－600u＋900－v2＝0.(*)小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程(*)應(yīng)有兩個(gè)不等正根，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6002－1600900－v2>0，,900－v2>0，))解得15eq\r(3)<u<30.所以v的取值范圍是(15eq\r(3)，30)．4.如圖，某小區(qū)預(yù)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC＝a，∠ABC＝θ，設(shè)△ABC的面積為S1，正方形PQRS的面積為S2，將比值eq\f(S1,S2)稱為“規(guī)劃合理度”．(1)試用a，θ表示S1和S2.(2)當(dāng)a為定值，θ＝15°，求“規(guī)劃合理度”的值．解析(1)如題圖，在Rt△ABC中，AC＝asinθ，AB＝acosθ，S1＝eq