【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教A版)階段性測試題2(函數(shù)與基本初等函數(shù))

階段性測試題二(函數(shù)與基本初等函數(shù))本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．(2021·石光中學(xué)段測)函數(shù)f(x)＝x－5＋2x－1的零點所在的區(qū)間是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)[答案]C[解析]f(0)<0，f(1)＝－3<0，f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，故選C．2．(2021·重慶南開中學(xué)月考)函數(shù)f(x)＝eq\f(lgx2－1,\r(－x2＋x＋2))的定義域為()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(1,2)[答案]D[解析]由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1>0,－x2＋x＋2>0))，解得1<x<2.3．(2022·山東省菏澤市期中)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝3，則f(8)－f(4)的值為()A．－1 B．1C．－2 D．2[答案]C[解析]∵f(1)＝1，f(2)＝3，f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－1，f(－2)＝－3，∵f(x)周期為5，∴f(8)－f(4)＝f(－2)－f(－1)＝－2.4．(2022·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝()A．338 B．337C．1678 D．2021[答案]B[解析]∵定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)．又當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0,2021＝6×335＋3，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝335(1＋2－1＋0－1＋0)＋1＋2－1＝337，選B．5．(文)(2021·石光中學(xué)段測)函數(shù)y＝log5(1－x)的大致圖象是()[答案]C[解析]由1－x>0得x<1，排解A、B；又y＝log5(1－x)為減函數(shù)，排解D，選C．(理)(2022·山東省德州市期中)函數(shù)y＝eq\f(ex＋x,ex－x)的一段圖象是()[答案]D[解析]首先f(－x)≠±f(x)，f(x)為非奇非偶函數(shù)，排解B、C；其次，x＝2時，y＝eq\f(e2＋2,e2－2)>0，排解A，故選D．6．(2022·西安一中期中)P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，則()A．R<Q<P B．P<R<QC．Q<R<P D．R<P<Q[答案]A[解析]P＝log23>log22＝1，Q＝log32＝eq\f(1,log23)∈(0,1)，R＝log2(log32)<0，∴R<Q<P，故選A．7．(2021·江西三縣聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]A[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.8．(2021·許昌、平頂山、新鄉(xiāng)三市調(diào)研)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(eq\f(1,2))lnx，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c[答案]B[解析]∵eq\f(1,e)<x<1，∴a＝lnx∈(－1,0)，b＝(eq\f(1,2))lnx∈(1,2)，c＝elnx＝x，∴b>c>a.9．(2021·沈陽市東北育才中學(xué)一模)規(guī)定a?b＝eq\r(ab)＋2a＋b，a、b∈R＋，若1?k＝4，則函數(shù)f(x)＝k?x的值域為()A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[eq\f(7,8)，＋∞) D．[eq\f(7,4)，＋∞)[答案]A[解析]由1?k＝4得2＋k＋eq\r(k)＝4，∴k＝1，∴f(x)＝k?x＝1?x＝x＋eq\r(x)＋2＝(eq\r(x))2＋eq\r(x)＋2>2.10．(2022·北京東城區(qū)聯(lián)考)下列函數(shù)中，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的是()A．y＝lgx B．y＝cosxC．y＝|x| D．y＝sinx[答案]D[解析]y＝|x|與y＝cosx為偶函數(shù)，y＝lgx的定義域為(0，＋∞)，故A、B、C都不對，選D．11．(2022·撫順二中期中)若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點滿足：①點A、B都在函數(shù)f(x)的圖象上；②點A、B關(guān)于原點對稱，則稱點(A，B)是函數(shù)f(x)的一個“姊妹點對”．點對(A，B)與(B，A)可看作是同一個“姊妹點對”，已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2xx<0,\f(2,ex)x≥0))，則f(x)的“姊妹點對”有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個[答案]C[解析]由姊妹點對的定義知，若(A，B)為f(x)的一個姊妹點對，則A、B分別在f1(x)＝x2＋2x(x<0)與f2(x)＝eq\f(2,ex)(x≥0)的圖象上，設(shè)A(x0，y0)，則y0＝xeq\o\al(2,0)＋2x0，B(－x0，－y0)，∴eq\f(2,e－x0)＝－xeq\o\al(2,0)－2x0，∴ex0＝－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)－x0＝－eq\f(1,2)(x0＋1)2＋eq\f(1,2)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝ex(x<0)與y＝－eq\f(1,2)(x＋1)2＋eq\f(1,2)(x<0)的圖象知，兩圖象有且僅有兩個交點，故f(x)的姊妹點對有2個．12．(2021·廬江二中、巢湖四中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2x，正實數(shù)a，b，c滿足a<b<c且f(a)·f(b)·f(c)<0.若實數(shù)d是方程f(x)＝0的一個解，那么下列四個推斷：①d<a②d>a③d>c④d<c中有可能成立的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]∵y＝(eq\f(1,3))x為減函數(shù)，y＝log2x為增函數(shù)，∴f(x)為減函數(shù)，由題意f(d)＝0，又a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，∴f(c)<0，f(a)>0，從而a<d<c，∴②④正確，選B．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上．)13．(2021·寶安中學(xué)、仲元中學(xué)摸底)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________.[答案]eq\f(1,10)[解析]∵函數(shù)f(x)＝2x＋2－xlga是奇函數(shù)，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立．∴2x＋2－xlga＋2－x＋2xlga＝0，即2x＋2－x＋lga(2x＋2－x)＝0恒成立，∴l(xiāng)ga＝－1，∴a＝eq\f(1,10).14．(2022·瀘州市一診)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2，若對任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．[答案](－∞，－5][解析]∵x≥0時，f(x)＝x2，∴f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在R上為增函數(shù)，∵f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，∴x＋a≥3x＋1恒成立，∴a≥2x＋1恒成立，∵x∈[a，a＋2]，∴a≥2(a＋2)＋1，∴a≤－5.15．(2021·洛陽市期中)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋x3,x4＋2x2＋1)的最大值與最小值之積等于________．[答案]－eq\f(1,4)[解析]f(x)＝eq\f(x1＋x2,x2＋12)＝eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，當(dāng)x>0時，x＋eq\f(1,x)≥2等號在x＝1時成立，此時f(x)∈(0，eq\f(1,2)]；當(dāng)x<0時，x＋eq\f(1,x)≤－2，等號在x＝－1時成立，此時f(x)∈[－eq\f(1,2)，0)，又f(0)＝0，∴f(x)∈[－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)]，∴最大值與最小值之積為－eq\f(1,4).16．(2021·泗陽中學(xué)、盱眙中學(xué)聯(lián)考)在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊和斜邊上的高分別為c、h，則eq\f(c＋h,a＋b)的取值范圍是________．[答案](1，eq\f(3\r(2),4)][解析]∵a＝csinA，b＝ccosA，h＝bsinA＝csinAcosA，設(shè)eq\f(c＋h,a＋b)＝y(tǒng)，則y＝eq\f(c＋csinAcosA,csinA＋ccosA)＝eq\f(1＋sinAcosA,sinA＋cosA)，令t＝sinA＋cosA，∵0<A<eq\f(π,2)，∴t＝eq\r(2)sin(A＋eq\f(π,4))∈(1，eq\r(2)]，sinAcosA＝eq\f(t2－1,2)，∴y＝eq\f(1＋\f(t2－1,2),t)＝eq\f(t,2)＋eq\f(1,2t)，∴y′＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2t2)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,t2))>0，∴y＝eq\f(t,2)＋eq\f(1,2t)在(1，eq\r(2)]上為增函數(shù)，∴1<y≤eq\f(3\r(2),4).三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．(本小題滿分12分)(2022·甘肅省金昌市二中期中)已知函數(shù)f(x)＝2ax2＋4x－3－a，a∈R.(1)當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f(x)在[－1,1]上的最大值；(2)假如函數(shù)f(x)在R上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．[解析](1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝2x2＋4x－4＝2(x2＋2x)－4＝2(x＋1)2－6.由于x∈[－1,1]，所以x＝1時，f(x)取最大值f(1)＝2.(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,a≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3a＋2>0，,a≠0，))∴a<－2或－1<a<0或a>0，∴a的取值范圍是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0，＋∞)．18．(本小題滿分12分)(2021·濉溪縣月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．(1)求證：f(x)是周期為4的周期函數(shù)；(2)若f(x)＝eq\r(x)(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]時，函數(shù)f(x)的解析式．[解析](1)證明：由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)．又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故有f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)．從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.當(dāng)x∈[－1,0)時，有－x∈(0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－eq\r(－x).故x∈[－1,0]時，f(x)＝－eq\r(－x).當(dāng)x∈[－5，－4]時，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－eq\r(－x－4)，從而x∈[－5，－4]，函數(shù)f(x)＝－eq\r(－x－4).19．(本小題滿分12分)(2021·莆田市仙游一中期中)已知函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1.設(shè)f(x)＝eq\f(gx,x).(1)求a、b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．[解析](1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，由于a>0，所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g2＝1，,g3＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，由已知可得f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2，所以f(2x)－k·2x≥0可化為2x＋eq\f(1,2x)－2≥k·2x，化為1＋(eq\f(1,2x))2－2·(eq\f(1,2x))≥k，令t＝eq\f(1,2x)，則k≤t2－2t＋1，由于x∈[－1,1]，故t∈[eq\f(1,2)，2]，記h(t)＝t2－2t＋1，由于t∈[eq\f(1,2)，2]，故h(t)max＝1，所以k的取值范圍是(－∞，1]．20．(本小題滿分12分)(文)(2022·長沙調(diào)研)已知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a>0，a≠(1)求a，k的值；(2)當(dāng)x為何值時，f(logax)有最小值？并求出該最小值．[解析](1)由題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a＋k＝4①,log2a2－log2a＋k＝k②))由②得log2a＝0或log2解得a＝1(舍去)或a＝2，由a＝2得k＝2.(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2，當(dāng)log2x＝eq\f(1,2)即x＝eq\r(2)時，f(logax)有最小值，最小值為eq\f(7,4).(理)(2022·南通市調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù)．(1)求k值；(2)若f(1)<0，試推斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范圍．[解析](1)∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴1－(k－1)＝0，∴k＝2，當(dāng)k＝2時f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，f(－x)＝－f(x)成立，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，∴k＝2.另解：∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴a－x－(k－1)ax＝－ax＋(k－1)a－x，整理得(k－2)(ax＋a－x)＝0，又∵ax＋a－x≠0，∴k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－eq\f(1,a)<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1.∵y＝ax單調(diào)遞減，y＝a－x單調(diào)遞增，故f(x)在R上單調(diào)遞減，不等式化為f(x2＋tx)<f(x－4)，∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3<t<5.21．(本小題滿分12分)(2022·吉安一中上學(xué)期期中考試)已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝logaeq\f(1,1－x)，記F(x)＝2f(x)＋g(x)．(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點；(2)若關(guān)于x的方程F(x)－m＝0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．[解析](1)F(x)＝2f(x)＋g(x)＝2loga(x＋1)＋logaeq\f(1,1－x)(a>0且a≠1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,1－x>0，))解得－1<x<1，所以函數(shù)F(x)的定義域為(－1,1)．令F(x)＝0，則2loga(x＋1)＋logaeq\f(1,1－x)＝0(*)方程變?yōu)閘oga(x＋1)2＝loga(1－x)，(x＋1)2＝1－x，即x2＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－3.經(jīng)檢驗x＝－3是(*)的增根，所以方程(*)的解為x＝0，所以函數(shù)F(x)的零點為0.(2)m＝2loga(x＋1)＋logaeq\f(1,1－x)(0≤x<1)，m＝logaeq\f(x2＋2x＋1,1－x)＝loga(1－x＋eq\f(4,1－x)－4)，am＝1－x＋eq\f(4,1－x)－4，設(shè)1－x＝t∈(0,1]，則函數(shù)y＝t＋eq\f(4,t)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù)，當(dāng)t＝1時，x＝0，此時ymin＝5，所以am≥1.①若a>1，則m≥0，方程有解；②若0<a<1，則m≤0，方程有解．22．(本小題滿分14分)(文)(2022·韶關(guān)市曲江一中月考)如圖是函數(shù)f(x)＝eq\f(a,3)x3－2x2＋3a2x的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的簡圖，它與x軸的交點是(1,0)和(3,0)(1)求函數(shù)f(x)的微小值點和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求實數(shù)a的值．[解析](1)由圖象可知：當(dāng)x<1時，f′(x)>0，f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)；當(dāng)1<x<3時，f′(x)<0，f(x)在(1,3)上為減函數(shù)；當(dāng)x>3時，f′(x)>0，f(x)在(3，＋∞)為增函數(shù)；∴x＝3是函數(shù)f(x)的微小值點，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)．(2)f′(x)＝ax2－4x＋3a2，由圖知a>0且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f′3＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a－4＋3a2＝0，,9a－12＋3a2＝0.))∴a＝1.(理)(2022·屯溪一中期中)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)爭辯函數(shù)h(x)＝eq\f(fx,x)的單調(diào)性；(2)假如存在x1、x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(3)假如對任意s、t∈[eq\f(1,2)，2]，都有f(s)>g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．[解析](1)h(x)＝eq\f(a,x2)＋lnx，h′(x)＝－eq\f