【2022決勝高考】人教A版(理)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè)：第二章-函數(shù)與基本初等函數(shù)I-學(xué)案8

學(xué)案8對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)，了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，知道指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a>0，a≠1)，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型．自主梳理1．對(duì)數(shù)的定義假如________________，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作__________，其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，______叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1)①SKIPIF1<0＝____； ②SKIPIF1<0＝____；③SKIPIF1<0＝____； ④SKIPIF1<0＝____.(2)對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1)；②SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，推廣SKIPIF1<0＝________.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝___________________________；②logaeq\f(M,N)＝______________________；③logaMn＝__________(n∈R)；④SKIPIF1<0＝eq\f(n,m)logaM.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：______(2)值域：______(3)過(guò)點(diǎn)______，即x＝____時(shí)，y＝____(4)當(dāng)x>1時(shí)，______當(dāng)0<x<1時(shí)，______(5)當(dāng)x>1時(shí)，______當(dāng)0<x<1時(shí)，______(6)是(0，＋∞)上的______函數(shù)(7)是(0，＋∞)上的______函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)____________互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)______對(duì)稱(chēng)．自我檢測(cè)1．(2010·四川)2log510＋log50.25的值為 ()A．0 B．1 C．2 D．42．(2010·遼寧)設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m的值為 ()A.eq\r(10) B．10 C．20 D．1003．(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)x≥4時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)．則f(2＋log23)的值為 ()A.eq\f(1,24) B.eq\f(1,12) C.eq\f(1,8) D.eq\f(3,8)4．(2010·安慶模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上遞增，f(eq\f(1,3))＝0，則滿(mǎn)足SKIPIF1<0>0的x的取值范圍是 ()A．(0，＋∞) B．(0，eq\f(1,2))∪(2，＋∞)C．(0，eq\f(1,8))∪(eq\f(1,2)，2) D．(0，eq\f(1,2))5．(2011·臺(tái)州期末)已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，則m與n的大小關(guān)系是______.探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值例1計(jì)算：(1)SKIPIF1<0；(2)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(3)已知2lgeq\f(x－y,2)＝lgx＋lgy，求SKIPIF1<0.變式遷移1計(jì)算：(1)log2eq\r(\f(7,48))＋log212－eq\f(1,2)log242－1；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.探究點(diǎn)二含對(duì)數(shù)式的大小比較例2(1)比較下列各組數(shù)的大?。賚og3eq\f(2,3)與log5eq\f(6,5)；②log1.10.7與log1.2(2)已知logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)c，比較2b,2a,2c的大小關(guān)系．變式遷移2(1)(2009·全國(guó)Ⅱ)設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則 ()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．b>c>a(2)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且2a＝SKIPIF1<0，(eq\f(1,2))b＝SKIPIF1<0，(eq\f(1,2))c＝log2c，則 ()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a0C．c<a<b D．b<a<c探究點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，假如對(duì)于任意的x∈[eq\f(1,3)，2]都有|f(x)|≤1成立，試求a的取值范圍．變式遷移3(2010·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，則a＋2b的取值范圍是 ()A．(2eq\r(2)，＋∞) B．[2eq\r(2)，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)分類(lèi)爭(zhēng)辯思想的應(yīng)用例(12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－ax)(a>0，a≠1)．(1)解關(guān)于x的不等式：loga(1－ax)>f(1)；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)AB的斜率小于0.【答題模板】(1)解∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0<a<1.∴不等式可化為loga(1－ax)>loga(1－a)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－ax>0，,1－ax<1－a.))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax<1，,ax>a.))∴0<x<1.∴不等式的解集為(0,1)．[4分](2)證明設(shè)x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.∵1－ax>0，∴ax<1.∴a>1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)；[6分]0<a<1時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．當(dāng)0<a<1時(shí)，∵x2>x1>0，∴SKIPIF1<0<SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0>1.∴SKIPIF1<0<0.∴f(x2)<f(x1)，即y2<y1.同理可證，當(dāng)a>1時(shí)，也有y2<y1.[10分]綜上：y2<y1，即y2－y1<0.∴kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)<0.∴直線(xiàn)AB的斜率小于0.[12分]【突破思維障礙】解決含參數(shù)的對(duì)數(shù)問(wèn)題，不行忽視對(duì)底數(shù)a的分類(lèi)爭(zhēng)辯，即a>1或0<a<1，其次要看定義域，假如將函數(shù)變換，務(wù)必保證等價(jià)性．1．求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟：(1)確定定義域；(2)弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)；(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)，若一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)，即“同增異減”．2．用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小(1)同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較例如，比較logaf(x)與logag(x)的大小，其中a>0且a≠1.①若a>1，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0.②若0<a<1，則logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x)．(2)同真數(shù)的對(duì)數(shù)值大小關(guān)系如圖：圖象在x軸上方的部分自左向右底漸漸增大，即0<c<d<1<a<b.3．常見(jiàn)對(duì)數(shù)方程式或?qū)?shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)＝logag(x)(a>0且a≠1)等價(jià)于f(x)＝g(x)，但要留意驗(yàn)根．對(duì)于logaf(x)>logag(x)等價(jià)于0<a<1時(shí)，SKIPIF1<0a>1時(shí)，SKIPIF1<0(2)形如F(logax)＝0、F(logax)>0或F(logax)<0，一般接受換元法求解．(滿(mǎn)分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·北京市豐臺(tái)區(qū)高三一調(diào))設(shè)M＝{y|y＝(eq\f(1,2))x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，則集合M∪N等于 ()A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)2．(2010·全國(guó)Ⅰ)設(shè)a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，則 ()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a3．(2010·天津)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)(－x)，x<0，))若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)4．(2011·濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx，則有()A．f(eq\f(1,3))<f(2)<f(eq\f(1,2))B．f(eq\f(1,2))<f(2)<f(eq\f(1,3))C．f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))<f(2)D．f(2)<f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))5．(2011·青島模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4) C．2 D．4題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．2lg5＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋lg22＝________.7．(2011·湖南師大附中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(ax＋a－2,x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，則f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________.三、解答題(共38分)9．(12分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值時(shí)x的值．10．(12分)(2011·北京東城1月檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.(1)求f(x)的定義域；(2)推斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)若a>1時(shí)，求使f(x)>0的x的解集．11．(14分)(2011·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．(1)求y＝f(x)的定義域；(2)在函數(shù)y＝f(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn)，使得過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于x軸；(3)當(dāng)a，b滿(mǎn)足什么條件時(shí)，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．答案自主梳理1．a(chǎn)x＝N(a>0，且a≠1)x＝logaNaN2.(1)①N②0③N④1(2)①eq\f(logaN,logab)②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y>0y<0(5)y<0y>0 (6)增(7)減4.y＝logaxy＝x自我檢測(cè)1．C2.A3．A[由于3<2＋log23<4，故f(2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f(3＋log23)．又3＋log23>4，故f(3＋log23)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋log23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·eq\f(1,3)＝eq\f(1,24).]4．B[由題意可得：f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，f(|logeq\f(1,8)x|)>f(eq\f(1,3))，f(x)在[0，＋∞)上遞增，于是|logeq\f(1,8)x|>eq\f(1,3)，解得x的取值范圍是(0，eq\f(1,2))∪(2，＋∞)．]5．m>n解析∵m<0，n<0，∵eq\f(m,n)＝logac·logcb＝logab<logaa＝1，∴m>n.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并，在運(yùn)算中要留意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化．解(1)方法一利用對(duì)數(shù)定義求值：設(shè)SKIPIF1<0＝x，則(2＋eq\r(3))x＝2－eq\r(3)＝eq\f(1,2＋\r(3))＝(2＋eq\r(3))－1，∴x＝－1.方法二利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解：SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝－1.(2)原式＝eq\f(1,2)(lg32－lg49)－eq\f(4,3)lg8eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)lg245＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg(2×5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(3)由已知得lg(eq\f(x－y,2))2＝lgxy，∴(eq\f(x－y,2))2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.∴(eq\f(x,y))2－6(eq\f(x,y))＋1＝0.∴eq\f(x,y)＝3±2eq\r(2).∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y>0，,x>0，,y>0，))∴eq\f(x,y)>1，∴eq\f(x,y)＝3＋2eq\r(2)，∴l(xiāng)og(3－2eq\r(2))eq\f(x,y)＝log(3－2eq\r(2))(3＋2eq\r(2))＝logeq\o\al(,3－2\r(2))eq\f(1,3－2\r(2))＝－1.變式遷移1解(1)原式＝log2eq\f(\r(7),\r(48))＋log212－log2eq\r(42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r(48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1,2\r(2))＝log22－eq\f(3,2)＝－eq\f(3,2).(2)原式＝lg2·(lg2＋lg50)＋lg25＝21g2＋lg25＝lg100＝2.例2解題導(dǎo)引比較對(duì)數(shù)式的大小或證明等式問(wèn)題是對(duì)數(shù)中常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題的方法很多，①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，可轉(zhuǎn)化為同底(利用換底公式)或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較．解(1)①∵log3eq\f(2,3)<log31＝0，而log5eq\f(6,5)>log51＝0，∴l(xiāng)og3eq\f(2,3)<log5eq\f(6,5).②方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.71.1>log0.71.2.∴eq\f(1,log0.71.1)<eq\f(1,log0.71.2)，由換底公式可得log1.10.7<log1.2方法二作出y＝log1.1x與y＝log1.2x的圖象，如圖所示，兩圖象與x＝0.7相交可知log1.10.7<log1.2(2)∵y＝logeq\f(1,2)x為減函數(shù)，且logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<logeq\f(1,2)c，∴b>a>c.而y＝2x是增函數(shù)，∴2b>2a>2變式遷移2(1)A[a＝log3π>1，b＝eq\f(1,2)log23，則eq\f(1,2)<b<1，c＝eq\f(1,2)log32<eq\f(1,2)，∴a>b>c.](2)A[∵a，b，c均為正，∴l(xiāng)ogeq\f(1,2)a＝2a>1，logeq\f(1,2)b＝(eq\f(1,2))b∈(0,1)，log2c＝(eq\f(1,2))c∈(0,1)．∴0<a<eq\f(1,2)，eq\f(1,2)<b<1,1<c<2.故a<b<c.]例3解題導(dǎo)引本題屬于函數(shù)恒成立問(wèn)題，即對(duì)于x∈[eq\f(1,3)，2]時(shí)，|f(x)|恒小于等于1，恒成立問(wèn)題一般有兩種思路：一是利用圖象轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題；二是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．由于本題底數(shù)a為參數(shù)，需對(duì)a分類(lèi)爭(zhēng)辯．解∵f(x)＝logax，則y＝|f(x)|的圖象如右圖．由圖示，可使x∈[eq\f(1,3)，2]時(shí)恒有|f(x)|≤1，只需|f(eq\f(1,3))|≤1，即－1≤logaeq\f(1,3)≤1，即logaa－1≤logaeq\f(1,3)≤logaa，亦當(dāng)a>1時(shí)，得a－1≤eq\f(1,3)≤a，即a≥3；當(dāng)0<a<1時(shí)，得a－1≥eq\f(1,3)≥a，得0<a≤eq\f(1,3).綜上所述，a的取值范圍是(0，eq\f(1,3)]∪[3，＋∞)．變式遷移3C[畫(huà)出函數(shù)f(x)＝|lgx|的圖象如圖所示．∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴0<a<1，b>1，∴l(xiāng)ga<0，lgb>0.由f(a)＝f(b)，∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝eq\f(1,a)，∴a＋2b＝a＋eq\f(2,a)，又0<a<1，函數(shù)t＝a＋eq\f(2,a)在(0,1)上是減函數(shù)，∴a＋eq\f(2,a)>1＋eq\f(2,1)＝3，即a＋2b>3.]課后練習(xí)區(qū)1．C[∵x≥0，∴y＝(eq\f(1,2))x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．當(dāng)0<x≤1時(shí)，y＝log2x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．]2．C[∵eq\f(1,a)＝log23>1，eq\f(1,b)＝log2e>1，log23>log2e.∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>1，∴0<a<b<1.∵a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).b＝ln2>lneq\r(e)＝eq\f(1,2)，∴b>eq\f(1,2).c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))<eq\f(1,2)，∴c<a<b.]3．C[①當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝log2a，f(－a)＝SKIPIF1<0，f(a)>f(－a)，即log2a>SKIPIF1<0＝log2eq\f(1,a)，∴a>eq\f(1,a)，解得a>1.②當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝SKIPIF1<0，f(－a)＝log2(－a)，f(a)>f(－a)，即SKIPIF1<0>log2(－a)＝SKIPIF1<0，∴－a<eq\f(1,－a)，解得－1<a<0，由①②得－1<a<0或a>1.]4．C[由f(2－x)＝f(x)知f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝eq\f(2－x＋x,2)＝1對(duì)稱(chēng)，又當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝lnx，所以離對(duì)稱(chēng)軸x＝1距離大的x的函數(shù)值大，∵|2－1|>|eq\f(1,3)－1|>|eq\f(1,2)－1|，∴f(eq\f(1,2))<f(eq\f(1,3))<f(2)．]5．C[當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)ax，logax的單調(diào)性相同，因此函數(shù)f(x)＝ax＋logax是(0，＋∞)上的單調(diào)函數(shù)，f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由題意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2.即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．]6．37．(1,2)解析由于f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a－2,x)))在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以g(x)＝a＋eq\f(a－2,x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，且g(1)>0，于是a－2<0，且2a－2>0，即1<a<2.8．2008解析令3x＝t，f(t)＝4log2t＋233，∴f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008.9．解∵f(x)＝2＋log3x，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝logeq\o\al(2,3)x＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.……(4分)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,9]，∴要使函數(shù)y＝[f(x)]2＋f(x2)有意義，必需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x2≤9，,1≤x≤9，))∴1≤x≤3，∴0≤