區(qū)間估計(jì)完整版本

第三節(jié)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義正態(tài)整體均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)整體方差的區(qū)間估計(jì)小結(jié)

引言

前面，我們討論了參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).它是本質(zhì)是：用樣本k階矩代替總體k階矩，即用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)總體中的未知參數(shù)。

但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.

譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的估計(jì)為1000條.

若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信N的真值位于其中.這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了.

實(shí)際上，N的真值可能大于1000條，也可能小于1000條.90%可能性包含魚數(shù)的真實(shí)值[

]也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信度或置信水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個(gè)

很小的正數(shù).9951050置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我們求出一個(gè)盡可能小的區(qū)間，使，稱區(qū)間為的置信水平為的置信區(qū)間.一、置信區(qū)間定義設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定滿足X1,X2,…Xn

確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為

的置信區(qū)間.和分別稱為置信下限和置信上限.若由樣本，；這里有兩個(gè)要求:可見，

對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量).

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度

盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.這時(shí)必有二、單個(gè)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)（一）方差已知時(shí)總體均值的區(qū)間估計(jì)0a/2ua/2a/2-ua/21或2例1:設(shè)軸承內(nèi)環(huán)的鍛壓零件的平均高度X服從正態(tài)分布N(μ,0.42).現(xiàn)在從中抽取20只內(nèi)環(huán),其平均高度為32.3毫米.求內(nèi)環(huán)平均高度的置信度為95%的置信區(qū)間.解：解：

經(jīng)計(jì)算可得查表得故所求置信區(qū)間為：（二）方差未知時(shí)總體均值的區(qū)間估計(jì)40a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)解：

這里，1-a=0.99a=0.01a/2=0.005n-1=7

經(jīng)計(jì)算得查表可得從而所以μ的置信度為0.99置信區(qū)間是例4有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(以克計(jì))如下:506508499503504510497512514505493496506502509496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解：這里經(jīng)計(jì)算得查表可得

于是得到的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：三、單個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)3解：

由題意得查表得

算得：

所求置信區(qū)間為(0.038,0.506)例6:

設(shè)某機(jī)床加工的零件長(zhǎng)度今抽查16個(gè)零件，測(cè)得長(zhǎng)度（單位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,在置信度為95%時(shí)，試求總體方差的置信區(qū)間.解：由題意得經(jīng)計(jì)算得：查表得：

算得置信區(qū)間：四、小結(jié)五.兩個(gè)正態(tài)總體均值差

的區(qū)間估計(jì)由于樣本函數(shù)其中對(duì)于給定的置信度1-α