藝體生高考數(shù)學(xué)沖刺-第8講-二項(xiàng)式定理學(xué)生

第8講二項(xiàng)式定理[玩前必備]1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫做二項(xiàng)式展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)(通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即展開(kāi)式的第r＋1項(xiàng)；Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr．2.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1．(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n)．3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，0≤k≤n時(shí)，Ceq\o\al(k,n)與Ceq\o\al(n－k,n)的關(guān)系是Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n).(2)增減性與最大值先增后減中間最大當(dāng)r＜eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；當(dāng)r＞eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第eq\f(n,2)＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，即第eq\f(n＋1,2)項(xiàng)和eq\f(n＋3,2)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．(3)二項(xiàng)式系數(shù)和：二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，(4)二項(xiàng)式展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.[玩轉(zhuǎn)典例]題型一求二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)例1(1)(福建理)(x＋2)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)等于________(用數(shù)字作答)．(2)(重慶理)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,2\r(x))))5的展開(kāi)式中x8的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．例2(2015新課標(biāo)Ⅰ理)(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為()A．10B．20C．30D．60[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．(四川理)在(2x－1)5的展開(kāi)式中，含x2的項(xiàng)的系數(shù)是________(用數(shù)字填寫(xiě)答案)．2．(廣東理)在(eq\r(x)－1)4的展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_______．3.(x＋y)(2x－y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．40D．80題型二已知二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)例3(2018·?？谡{(diào)研)若(x2－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))10的展開(kāi)式中x6的系數(shù)為30，則a等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．1D．2例4若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,ax)))6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為eq\f(15,16)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．±2B.eq\f(1,2)C．－2D．±eq\f(1,2)[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．(x＋a)10的展開(kāi)式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為15，則a＝______.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)2．(湖南理)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展開(kāi)式中含x32的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝()A.eq\r(3)B．－eq\r(3)C．6D．－6題型三二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)例5(湖北理)已知(1＋x)n的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為()A．29B．210C．211D．212例6若(eq\r(x)＋eq\f(2,x2))n展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是()A．360B．180C．90D．45[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1．在(eq\f(x,2)－eq\f(1,\r(3,x)))n的展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()A．－7B．7C．－28D．28題型四賦值法與二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題例7在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和.(2)各項(xiàng)系數(shù)之和.(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.[玩轉(zhuǎn)跟蹤]1.(新課標(biāo)II理)(a＋x)(1＋x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝____________.2.已知(x－eq\f(a,x))8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是()A．28B．38C．1或38D．1或28[玩轉(zhuǎn)練習(xí)]1．(2018全國(guó)卷Ⅲ)的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．802．（2017新課標(biāo)Ⅰ）展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．15B．20C．30D．353．（2017新課標(biāo)Ⅲ）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．80B．40C．40D．804．(2016年四川)設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為()A．－15B．15C．－20D．205.（2019全國(guó)III理4）（1+2x2）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為（）A．12 B．16 C．20 D．246.（2019天津理10）是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.7．(2018天津)在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為．8．(2018浙江)二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是___________．9．（2017浙江）已知多項(xiàng)式=，則=___，=___．10．（2017山東）已知的展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則．11．(2016年山東)若的展開(kāi)式中的系數(shù)是-80，則實(shí)數(shù)a=_______．12．(2016年全國(guó)I)的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)是．（用數(shù)字填寫(xiě)答案）13．（2015北京）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）[玩轉(zhuǎn)高考]1.【2017課標(biāo)1，理6】展開(kāi)式中的系數(shù)為A．15 B．20 C．30 D．352.【2015高考新課標(biāo)1，理10】的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()（A）10（B）20（C）30（D）603.【2016高考新課標(biāo)1卷】的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是.