2023-2024學(xué)年浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：投影（4類題型）（解析版）

第01講投影（4類題型）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.平行投影、中心投影、正投影；

1.掌握平行投影、中心投影和正投影的概念與應(yīng)用；

2.視點(diǎn)、視角和盲區(qū)；

2.掌握視點(diǎn)、視角和盲區(qū)的概念；

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01.平行投影

（1）物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.一般地，用光線照射物體，

在某個(gè)平面（底面，墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做

投影面.

（2）平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射下形成的影子就是平行投影.

（3）平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的.

（4）判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的.如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影.

（5）正投影：在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

【即學(xué)即練1】

1.（2023上?陜西西安?九年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？计谥校└?米的旗桿在陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)6米，同一時(shí)刻同

一地點(diǎn)測(cè)得某建筑物的影子長(zhǎng)24米，則該建筑物的高度是（）

A.6米B.16米C.36米D.96米

【答案】B

【分析】本題主要考查投影中的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)投影的實(shí)際應(yīng)用，在同一時(shí)刻太陽(yáng)光線平行，不同物體的

實(shí)際高度與影長(zhǎng)之比相等建立方程，可求出答案.

【詳解】解：設(shè)建筑物的的高為x米，可得方程：

4_x

6~24,

解得：x=16,

答：此建筑物的高度為16米.

故選：B.

【即學(xué)即練2】

2.（2023下?山東臨沂,九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一束太陽(yáng)光線平行照射在放置于地面的正五邊形，若

4=30。，則N2=（）

A.56°B.66°C.72°D.76°

【答案】B

【分析】根據(jù)正五邊形得到NA￡G=NG4E=72。，利用三角形內(nèi)角和求出NG的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得

出N2.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)54和五”分別交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G和/,

回六邊形ABCDE是正五邊形,

SZAEG=ZGAE=72°,

EING=180°—2x72°=36°,

回NZ7E=NG+N1=66。，

由平行光線知，N2=NFIE=66°；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的性質(zhì)、多邊形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造三角形AGE是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)02.中心投影

（1）中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈光的照射下形成的

影子就是中心投影.

（2）中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時(shí)的投影是放大（即位似變換）的關(guān)

系.

（3）判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點(diǎn)，如果光線是相交于一點(diǎn)，那么所得到的投影就

是中心投影.

3.視點(diǎn)、視角和盲區(qū)

（1）把觀察者所處的位置定為一點(diǎn)，叫視點(diǎn).

（2）人眼到視平面的距離視固定的（視距），視平面左右兩個(gè)邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.

（3）盲區(qū)：視線到達(dá)不了的區(qū)域?yàn)槊^(qū).

【即學(xué)即練3】

3.（2023下?山東泰安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影現(xiàn)象的是（）

A.早上升旗時(shí)地面上旗桿的影子B.上午人走在路上的影子

C.中午用來(lái)乘涼的樹(shù)影D.晚上人走在路燈下的影子

【答案】D

【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到燈光的燈源即可.

【詳解】解：中心投影的燈源為燈光，平行投影的光源為陽(yáng)光與月光，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解中心投影的形成光源為燈光.

【即學(xué)即練4】

4.（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,3）是一個(gè)光源.木桿兩端的坐標(biāo)分別

為（-1,1）,（3,1）.則木桿A2在x軸上的投影長(zhǎng)為（）

A------------------B

--------------------?

Ox

A.2A/3B.372C.5D.6

【答案】D

【分析】延長(zhǎng)上4、PB分別交x軸于A、B',作軸于E,交AB于。，證明4PA得到

ABPD口口-5

=——，即可求解.

ABPE

【詳解】解：延長(zhǎng)"、P8分別交x軸于A、B',作尸軸于E,交AB于。，如圖，

P(2,3),A(-l,l),2(3,1).

:.PD=2,PE=3,AB=4,

AB//AB1,

.-.^PAB^APAB',

幽=歿，即工」

ABPEA'B'3

.-.AB'=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線.物體與投影面平行時(shí)的投影

是放大(即位似變換)的關(guān)系.

題型精講

題型01平行投影

1.(2023上?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時(shí)刻三根

木桿在太陽(yáng)光下的影子合理的是（)

【答案】C

【分析】本題考查了平行平行投影，根據(jù)三根等高的木桿豎直立在平地上，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光

下的影子應(yīng)該同方向、長(zhǎng)度相等且平行，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽(yáng)光下的影子的長(zhǎng)度應(yīng)該相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子合理，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

D、在某一時(shí)刻三根木桿在太陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

2.（2023上?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)?？计谥校┬⊥醯纳砀呤?.6m,他在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)是1.2m,在同一時(shí)刻測(cè)得

某棵樹(shù)的影長(zhǎng)為3.6m,則這棵樹(shù)的高度約為（）m

A.2.4B.3.6C.4.8D.7.2

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，設(shè)這棵樹(shù)的高度為何，根據(jù)同一時(shí)刻物體的高度和物體的影

長(zhǎng)成比例建立方程首=三，解方程即可得到答案.

1.23.6

【詳解】解：設(shè)這棵樹(shù)的高度為由，

團(tuán)同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比例，

「1.6x

0—=—，

1.23.6

解得x=4.8,

團(tuán)設(shè)這棵樹(shù)的高度為4.8m,

故選C.

3.（2023上?陜西西安?九年級(jí)校考期中）日辱是我國(guó)古代利用日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，其原理就是利用太陽(yáng)的

投影方向來(lái)測(cè)定并劃分時(shí)刻，辱針在唇面上所形成的投影屬于投影.（填寫(xiě)"平行"或"中心"）

【答案】平行

【分析】本題考查的是平行投影的概念，根據(jù)太陽(yáng)光是平行光線可以判定辱針在號(hào)面上所形成的投影屬于

平行投影.

【詳解】解：因?yàn)樘?yáng)光屬于平行光線，而日號(hào)利用日影測(cè)定時(shí)刻，所以唇針在唇面上所形成的投影屬于

平行投影.

故答案為：平行.

4.（2023上?四川巴中?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）同一時(shí)刻，物體的高與它的影長(zhǎng)成比例，小明利用這一原理,

測(cè)量一旗桿高度，他自己的身高是1.5米,影長(zhǎng)是1米,又測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)是8米，則旗桿的高度是米.

【答案】12

【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用.在同一時(shí)刻，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成比例，據(jù)此列方程即可解答.

【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x,

根據(jù)題意，物體的實(shí)際高度和影長(zhǎng)成比例，則

x_1.5

W=T，

解得x=12.

故答案為：12.

5.（2023上?福建三明?九年級(jí)永安市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）樹(shù)和木桿C。在同一時(shí)刻的投影如圖所示,

木桿8高2m,影子DE長(zhǎng)4m；若樹(shù)的影子BE長(zhǎng)10m,則樹(shù)A3高多少m?

【答案】樹(shù)河高為5m.

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行投影，解題關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出平行線段.

根據(jù)樹(shù)和杠桿平行列出比例式代入相關(guān)數(shù)據(jù)即可求解.

【詳解】由題意得：與平行，

ABCD

一蕨一赤’

CD=2m,DE=4m,BE=10m,

CD2

...AB=——xBE=-xl0=5m,

DE4

故樹(shù)AB高為5m.

題型02中心投影

1.（2023上?河南鄭州?九年級(jí)校考期中）下列哪種影子不是中心投影（）

A.月光下房屋的影子B.晚上在房間內(nèi)墻上的手影

C.都市霓虹燈形成的影子D.皮影戲中的影子

【答案】A

【分析】本題考查中心投影，由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，由此即可判斷.關(guān)

鍵是掌握中心投影定義.

【詳解】解：晚上在房間內(nèi)墻上的手影，都市冤虹燈形成的影子，皮影戲中的影子，是中心投影，

月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影.

故選：A.

2.（2023上?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）一塊三角形板A5C,BC=12cm,AC=10cm,測(cè)得邊的中心投影用G

長(zhǎng)為24cm,則AC邊的中心投影AG的長(zhǎng)為（）

A.24cmB.20cmC.15cmD.5cm

【答案】B

【分析】由投影得由相似性質(zhì)得4G：AC=AG：BC=2:1,求得4G=20cm.

【詳解】解：回，BC=12cm,=24cm,

0AG:AC=BG:BC=2:1,

ElAC=10cm,

0AG=20cm,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影，相似三角形的性質(zhì)；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2023上?遼寧阜新.九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）三角板在點(diǎn)光源O的照射下形成投影，三角板的頂

點(diǎn)A與其投影的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的位置如圖，經(jīng)測(cè)量Q4:OB=2:5,且三角板的面積為8cm?,則其投影的面積為

B

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，易得三角板與它的投影成相似圖形，再根據(jù)面積比等于相

似比的平方，進(jìn)行列式作答.

【詳解】解：依題意，三角板與它的投影成相似圖形

國(guó)。4:03=2:5,三角板的面積為8cm2

回三角板的面積回其投影的面積=]|：=[

即其投影的面積為50cm2

故答案為：50

4.（2021?貴州?統(tǒng)考一模）如圖，小莉用燈泡。照射一個(gè)矩形硬紙片ABCD,在墻上形成矩形影子AZ'C'D',

現(xiàn)測(cè)得OA=2cm,OA'=5cm,紙片ABCD的面積為8cm2,則影子AB'C'D'的面積為cm2

A'

【答案】50

【分析】易得對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)中心的比值，那么面積比為對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)中心的比值的平方，據(jù)此求解可得.

【詳解】解：OA-.OA,=2:5,

OB:OB'=2:5,

ZAOB=ZA'OB',

AB.AB'=2:5,

矩形ABC。的面積：矩形AB'C'D'的面積為4:25,

又矩形ABCD的面積為8cm2,則矩形AB'CD的面積為50cm2.

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心投影，相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出AB:A9=2:5

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

5.（2023上?陜西榆林?九年級(jí)校考階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的方法，至今仍

有借鑒意義.如圖，身高1.5米的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過(guò)測(cè)量自己的影長(zhǎng)來(lái)估計(jì)路燈燈

泡的高度，具體做法如下：先從路燈底部A沿A"方向走20步到河處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)落在點(diǎn)尸處,

作好記號(hào)后，從點(diǎn)M沿A"方向走4步恰好到達(dá)點(diǎn)P處，此時(shí)他影子的端點(diǎn)在點(diǎn)。處，已知尸,。在同

一水平線上，路燈的燈泡。在上，小王的步間距保持一致.

H

ANAB

AMP

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出燈泡。和影子端點(diǎn)。的位置；

⑵估計(jì)燈泡的高40,并求出影長(zhǎng)PQ的步數(shù).

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解；

24

(2)路燈AO的高為9米，影長(zhǎng)PQ為彳步.

【分析】此題考查了中心投影作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)，

(1)如圖所示，延長(zhǎng)PN交路燈燈柱AH于點(diǎn)。，再連接并延長(zhǎng)交A"延長(zhǎng)線于點(diǎn)。即可；

(2)先證明△尸利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求出AO,同理證一QPAQAO,利用相似

三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出尸。.

熟練掌握投影的特點(diǎn)與相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖所示，路燈。和影子端點(diǎn)。為所求；

H

（2）解：根據(jù)題意知：AOYAM,AM=20步，VP=4步，MN=PB=15m,

MN//AO,

■.PMN^CPAO,

MNMP1.54

——=——,即Hn——=-----,

AOPAAO20+4

解得AO=9；

PB//AO,

:.^QPB-QAO,

.依二尸。1.5二PQ

AOAQ7924+PQ'

24

解得PQ=M；

24

答：估計(jì)路燈AO的高為9米，影長(zhǎng)尸。為胃步.

題型03正投影

1.（2023下?全國(guó),九年級(jí)專題練習(xí)）把一個(gè)正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱

柱時(shí)的正投影是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)正投影的特點(diǎn)及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案.

【詳解】解：把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時(shí)的正投影是矩形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正投影的性質(zhì)，一個(gè)幾何體在一個(gè)平面上的正投影是一個(gè)平面圖形.

2.（2022上?山西大同?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，4耳是線段在投影面P上的正投影，AB=10cm,

/AA2=11O°,則投影Ag的長(zhǎng)為（）

A.lOsin70°cmB.10sin20°cmC.10tan70°cmD.10cos70°cm

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)A作用于點(diǎn)C,根據(jù)解直角三角形即可求得.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作ACL5用于點(diǎn)C,

/.AC=A.B]fNAAC=NAC5I=90。，

0ZACB=180°-90°=90°,

團(tuán)乙精3二110。，

0ABAC=110°-90°=20°,

團(tuán)NABC=90?！?0。=70。，

在RtAABC中，AC=AB-sin/ABB】=10sin70°cm,

:.\BX=10sin70°cm,故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握和運(yùn)用解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2023上?山東青島?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一條線段AB在平面a內(nèi)的正投影為A'B',AB=2拒，A'B'=娓,

則/ABB的度數(shù)為.

【分析】本題考查平行投影，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.過(guò)

A作AC_L85'，交BB’于C點(diǎn).求出sin3的值，可得結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)4作交BB'于C點(diǎn).

國(guó)線段AB在平面a內(nèi)的正投影為A?,AB=2A/2，A'B'=j6,

回ZAA'B'=ZBB'A'=90°,

SACAB',且AC=A3'=n，則/ABC即為所求.

?J6y/3

0sinB=—=

AB2V2-2

43=60°.

故答案為：60°.

4.（2023下?安徽安慶?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，位于第二象限的點(diǎn)A（T3）在無(wú)軸

上的正投影為點(diǎn)A,貝l|cosNAOA=.

【答案】叵

10

【分析】依據(jù)點(diǎn)A（-1,3）在X軸上的正投影為點(diǎn)4,即可得到AO=LA4'=3,AO=JId,進(jìn)而得出

cos/AO4=的值.

【詳解】點(diǎn)A（T,3）在x軸上的正投影為點(diǎn)A，，

EIA'O=1,A4'=3,

0AO=7W,

A:O

回cos/AOA==-7k=—,

OA回10

故答案為：叵

10

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影以及平面直角坐標(biāo)系，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段

長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律.

5.（2022上?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知線段AB=2cm,投影面為P.

⑴當(dāng)AB垂直于投影面尸時(shí)（如圖①）,請(qǐng)畫(huà)出線段A3的正投影；

⑵當(dāng)平行于投影面尸時(shí)（如圖②）,請(qǐng)畫(huà)出它的正投影，并求出正投影的長(zhǎng);

⑶在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)A不動(dòng)，線段繞點(diǎn)A在垂直于投影面尸的平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，請(qǐng)?jiān)趫D③中

畫(huà)出線段的正投影，并求出其正投影的長(zhǎng).

【答案】⑴畫(huà)圖見(jiàn)解析

（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，線段A2的正投影的長(zhǎng)為2cm

⑶畫(huà)圖見(jiàn)解析，線段的正投影的長(zhǎng)為也cm

【分析】（1）根據(jù)投影的作圖方法作圖即可；

（2）根據(jù)投影的作圖方法先作圖，再根據(jù)平行投影的性質(zhì)即可得到AM=4?=2cm；

（3）根據(jù)投影的作圖方法先作圖，再在RtZXABD中求出AD的長(zhǎng)即可得到答案.

【詳解】（［）解：如圖①所示，即為所求；

（2）解：如圖②所示，即為所求；

回A3平行于投影面P,

團(tuán)ABr=AB=2cm；

（3）解：如圖③所示，即為所求；

由題意得AB'=AD,ZADB=90°,/54。=30°,AB=2cm,

0AD=ABcosZ.BAD=J§cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了投影，解直角三角形，正確對(duì)應(yīng)線段的投影是解題的關(guān)鍵.

題型04視點(diǎn)、視角和盲區(qū)

1.（2022?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1為五角大樓的示意圖，圖2是它的俯視圖，小紅站在地面上觀察這

個(gè)大樓，若想看到大樓的兩個(gè)側(cè)面，則小紅應(yīng)站的區(qū)域是（）

c

圖1

圖2

A.A區(qū)域B.B區(qū)域C.C區(qū)域D.三區(qū)域都可以

【答案】C

【分析】根據(jù)視點(diǎn),視角和盲區(qū)的定義，觀察圖形，選出答案.

【詳解】由圖可知，A區(qū)域可以看到一個(gè)側(cè)面，B區(qū)域可以看到三個(gè)側(cè)面，C區(qū)域可以看到兩個(gè)側(cè)面.故選

C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是視點(diǎn)，視角和盲區(qū)在實(shí)際中的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)，難度不大.

2.（2022上?九年級(jí)單元測(cè)試）有一個(gè)高大的五棱柱形建筑物，人站在地面上，不可能同時(shí)看到的是（）

A.2個(gè)側(cè)面B.3個(gè)側(cè)面C.1個(gè)側(cè)面D.4個(gè)側(cè)面

【答案】D

【分析】根據(jù)視點(diǎn)，視角和盲區(qū)的定義，畫(huà)圖解決問(wèn)題.

【詳解】由圖我們可以看出，無(wú)論怎么看，都無(wú)法同時(shí)看到五棱柱的四個(gè)側(cè)面.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)視點(diǎn)，視角和盲區(qū)的認(rèn)識(shí)和理解.

3.（2022?九年級(jí)單元測(cè)試）電影院的座位排列時(shí)，后一排總比前一排高，并且每一橫排呈圓弧形，這是為

了.

【答案】增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等

【分析】從減小盲區(qū)角度可理解后一排總比前一排高，從滿足有相同的視角可理解每一橫排呈圓弧形.

【詳解】電影院的座位排列時(shí)，后一排總比前一排高是為了增加視野，后面的觀眾看清屏幕，每一橫排呈

圓弧形是利用圓周角相等，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

故答案為增加視野，后面的觀眾看清屏幕，保證同一排上的人看屏幕的視角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了視點(diǎn)、視角和盲區(qū)：把觀察者所處的位置定為一點(diǎn)，叫視點(diǎn)；人眼到視平面的距離視

固定的（視距），視平面左右兩個(gè)邊緣到人眼的連線得到的角度就是視角.視線到達(dá)不了的區(qū)域?yàn)槊^(qū).

4.（2022?九年級(jí)單元測(cè)試）現(xiàn)有m,n兩堵墻，兩個(gè)同學(xué)分別站在A處和B處，請(qǐng)問(wèn)小明在哪個(gè)區(qū)域內(nèi)活

動(dòng)才不被這兩個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)（用陰影部分的序號(hào)表示）.

③

【答案】①②③

【分析】根據(jù)圖形找出AB兩點(diǎn)的盲區(qū)即可

【詳解】由圖可知，①②③都在AB兩個(gè)視點(diǎn)的盲區(qū)內(nèi)，因此在這三處，不會(huì)被兩個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)，因此選

①②③.

【點(diǎn)睛】投影和視圖是本題的考點(diǎn)，根據(jù)圖形正確找出盲區(qū)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023上?陜西漢中?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為一盞路燈的燈桿，已知該路燈的燈泡尸位于燈桿

上,地面上豎立著一個(gè)矩形單杠ABCD,已知單杠右側(cè)。桿在路燈燈泡P的照射下的影子末端位于點(diǎn)E處，

已知O、B、C、E在一條直線上，且ABLOE,DCYOE.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中找出路燈燈泡P的位置，并畫(huà)出單杠左側(cè)桿在燈泡P的照射下的影子所；

（2）經(jīng)測(cè)量03=4米，3產(chǎn)=2米，單杠的高度至=2米，請(qǐng)你計(jì)算路燈燈泡距地面的高度OP.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）6米

【分析】（1）連接團(tuán)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，連接上4并延長(zhǎng)交OE于F,點(diǎn)尸和所即為所求;

（2）先求出。尸=6米，證明人鉆尸^^尸。尸，得到四=笆，即=_=2,則尸。=6米.

POOFPO6

【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)尸和所即為所求;

M

（2）解：回03=4米，3尸=2米,

SOF=OB+BF=6^i,

0MOXOE,ABLOE,即PO〃AB,

田△ABFsAPOP,

ABBF22

0--=--,即m----=—

POOFPO6

回尸0=6米,

回路燈燈泡距地面的高度。尸為6米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

A夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2023上?陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)咸陽(yáng)市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.正投影可能是平行投影也可能是中心投影

B.物體在燈光下產(chǎn)生的投影可能是物體的正投影

C.物體在太陽(yáng)光下產(chǎn)生的投影是物體的平行投影

D.電燈的光源距離投影面較遠(yuǎn)的投影就是平行投影

【答案】C

【分析】本題考查平行投影中正投影的相關(guān)知識(shí)，平行投射線垂直于投影面的稱為正投影，解題需掌握正

投影的特點(diǎn).

【詳解】解：A.正投影一定是平行投影，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；

B.物體在燈光下產(chǎn)生的投影不是物體的正投影，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；

C.物體在太陽(yáng)光下產(chǎn)生的投影是物體的平行投影，原說(shuō)法正確，符合題意；

D.電燈的光源距離投影面較遠(yuǎn)的投影不是平行投影，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意.

故選：C.

2.（2023?湖北恩施,?？寄M預(yù)測(cè)）物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān).一個(gè)三角板的

正投影不可能是（）

A.一條線段B.一個(gè)與原三角板全等的三角形

C.一個(gè)等腰三角形D.一個(gè)小圓點(diǎn)

【答案】D

【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關(guān)系逐一分析可得答案.

【詳解】解：當(dāng)三角板所在的平面與投影光線平行時(shí)，可得投影是一條線段，故A不符合題意；

當(dāng)三角板所在的平面與投影光線垂直時(shí)，可得投影是一個(gè)與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；

當(dāng)三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時(shí)，可得投影是一個(gè)變形的三角板，可能為等腰三角形，不

可能是一個(gè)點(diǎn)，故C不符合題意；D符合題意；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)是解本題

的關(guān)鍵.

3.（2022下?九年級(jí)單元測(cè)試）正午時(shí)我們?cè)谔?yáng)下的影子長(zhǎng)度比下午時(shí)我們?cè)谔?yáng)底下的影子的長(zhǎng)度

要.（長(zhǎng)，短）

【答案】短

【分析】根據(jù)太陽(yáng)光不同時(shí)刻照射時(shí)的角度，以及平行投影的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：太陽(yáng)光可理解為平行光線，正午時(shí)刻太陽(yáng)光照射的角度更大，因此我們于地面形成的影子更

短，而下午的時(shí)候，照射時(shí)的角度變小，在地面形成的影子就更長(zhǎng).

故答案為：短.

【點(diǎn)睛】本題考查投影，注意理解太陽(yáng)光是平行光線，并且理解入射角度越大，形成的投影越短，角度越

小，形成的投影越長(zhǎng).

4.（2023上?重慶沙坪壩?九年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）某一時(shí)刻太陽(yáng)光下身高1.5m的小明的影長(zhǎng)為

2m,同一時(shí)刻旗桿的影長(zhǎng)為6m則旗桿的高度為m.

【答案】4.5

【分析】本題考查了平行投影以及相似三角形的性質(zhì)；根據(jù)成比例關(guān)系可知，人身高比上人的影長(zhǎng)等于旗

桿長(zhǎng)比上旗桿的影長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)即可得出答案.

【詳解】解困設(shè)旗桿高度為皿，根據(jù)題意得，

x_1.5

6~~2

解得x=4.5m.

故答案為：4.5.

5.（2023上?陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)咸陽(yáng)市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，某一時(shí)刻，小樹(shù)在太陽(yáng)光下的影子

為BD,依依同學(xué)站在小樹(shù)的影子末端。處（依依同學(xué)的身高用8表示），請(qǐng)你畫(huà)出依依同學(xué)這一時(shí)刻的

影子OE.

【答案】作圖見(jiàn)解析

【分析】本題考查平行投影的作圖，連接過(guò)點(diǎn)C作CE〃仞交HD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)要

注重基礎(chǔ)知識(shí)的新課標(biāo)理念.靈活運(yùn)用性質(zhì)作圖即可.

【詳解】解：如圖，DE即為所求.

EDB

6.（2023上,廣東茂名?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，A3和?！晔侵绷⒃诘孛嫔系膬筛⒅?AB=6m,

某一時(shí)刻A3在陽(yáng)光下的投影3c=4m,在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m.

D

A

CE

/////////////////

⑴請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影EF.

⑵根據(jù)題中信息，求出立柱DE的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵9

【分析】本題考查了投影作圖與相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)幾何結(jié)論是解題關(guān)鍵.

（1）連接AC,過(guò)D作D9〃AC即可完成作圖；

（2）證△ABCS^DEF,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解.

【詳解】（1）解：連接AC,過(guò)D作。/〃AC交BC延長(zhǎng)線于F,

如圖，斯即為DE在陽(yáng)光下的投影：

D

⑦ZACB=NDFE,

又Z4BC=ZD"=90。，

回△ABCs/\DEF,

ABDE

團(tuán)-------，

BCEF

團(tuán)AB=6m,BC=4m,EF=6m,

6DE

0—二---

46

解得：DE=9m,

B能力提升

1.（2023上?陜西西安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）中午12點(diǎn)，身高為165cm的小冰的影長(zhǎng)為55cm,同學(xué)小雪此

時(shí)在同一地點(diǎn)的影長(zhǎng)為60cm,那么小雪的身高為（）.

A.180cmB.175cmC.172cmD.170cm

【答案】A

【分析】本題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用：利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度.設(shè)小雪的身高為xcm,根

據(jù)在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等得到義=笑，然后根據(jù)比例性質(zhì)求X即可.通常利用相似三角形的性

16555

質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等”的原理解決.

【詳解】設(shè)小雪的身高為xcm,根據(jù)題意得

x_60

165-55;

解得x=180.

所以小雪的身高為180cm.

故選A.

2.（2023上?陜西榆林?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是圓桌正上方的燈泡。發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上

形成陰影（圓形）的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m,桌面距離地面1m,若燈泡。距離地面3m（桌面的

厚度忽略不計(jì)），則地面上陰影部分的面積為（）

o

A.24>rm2B.2^m2C.0.81^-m2D.0.36OTn2

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用.證明一OBQs一。4尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AP,根據(jù)圓的

面積公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：如圖，

由題意得，2B=1xl.2=0.6（m）,OQ=OP-PQ=3-1^2（m）,BQ//AP,

OBQ^.OAP,

gp—=-

APOPAP3

解得，AP=0.9(m),

則地面上陰影部分的面積=%x0.92=0.8br(m2),

故選：C.

3.(2023上?福建廈門(mén)?九年級(jí)廈門(mén)市湖濱中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，AB和小是直立在地面上的兩根立柱,

AB=4m,AB在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)3c=2m,在同時(shí)刻陽(yáng)光下DE■的影長(zhǎng)族=3m,則DE的長(zhǎng)為米.

【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行投影，連接AC,DF,證明一ACBS.OEE,根據(jù)對(duì)

應(yīng)邊成比例即可求解.

判定和性質(zhì)，

【詳解】解：如圖，連接AC,DF,

根據(jù)平行投影的性質(zhì)得DF//AC,

ZACB=ZDFE,

又〔ZABC=NDEF=90°,

:.—ACBs二DFE,

；.迪=生,即士二，

DEEFDE3

解得。E=6m,

故答案為：6.

4.（2023上?甘肅張掖?九年級(jí)校考期中）如圖是三角尺在燈泡。的照射下在墻上形成的影子，現(xiàn)測(cè)得

OA=30cm,AA'=20cm,這個(gè)三角尺的面積與它在墻上形成的影子的面積的比是.

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.先根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出三角尺與影子的相似比，再

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可.

【詳解】解：E6M=30cm,A4,=20cm,

團(tuán)OA=50cm,

團(tuán)。4:QA'=20:50=2:5,

回三角尺與影子是相似三角形，

回三角尺的周長(zhǎng)與它在墻上形成的影子的面積的比是4:25,

故答案為：4:25.

5.（2023上?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在地面上豎直安裝著4民E廠三根立柱，在同一時(shí)刻

同一光源下立柱AB，CD形成的影子分別為BG與DH.

1

4(

FBG1DH

⑴通過(guò)作圖判斷此光源下形成的投影是中心投影還是平行投影，并說(shuō)明理由；

⑵作出立柱E尸在此光源下所形成的影子.

【答案】（1）中心投影.理由見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】本題考查了中心投影，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)在同一時(shí)刻同一光源下立柱AB、8形成的影子為3G與。/,連接G4、并延長(zhǎng)交于點(diǎn)

據(jù)此判斷即可；

（2）連接0E并延長(zhǎng)交直線形于/,于是得到結(jié)論.

【詳解】（1）中心投影.

理由：如圖所示，光線G4、"C相交于點(diǎn)O,所以此光源下形成的投影是中心投影.

（2）如圖所示，線段F/為立柱所在此光源下所形成的影子.

0

/、、

,、、、

IFBGDH

6.（2023上?河北張家口?九年級(jí)張北縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，陽(yáng)光（平行光線）通過(guò)窗戶照到廠房

內(nèi)，豎直窗框（8）在地面上留下2米長(zhǎng)的影子（池），窗框影子的一端B到窗下墻腳。的距離為3.6米，

窗口底邊C與地面的距離OC為1.2米.

一

ABE

⑴求窗戶的高度（CD的長(zhǎng)）；

（2）如下圖，隨著平行光線照射角度的變化，窗框影子的一端A沿OE向右移動(dòng)到A,A4，=0.4米，另一端B

恰好移動(dòng)到廠房的另一墻腳E,求8E的長(zhǎng)

°AA'BE

【答案】⑴窗戶的高度為1.5米;

（2）3E=0.9米.

【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的應(yīng)用.

（1）由題意得利用平行線分線段成比例定理即可求解；

（2）由題意得DE〃AC,利用平行線分線段成比例定理求得A%=2.5,再根據(jù)3E=Q4'+AE-O3,求解

即可.

【詳解】（1）解：回陽(yáng)光是平行線，即D3〃AC,

OAOC

團(tuán)n--=---9

ABCD

團(tuán)OC=L2,05=3.6,AB=2,

回OA=OB—AB=1.6,

國(guó)學(xué)=H，解得CD=L5（米），

答：窗戶的高度為L(zhǎng)5米；

（2）解：由題意得DE〃A'C,

OXOC

團(tuán)一;-=，

AECD

團(tuán)

OC=1.2,OA=OA-AA=2,CD=1.5f

「21.2

團(tuán)~：—二—,

AE1.5

回A￡=2.5,

團(tuán)5￡=（M'+A石—05=2+25—3.6=0.9（米），

答：3E=0.9米.

C綜合素養(yǎng)

L（2022?河北石家莊?校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2,2）是一個(gè)光源，木桿兩端的坐標(biāo)

分別為（0,1）,（3,1）,則木桿在x軸上的投影A?長(zhǎng)為（）

【分析】利用中心投影，延長(zhǎng)E4、網(wǎng)分別交無(wú)軸于點(diǎn)A、B',作尸軸于點(diǎn)E,交于點(diǎn)證明

PABPAB',然后利用相似比即可求解.

【詳解】解：延長(zhǎng)上4、PB分別交無(wú)軸于點(diǎn)A、B',作軸于點(diǎn)E,交于點(diǎn)O,如圖，

13尸(2,2),4(0,1),5(3,1),

^PD=1,PE=2,AB=3,

^ZPAB=ZPA!B',ZPBA=ZPB'A',

S_PABPA'B',

ABPD31

13—；—r=----,BnJn—；一~~=一，

ABPEA'B'2

^AB=6,

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影，熟練掌握中心投影的概念證明一上旬PAE是解題的關(guān)鍵.

2.（2023上?河北石家莊?九年級(jí)統(tǒng)考期中）某一時(shí)刻，與地面垂直的長(zhǎng)2m的木桿在地面上的影長(zhǎng)為1m.同

一時(shí)刻，樹(shù)A3的影子一部分落在地面上，一部分落在坡角為45。的斜坡上，如圖所示.已知落在地面上的

影長(zhǎng)4C為2m.落在斜坡上的影長(zhǎng)。為2m.根據(jù)以上條件，可求出樹(shù)高42為（）.（結(jié)果精確到0.1m）

A.4.0mB.4.2mC.8.0mD.8.2m

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形，平行投影，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，掌握同一時(shí)刻太陽(yáng)光

下，物長(zhǎng)和影長(zhǎng)成比例，是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)。作DE1AC于點(diǎn)E,連接3。并延長(zhǎng)，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)孔

易得CD=CE=gm，根據(jù)長(zhǎng)2m的木桿在地面上的影長(zhǎng)為1m,得出叁=當(dāng)=2,則=

EFAF22

求出AP=AC+CE+EF=[2+-^—Jm,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DE/AC于點(diǎn)E,連接8。并延長(zhǎng)，交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)七

0DEJ.AC,ZDCE=45°,CD=2m,

0DE=CE=CDcos45°=2x—=V2m,

2

團(tuán)長(zhǎng)2nl的木桿在地面上的影長(zhǎng)為lm,

回"=2=2,貝l]￡^=！￡)E=^m,

EF122

^AF=AC+CE+EF=2+^—m,

I2J

團(tuán)長(zhǎng)2m的木桿在地面上的影長(zhǎng)為Im,

0—=2=2,貝I]A3=2AF=(4+3應(yīng))m合8.2(m),

AF1、)

故選：D.

3.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)校聯(lián)考期中）在“測(cè)量物體的高度”活動(dòng)中，小麗在同一時(shí)刻陽(yáng)光下，測(cè)得

一根長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為0.8米：測(cè)量樹(shù)的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學(xué)樓的第一級(jí)臺(tái)階

上（如圖），落在地面上的影長(zhǎng)為4.8米，一級(jí)臺(tái)階高為0.25米，落在第一級(jí)臺(tái)階上的影子長(zhǎng)為0.2米，則

樹(shù)高度為米.

【答案】6.5

【分析】求出臺(tái)階同等高度的大樹(shù)的影子的長(zhǎng)度，然后根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列式求出樹(shù)的高度

一部分，再加上臺(tái)階的高度計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例，如圖所示：

A

G

BDC

則其中A5為樹(shù)高，所為樹(shù)影在第一級(jí)臺(tái)階上的影長(zhǎng)，5。為樹(shù)影在地上部分的長(zhǎng)，的長(zhǎng)為臺(tái)階高，并

且由光沿直線傳播的性質(zhì)可知即為樹(shù)影在地上的全長(zhǎng)，延長(zhǎng)正交于G,則RJABCSRKAGE,

AGAB1

°GFBC0.8'

0GF=O.8AG,

又⑦GF=GE+EF,BD=GE,

ElGP=4.8+02=5,

回AG=6.25,

SAB=AG+GB=6.5,

即樹(shù)高為6.5米，

故答案為：6.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似

比，列出方程，通過(guò)解方程求解，加上GB的長(zhǎng)即可，解此題的關(guān)鍵是找到各部分以及與其對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng).

4.（2023上?河北邢臺(tái)?九年級(jí)邢臺(tái)三中校聯(lián)考期中）公元前6世紀(jì)，古希臘學(xué)者泰勒斯用圖1的方法巧測(cè)金

字塔的高度.如圖2,小明仿照這個(gè)方法，測(cè)量圓錐形小山包的高度，已知圓錐底面周長(zhǎng)為62.8m.先在小

山包旁邊立起一根木棒，當(dāng)木棒影子長(zhǎng)度等于木棒高度時(shí)，測(cè)得小山包影子A2長(zhǎng)為23m（直線AB過(guò)底面

圓心），貝！I：

（1）小山包的半徑為m；

（2）小山包的高為m.（乃取3.14）

【答案】1033

【分析】此