高等數(shù)學07講課教案

*四、微分在估計誤差中的應用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對誤差稱為a

的相對誤差若稱為測量

A

的絕對誤差限稱為測量

A

的相對誤差限誤差傳遞公式:已知測量誤差限為按公式計算y值時的誤差故y的絕對誤差限約為相對誤差限約為若直接測量某量得x,例7.

設測得圓鋼截面的直徑

測量D的

絕對誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計算A

的絕對誤差限約為

A

的相對誤差限約為試估計面積的誤差.計算(mm2)費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理且存在證:設則費馬證畢注意:1)定理條件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.拉氏證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論:若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在

I上必為常數(shù).證:在I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則例.

證明等式證:設由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:例.

證明不等式證:設中值定理條件,即因為故因此應有三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點使?jié)M足:問題轉(zhuǎn)化為證柯西構造輔助函數(shù)例.設至少存在一點使證:問題轉(zhuǎn)化為證設則在[0,1]上滿足柯西中值定理條件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點

,使即證明一、存在(或為)定理1.型未定式(洛必達法則)推論1.定理1中換為下列過程之一:推論2.若理1條件,則條件2)作相應的修改,定理1仍然成立.洛必達法則定理1例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達法則!洛洛例2.求解:原式洛二、型未定式存在(或為∞)定理2.(洛必達法則)說明:定理中換為之一,條件2)作相應的修改,定理仍然成立.定理2例3.

求解:原式例4.求解:

n為正整數(shù)的情形.原式洛洛洛3)若例如,極限不存在不能用洛必達法則!即注：（1）羅必塔法則只適用于和型；（2）存在，且；（3）是對分子分母分別求導，而不是對整個分式求導；（4）當不存在時，不能用羅必塔法則。課堂練習：求極限（1）（2）（3）三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例.求解:原式洛解:原式例.求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化洛例.求解:

例5通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例.求解:注意到原式洛極限求法——1.利用極限的運算法則和函數(shù)的連續(xù)性；2.利用恒等變形后計算；6.利用羅必塔法則。5.利用等價無窮??；3.利用兩個重要極限；4.利用無窮小的性質(zhì)；麥克勞林(Maclaurin,C.1698-1746,蘇格蘭)

泰勒(Taylor,B.1685-1731,英國)

一、泰勒公式問題的提出根據(jù)函數(shù)的微分,有

f(x)=f(x0)+f

(x0)(x-x0)+o(x-x0)(當|x-x0|很小時),

略掉o(x-x0),得到求f(x)的近似公式

f(x)

f(x0)+f

(x0)(x-x0)(當|x-x0|很小時),

其誤差為

R(x)=f(x)-f(x0)-f

(x0)(x-x0).

近似公式的不足:精確度不高,誤差難于估計.

下頁公式①稱為的n

階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項.泰勒(Taylor)中值定理:階的導數(shù),時,有①其中②則當泰勒公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立稱為麥克勞林(Maclaurin)公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中麥克勞林公式其中麥克勞林公式麥克勞林公式類似可得其中其中麥克勞林公式已知其中因此可得麥克勞林公式三、泰勒公式的應用1.在近似計算中的應用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項數(shù)n;2)已知項數(shù)n和x,計算近似值并估計誤差;3)已知項數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.例1.

計算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:已知令x=1,得由于欲使由計算可知當n=9時上式成立,因此的麥克勞林公式為2.利用泰勒公式求極限例.求一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.設函數(shù)則在I內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:無妨設任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I內(nèi)可導,證畢確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：1.確定函數(shù)的定義域；2.求出定義域中一階導數(shù)等于零及一階導數(shù)不存在的點（按從小到大的順序排列）；3.以這些點為端點，把定義域劃分為若干個互不重疊的小區(qū)間，在這些小區(qū)間上，利用一階導數(shù)的符號，進行判斷。例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例2.

證明時,成立不等式證明定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點,稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小值點,稱為函數(shù)的極小值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.一、函數(shù)的極值及其求法注意:為極大值點為極小值點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為

0

或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點,是極大值是極小值為極小值點,函數(shù)定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,(自證)點擊圖中任意處動畫播放\暫停求極值的方法2.求出一階導數(shù)等于零或不存在的點；3.用第一充分條件或第二充分條件來判別這些點是否為極值點，是極大值點還是極小值點；4.求出極大值點和極小值點的函數(shù)值，即得函數(shù)的極大值和極小值。1.確定函數(shù)y=f(x)的定義域；例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大值點，其極大值為是極小值點，其極小值為定理（第二充分條件）設函數(shù)f(x)在點x0具有二階導數(shù)，且f

(x0)=0，那么：(1)若f(x0)<0，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值f(x0)；(2)若f(x0)>0，函數(shù)f(x)在x0處取得極小值f(x0)；(3)若f(x0)=0，則不能判定f(x0)是否為極值。定義.設函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點稱為拐點.拐點定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則f(x)在I內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則f(x)在

I內(nèi)圖形是凸的.設函數(shù)在區(qū)間I上有二階導數(shù)例.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,對應例.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸例.求曲線的拐點.例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導數(shù)不變號,注：拐點是曲線上f(x)的點，故拐點的正確記法應為(x0,f(x0))，而不能說x=x0是拐點，也不能說f(x0)為拐點。求出函數(shù)f(x)在[a,b]上的所有極值點的函數(shù)值，以及端點的函數(shù)值f(a)和f(b)，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。求最值的方法實際問題中，若可導函數(shù)在某一區(qū)間有唯一的駐點，則該點就是最值點。是最大值還是最小值要看實際問題是求最大值還是求最小值。(k為某常數(shù))例鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運為使貨物從B運到工

20解:設則令得又所以為唯一的極小值點,故AD=15km時運費最省.總運費廠C的運費最省,從而為最小值點,問D點應如何取?Km,公路,價之比為3:5,