備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-§9-13-圓錐曲線中定點與定值問題

第九章平面解析幾何§9.13圓錐曲線中定

點與定值問題例1

(12分)(2022·全國乙卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，－2)，B

兩點.(1)求E的方程；[切入點：待定系數(shù)法設(shè)橢圓方程、代點](2)設(shè)過點P(1，－2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足

.證明：直線HN過定點.[關(guān)鍵點：利用直線MN的斜率不存在找到定點]題型一定點問題求解直線或曲線過定點問題的基本思路(1)把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點.(2)由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)＝kx＋m，則直線必過定點(0，m).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2023·鄭州質(zhì)檢)已知橢圓C：

＝1(a>b>0)的上頂點和兩焦點構(gòu)成的三角形為等腰直角三角形，且面積為2，點M為橢圓C的右頂點.(1)求橢圓C的方程；又a2－b2＝c2，則a＝2，(2)若經(jīng)過點P(t,0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點，實數(shù)t取何值時以AB為直徑的圓恒過點M?由(1)知M(2,0)，若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝t(－2<t<2)，若直線l的斜率存在，不妨設(shè)直線l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因為k不恒為0，題型二定值問題例2

(2022·蚌埠模擬)已知雙曲線C：

＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；∵虛軸長為4，∴2b＝4，即b＝2，∵直線2x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，(2)記雙曲線C的左、右頂點分別為A，B，過點T(2,0)的直線l交雙曲線C于點M，N(點M在第一象限)，記直線MA的斜率為k1，直線NB的斜率為k2，求證：

為定值.由題意知，A(－1,0)，B(1,0)，由題可知，直線l的斜率不能為零，故可設(shè)直線l的方程為x＝ny＋2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值.(2)求點到直線的距離為定值.利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得.(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2022·鄭州模擬)已知點F(0,1)，直線l：y＝4，P為曲線C上的任意一點，且|PF|是P到l的距離的

.(1)求曲線C的方程；(2)若經(jīng)過點F且斜率為k(k≠0)的直線交曲線C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點H，設(shè)經(jīng)過點F且斜率為k(k≠0)的直線的方程為y＝kx＋1，與曲線C的方程聯(lián)立得

消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立，課時精練1.已知拋物線C：x2＝2py(p>0)與圓O：x2＋y2＝12相交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)為

F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.(1)求拋物線C的方程；1234基礎(chǔ)保分練(2)過點M，N作拋物線C的切線l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交點，求證：點P在定直線上.12341234設(shè)直線MN的方程為y＝kx＋1，代入x2＝4y，得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，所以點P在y＝－1上，結(jié)論得證.1234(2)設(shè)Q(1,0)，直線x＝t(t∈R)不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線BQ與C交于另一點D，證明：直線AD過定點M.12341234顯然直線BQ的斜率不為零，設(shè)直線BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，依題意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，即m2>2且m2≠3，1234令y＝0，1234所以直線AD過定點M(3,0).1234綜合提升練1234所以曲線C是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓(不含左右頂點).(2)過點D(2,0)的直線l交C于P，Q兩點，過點P作直線x＝3的垂線，垂足為G，過點O作OM⊥QG，垂足為M.證明：存在定點N，使得|MN|為定值.12341234由(1)知直線l與x軸不重合，可設(shè)l：x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝24m2＋24>0，1234則直線QG的方程為y－y1＝2y1(x－3)，1234因為OM⊥QG，所以△OHM為直角三角形，12344.(2022·杭州質(zhì)檢)如圖，已知橢圓C1：

＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P為橢圓C2上的動點且在第一象限，直線PA，PB分別交橢圓C1于E，F(xiàn)兩點，連接EF交x軸于Q點，過B點作BH交橢圓C1，C2于G，H點，且BH∥PA.(1)證明：kBF·kBG為定值；拓展沖刺練12341234(2)證明：直線GF過定點，并求出該定點；1234當(dāng)直線GF的斜率存在時，設(shè)GF的方程為y＝k(x－t)(k≠0)，則Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，1234約去k2并化簡得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合題意，舍去)，此時直線GF