貴州省遵義市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷【含答案解析】

貴州高一數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí).選出每小題答案后，川鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng).用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后.將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)第四章.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求集合，再根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】集合，，則.故選：B.2.已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立即可求出a的取值范圍.【詳解】∵命題“，”為真命題，∴，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)可判斷B，利用函數(shù)奇偶性的判斷以及其解析式即可判斷C，根據(jù)常見冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)A，設(shè)，其定義域?yàn)?，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，可知其不具備奇偶性，故B錯(cuò)誤，對(duì)C，當(dāng)，，可知其在上單調(diào)遞減，設(shè)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確，對(duì)D，根據(jù)冪函數(shù)圖象與性質(zhì)知為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除A，B；易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且增加幅度較為緩和，所以D錯(cuò)誤.故選：C5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、單調(diào)性以及充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.若m是方程的根，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可判斷.【詳解】設(shè)函數(shù)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即方程的根m的取值范圍為.故選：A.7.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加：停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出．【詳解】在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數(shù)，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．排除B．能反映血液中藥物含量隨時(shí)間變化的圖象是C．故選：C．8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算，都與比較大小，即可判斷.【詳解】∵，∴，∴，∴.∵，∴，∴，∴，∴.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，且，則，，B.若，且，則，，C.函數(shù)的最小值為10D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】對(duì)于A，若，且，則，，，當(dāng)時(shí)成立，故A正確；對(duì)于B，若，且，則，，，當(dāng)時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的最小值為10，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，則，故D正確.故選：BC.10.設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為2 D.的最小值為8【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用均值不等式逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】對(duì)于A，∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為2，故C正確；對(duì)于D，∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為8，故D正確.故選：CD.11.定義表示不大于x的整數(shù)，設(shè)函數(shù)，則下列命題正確的有（）A.B.若，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增D.使得不等式恒成立的a的最小值是1【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意直接代入運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：令，解得，即可得結(jié)果；對(duì)于C：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：整理可得都成立，分和兩種情況，參變分離運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，令，得，則或，因?yàn)?，則，可知方程無(wú)解，即方程只有一個(gè)解，所以若，則的圖象與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則在上不單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可化為，當(dāng)時(shí)，無(wú)論a取何值，都成立，當(dāng)時(shí)，可化為，即恒成立，因?yàn)?，則，可得，所以使得不等式恒成立的a的最小值是1，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域是_________.【答案】且【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法列不等式，解不等式即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以該函數(shù)的定義域?yàn)榍?，故答案為：?13.設(shè)函數(shù)，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的定義運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以.故答案：.14.函數(shù)，若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由，可得，構(gòu)造新函數(shù)，易知在上單調(diào)增加，根據(jù)單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，因?yàn)閷?duì)于任意，當(dāng)時(shí)，都有，即，所以在上恒成立.令，則當(dāng)時(shí)，恒有，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，顯然符合題意，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，由題意可得，解得或.綜上，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.化簡(jiǎn)求值（需要寫出計(jì)算過(guò)程）.（1）；（2）.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】原式.【小問(wèn)2詳解】原式.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分別求兩個(gè)集合，再求并集；（2）根據(jù)，再分和兩種情況，列式求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，故.【小問(wèn)2詳解】∵，∴.若，則，解得；若，則，解得.故實(shí)數(shù)取值范圍為.17.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；（3）證明：在上單調(diào)遞減.【答案】（1）（2）偶函數(shù)，理由見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用賦值法即可求得；（2）利用賦值構(gòu)造或代換得到與關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)奇偶性；（3）賦值構(gòu)造出得表達(dá)式，再運(yùn)用定義證明函數(shù)單調(diào)性【小問(wèn)1詳解】∵，∴令，則，解得.【小問(wèn)2詳解】為偶函數(shù).理由如下：令，則.又∵，∴.令，則，即，∴是偶函數(shù).【小問(wèn)3詳解】且，則，，則，∴，∴，即.故在上單調(diào)遞減.18.我們知道，函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)．（1）利用上述結(jié)論，證明：函數(shù)的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱圖形；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性（無(wú)需證明），并解關(guān)于x的不等式：．【答案】（1）證明見解析（2）為減函數(shù)，答案見解析【解析】【分析】（1）由題，證明為奇函數(shù)即可；（2）由題可得為減函數(shù)，又結(jié)合（1）結(jié)論可知，后分類討論的值解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，只需證明為奇函數(shù)，又，易知函數(shù)定義域?yàn)?，所以為奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于成中心對(duì)稱圖形．【小問(wèn)2詳解】易知為增函數(shù)，且，對(duì)任意恒成立，所以為減函數(shù).又由（1）知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即，所以原不等式等價(jià)于，所以，即，由解得，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及函數(shù)新定義，以及利用新定義結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.本題關(guān)鍵是讀懂信息，第一問(wèn)將證明函數(shù)對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)奇偶性，第二問(wèn)則利用所得結(jié)論將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為含參二次不等式.19.已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（1）已知函數(shù)，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）將的解析式上下同除，將分母變?yōu)橐阎瘮?shù)形式，換元后求其值域，再按復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求的值域；（2）將原條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上的值域包含在上的值域，再按