【名師一號】2020-2021學年高中數(shù)學人教B版必修2雙基限時練24(第二章)

雙基限時練(二十四)基礎(chǔ)強化1．直線3x＋4y－13＝0與圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．相切 D．不能確定解析題中圓的圓心為(2,3)，半徑為1，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|3×2＋4×3－13|,5)＝1，∴直線與圓相切．答案C2．直線x＝2被圓(x－a)2＋y2＝4所截得的弦長為2eq\r(3)，則a的值為()A．－1或－3 B.eq\r(2)或－eq\r(2)C．1或3 D.eq\r(3)解析2eq\r(4－|a－2|2)＝2eq\r(3)，∴|a－2|＝1.∴a＝3，或a＝1.答案C3．已知P是圓(x－3)2＋y2＝1上的動點，則點P到直線y＝x＋1的距離的最小值為()A．3 B．2eq\r(2)C．2eq\r(2)－1 D．2eq\r(2)＋1解析圓上的點到直線的最近距離等于圓心到直線的距離減去半徑．∵d＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，∴P到直線y＝x＋1的距離的最小值為2eq\r(2)－1.答案C4．若直線y＝kx＋4＋2k與曲線y＝eq\r(4－x2)有兩個公共點，則k的取值范圍是()A．解析曲線y＝eq\r(4－x2)表示圓心在原點，半徑為2的圓在x軸上方的半個圓，如圖所示，直線y＝kx＋4＋2k過定點(－2,4)，當直線過(2,0)時，k＝eq\f(4－0,－2－2)＝－1.當直線與圓在第一象限相切時，k＝－eq\f(3,4).∵直線與圓有兩個公共點，∴k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4))).答案B5．過圓x2＋y2－4x＝0外一點P(m，n)作圓的兩條切線，當這兩條切線相互垂直時，m、n應滿足的關(guān)系是()A．(m－2)2＋n2＝4 B．(m＋2)2＋n2＝4C．(m－2)2＋n2＝8 D．(m＋2)2＋n2＝8解析圓x2＋y2－4x＝0的圓心為(2,0)，半徑為2.∵過點P的兩條切線相互垂直，∴由切線及半徑組成的四邊形為正方形，∴eq\r(m－22＋n2)＝2eq\r(2)，∴(m－2)2＋n2＝8.答案C6．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1相交，則()A．a(chǎn)2＋b2<1 B．a(chǎn)2＋b2>1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1 D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1解析由題意，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即eq\f(1,\r(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))<1，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1.答案D7．經(jīng)過A(2，－1)和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上的圓的方程為________．解析設(shè)圓心(a，－2a∴r＝eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f(|a－2a－1|,\r(2))，∴a＝1.∴圓的半徑r＝eq\r(2)，∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.答案(x－1)2＋(y＋2)2＝28．已知圓C：(x－1)2＋y2＝1與直線l：x－2y＋1＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝________.解析圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|1＋1|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(4,5))＝eq\f(2\r(5),5).答案eq\f(2\r(5),5)能力提升9．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點共有________個．答案3個10．已知直線l1：ax＋y－2＝0，l2：(3a－4)x－y－1＝0，且l1∥l2，求以N(1,1)為圓心，并且與l2解∵l1∥l2，∴當a≠0時，eq\f(3a－4,a)＝－1≠eq\f(1,2)，∴a＝1，經(jīng)檢驗，當a＝0時l1與l2不平行，故a＝0舍去，∴l(xiāng)2：x＋y＋1＝0，∵圓與l2相切，∴r＝eq\f(|1＋1＋1|,\r(12＋12))＝eq\f(3\r(2),2).∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(9,2).11．已知圓x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m(1)求證：不論m為何值，圓心總在同一條直線l上．(2)與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離？解(1)將圓的方程配方得(x－3m)2＋2＝25.設(shè)圓心為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3m，,y＝m－1，))消去m，得x－3y－3＝0.∴圓心恒在直線l：x－3y－3＝0上．(2)設(shè)與l平行的直線是l′：x－3y＋b＝0，圓心(3m，m－1)到直線l′的距離為d＝eq\f(|3m－3m－1＋b|,\r(10))＝eq\f(|3＋b|,\r(10)).∵半徑r＝5，∴當d<r，即－5eq\r(10)－3<b<5eq\r(10)－3時，直線與圓相交；當d＝r，即b＝±5eq\r(10)－3時，直線與圓相切；當d>r時，即b<－5eq\r(10)－3或b>5eq\r(10)－3時，直線與圓相離．12．已知圓C：(x－1)2＋y2＝9內(nèi)有一點P(2,2)，過點P作直線l交圓C于A、B兩點．(1)當直線l過圓心時，求直線l的方程；(2)當直線l的斜率為1時，求AB的長．解(1)圓心C(1,0)，∵直線l過點P(2,2)與圓心，∴直線l的方程eq\f(y－0,2－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即2x－y－2＝0.(2)直線l的方程為x－y＝0，則圓心到直線l的距離為d＝eq\f(|1－0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∵r＝3，∴|AB|＝2eq\r(9－\f(1,2))＝eq\r(34).品味高考13．過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方程為()A．