【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)》

第6課時(shí)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.能利用單位圓中的余弦線畫出余弦函數(shù)的圖像.2.能類比正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)得出余弦函數(shù)的性質(zhì).3.能理解余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義.4.會(huì)求簡潔函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間.假如函數(shù)y=cos(x3+φ)(0<φ<π)的一條對(duì)稱軸方程為x=9π4,那么φ值是不是也可仿照正弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求法得出?在此條件下函數(shù)y=sin(2x-φ)(0≤x<π問題1:余弦函數(shù)的圖像的作法(1)平移法:余弦函數(shù)y=cosx的圖像可以通過將正弦曲線y=sinx的圖像向平移個(gè)單位長度得到(如圖).

(2)五點(diǎn)法:余弦曲線在[0,2π]上起作用的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為.

問題2:余弦函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間(1)定義域?yàn)?(2)值域?yàn)?(3)單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.

問題3:余弦函數(shù)的周期、奇偶性、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心(1)周期T=;(2)偶函數(shù);(3)對(duì)稱軸為;

(4)對(duì)稱中心為.

問題4:余弦函數(shù)的復(fù)合函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間(1)當(dāng)ωx+φ=π2+kπ時(shí),即為對(duì)稱中心(2)當(dāng)ωx+φ=kπ時(shí),即為對(duì)稱軸;

(3)當(dāng)ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]時(shí),求得x屬于的區(qū)間為區(qū)間;當(dāng)ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]時(shí),求得x屬于的區(qū)間為區(qū)間.(注:以上k∈Z)

1.已知函數(shù)f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π2]C.函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)2.y=1+cosx(x∈0,2π)的圖像與直線y=32的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.33.對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx的圖像,有以下描述:①向左、向右無限伸展;②與y=sinx的外形完全一樣,只是位置不同;③與x軸有很多個(gè)交點(diǎn);④關(guān)于y軸對(duì)稱.其中描述正確的是.

4.求下列函數(shù)的最大值和最小值:(1)y=1-12cosx;(2)y=3+2cos(作函數(shù)的圖像用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=2+3cosx在x∈[0,2π]內(nèi)的圖像.余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求f(cosx)的定義域;(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域.余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x+acosx+58a-32在閉區(qū)間[0,π2]上的最大值是1?若存在,求出對(duì)應(yīng)的a值;若不存在畫出函數(shù)y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的圖像.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(12)=0,△ABC的內(nèi)角A滿足f(cosA)≤0,求角A的取值范圍已知-π6≤x≤π4,求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1-sinx)1.若實(shí)數(shù)a使得方程cosx=a在[0,2π]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,則sin(x1+x2)等于().A.0 B.1 C.-12 D.-2.在[0,2π]上,函數(shù)y=cosx與直線y=1圍成的封閉圖形的面積是().A.π B.2π C.3π D.π3.函數(shù)y=f(cosx)的定義域?yàn)閇2kπ-π6,2kπ+2π3](k∈Z),則函數(shù)y=f(x)4.求函數(shù)y=2cosx-(2011年·全國大綱卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cosωx(ω>0),將y=f(x)的圖像向右平移π3個(gè)單位長度后,所得的圖像與原圖像重合,則ω的最小值等于()A.13 B.3 C.6 D.考題變式(我來改編):第6課時(shí)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)問體系梳理問題1:(1)左π2(2)(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(問題2:(1)R(2)[-1,1](3)[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)問題3:(1)2π(3)x=kπ(4)(π2+kπ,0)問題4:(1)((2k+1)π-2φ2ω,0)(2基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.Dy=sin(x-π2)=-cosx,由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知A,B,C均正確,故選D2.C作出y=1+cosx(x∈0,2π)的圖像,如圖所示,直線y=32與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,也可直接聯(lián)立兩函數(shù)方程得cosx=12(x∈[0,2π3.①②③④由函數(shù)y=cosx的圖像可知①②③④都正確.4.解:(1)∵1-12cosx≥0,-∴當(dāng)cosx=-1時(shí),ymax=62當(dāng)cosx=1時(shí),ymin=22(2)∵-1≤cos(2x+π3)≤1∴當(dāng)cos(2x+π3)=1時(shí),ymax=5當(dāng)cos(2x+π3)=-1時(shí),ymin=1重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】x0ππ32πy=cosx10-101y=2+3cosx52-125如圖所示:【小結(jié)】加強(qiáng)對(duì)比正弦、余弦函數(shù)五點(diǎn)法的區(qū)分及聯(lián)系,留意所畫圖像要用光滑的曲線連接起來,不能畫成直線.探究二:【解析】【解析】(1)由題意可知0≤cosx≤1?2kπ-π2≤x≤2kπ+π2(k∈∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ-π2≤x≤2kπ+π2,k∈Z(2)由sin(cosx)>0得2kπ<cosx<2kπ+π(k∈Z).又∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1,解得2kπ-π2<x<2kπ+π2(k∈Z故所求定義域?yàn)閧x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z【小結(jié)】求三角函數(shù)的定義域時(shí),通常轉(zhuǎn)化為解三角不等式,其常用的方法有兩種:一是圖像法;二是三角函數(shù)線法.探究三:【解析】y=1-cos2x+acosx+58a-=-(cosx-12a)2+a24+5當(dāng)0≤x≤π2時(shí),0≤cosx≤1,∴當(dāng)cosx=12a,且0≤12a≤1,即1≤a≤2時(shí),ymax=a24+58a-12=1,即2a2+5a-12=0,解得a1=32,a2=-4∴存在a=32符合題設(shè)[問題]以上解答過程完全嗎?[結(jié)論]不完全,由于y有最大值時(shí)不肯定是cosx=12a;留意此處要對(duì)12a<0、0≤12a≤1、12于是,正確解答如下:y=1-cos2x+acosx+58a-32=-(cosx-a2)2+a24又0≤x≤π2,∴0≤cosx≤1若a2>1,即a>2,則當(dāng)cosx=1時(shí),ymax=a+58a-32=1?a=2021<2若0≤a2≤1,即0≤a≤2,則當(dāng)cosx=a2時(shí),ymax=a24+58a-12=1?a=32或若a2<0,即a<0,則當(dāng)cosx=0時(shí),ymax=58a-12=1?a=125>0綜上可知,存在a=32符合題設(shè)【小結(jié)】三角函數(shù)換元成二次函數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),換元之后要留意新的變量的取值范圍.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:可用五點(diǎn)法畫出圖像.(1)列表:x0ππ32πy21212(2)描點(diǎn)畫圖(如圖所示)y=1+|cosx|,x∈[0,2π]的圖像實(shí)質(zhì)是將y=cosx,x∈[0,2π]的圖像在x軸下方的部分翻折到x軸上方(x軸上方部分不變),再向上平移1個(gè)單位長度而得到.應(yīng)用二:①當(dāng)0<A<π2時(shí),cosA>0∵f(cosA)≤0=f(12),又f(x)在(0,+∞)上為遞增函數(shù),得cosA≤12,解得π3≤②當(dāng)π2<A<π時(shí),cosA<0∵f(cosA)≤0=f(-12),又f(x)為R上奇函數(shù)∴f(x)在(-∞,0)上也為遞增函數(shù),可得cosA≤-12∴2π3≤A<③當(dāng)A=π2時(shí),cosA=0,∴f(0)≤0也成立(f(0)=0綜上所述,角A的取值范圍是[π3,π2]∪[2π3應(yīng)用三:當(dāng)x∈[-π6,π4]時(shí),1+sinx>0和1-sinx>0∴原函數(shù)可化為y=log2(1-sin2x)=log2cos2x,又cosx>0在[-π6,π4]∴原函數(shù)可化為y=2log2cosx,當(dāng)x∈[-π6,π4]時(shí),22≤cosx∴2log222≤2log2cosx≤2log21,即-1≤y≤0故在[-π6,π4]上,ymax=0,ymin=-基礎(chǔ)智能檢測1.A畫出y1=cosx,y2=a在[0,2π]上的圖像,得兩交點(diǎn)必關(guān)于直線x=π對(duì)稱,∴x1+x22=π,即x1+x2=2π,∴sin(x1+x2.B如圖,設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=4π,由圖像的對(duì)稱性可知,S1=S2=S3=S4,∴所求封閉圖形的面積為12S=2π3.[-12,1]由于2kπ-π6≤x≤2kπ+2π3(k∈Z),所以-12≤cosx≤1,所以y=f(x)的定義域?yàn)閇-4.解:由2cosx-3≥0,得cosx≥32即2kπ-π6≤x≤2kπ+π6(k∈又y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-π≤x≤2kπ(k∈Z),∴函