【2021高考復(fù)習(xí)參考】高三數(shù)學(xué)(理)配套黃金練習(xí)：6.1

第六章6.1第1課時(shí)高考數(shù)學(xué)（理）黃金配套練習(xí)一、選擇題1．?dāng)?shù)列eq\f(1,3)，eq\f(1,8)，eq\f(1,15)，eq\f(1,24)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(1,2n＋1)B．a(chǎn)n＝eq\f(1,n＋2)C．a(chǎn)n＝eq\f(1,nn＋2)D．a(chǎn)n＝eq\f(1,2n－1)答案C解析觀看知an＝eq\f(1,（n＋1）2－1)＝eq\f(1,n（n＋2）).2．在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x應(yīng)取()A．19B．20C．21D．22答案C解析a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an∴x＝8＋13＝21，故選C.3．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a100的值是()A．9900B．9902C．9904D．11000答案B解析a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2·eq\f(99·（99＋1）,2)＋2＝99024．已知數(shù)列{an}滿足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時(shí)，an＝()A．2nB.eq\f(1,2)n(n＋1)C．2n－1D．2n－1答案C解析方法一由已知an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)且a0＝1，得到a1＝a0＝1＝21－1，a2＝a0＋a1＝2＝22－1，a3＝a0＋a1＋a2＝4＝23－1，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝8＝24－1.由此猜想出an＝2n－1(n≥1)．方法二由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，得an＋1＝a0＋a1＋…＋an－1＋an.∴兩式相減得an＋1－an＝an.∴an＋1＝2an.∴eq\f(an＋1,an)＝2(n≥1)．∴該數(shù)列{an}為一等比數(shù)列(n≥1)，其中a1＝a0＝1.∴當(dāng)n≥1時(shí)，an＝2n－15．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋2an)，則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an為()A．2n－1B．2n＋1C.eq\f(1,2n－1)D.eq\f(1,2n＋1)答案C解析∵an＋1＝eq\f(an,1＋2an)∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋2∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)eq\f(1,a1)＝1∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝eq\f(1,2n－1)二、填空題6．已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝eq\f(1,9)，則a36＝________.答案4解析∵a1＝eq\f(1,9).∴a2＝a1＋a1＝eq\f(2,9)，a4＝a2＋a2＝eq\f(4,9)，a8＝a4＋a4＝eq\f(8,9).∴a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(eq\f(1,9)＋eq\f(8,9))＝4.7．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于________．答案4解當(dāng)n＝1時(shí)，由S1＝a1＝2(a1－1)，得a1＝2；當(dāng)n＝2時(shí)，由a1＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.8．如圖是用同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚________塊．(用含n的代數(shù)式表示)答案4n＋8解析第(1)、(2)、(3)…個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)依次為：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜想第(n)個(gè)圖案黑色瓷磚數(shù)為：12＋(n－1)×4＝4n＋8.9．已知：f(x)＝x2＋3x＋2，數(shù)列{an}滿足a1＝a，且an＋1＝f′(an)(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an為________．解析f(x)＝x2＋3x＋2∴f′(x)＝2x＋3∴an＋1＝f′(an)＝2an＋3.∴an＋1＋3＝2(an＋3)．∴{an＋3}是公比為2，首項(xiàng)為3＋a的等比數(shù)列∴an＋3＝(3＋a)·2n－1∴an＝(3＋a)·2n－1－310．已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足log2(Sn＋1)＝n＋1，則an＝________.解析∵Sn＋1＝2n＋1∴Sn＝2n＋1－1∴n＝1時(shí)，a1＝3n≥2時(shí)，a1＝Sn－Sn－1＝2n∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1,2n，n≥2))11．一個(gè)數(shù)字生成器，生成規(guī)章如下：第1次生成一個(gè)數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個(gè)數(shù)x生成兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是－x，另一個(gè)是x＋3.設(shè)第n次生成的數(shù)的個(gè)數(shù)為an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的全部數(shù)中不同的數(shù)的個(gè)數(shù)為Tn，則T4＝________.答案2n－110解析由題意可知，依次生成的數(shù)字個(gè)數(shù)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.當(dāng)x＝1時(shí)，第1次生成的數(shù)為1，第2次生成的數(shù)為－1、4，第3次生成的數(shù)為1、2，－4、7，第4次生成的數(shù)為－1、4，－2、5,4、－1，－7、10.故T4＝10.12．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an≤\f(1,2),2an－1，\f(1,2)≤an<1，))a1＝eq\f(3,5)，則數(shù)列的第2011項(xiàng)為________．答案eq\f(2,5)解析∵a1＝eq\f(3,5)，∴a2＝2a1－1＝eq\f(1,5).∴a3＝2a2＝eq\f(2,5).∴a4＝2a3＝eq\f(4,5).a5＝2a4－1＝eq\f(3,5)，a6＝2a5－1＝eq\f(1,5)…，∴該數(shù)列周期為T＝4.∴a2011＝a3＝eq\f(2,5)三、解答題13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．解析(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)．(2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－eq\f(5,2))2－eq\f(9,4)的對(duì)稱軸方程為n＝eq\f(5,2)，又n∈N*，∴n＝2或3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.14．2009年10月1日的國(guó)慶60周年閱兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的高校生方陣．(1)寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)n分別為2,3,4,5,6，…時(shí)方陣中的高校生人數(shù)；(2)說出(1)題中數(shù)列的第5、6項(xiàng)，并用a5，a6表示；(3)把(1)中的數(shù)列記為{an}，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝f(n)；(4)已知an＝9900，問an是第幾項(xiàng)？此時(shí)高校生方陣有多少行、多少列？(5)畫an＝f(n)的圖象，并利用圖象說明方陣中高校生人數(shù)有可能是56,28嗎？解析(1)該數(shù)列為6,12,20,30,42，…；(2)a5＝42，a6＝56；(3)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)；(4)由9900＝(n＋1)(n＋2)解得n＝98，an是第98項(xiàng)，此時(shí)高校方陣有99行，100列；(5)f(n)＝n2＋3n＋2，如圖，圖象是分布在函數(shù)f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的點(diǎn)，由圖可知，人數(shù)可能是56，不行能是2815．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an>0，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N*，有2Sn＝p(2aeq\o\al(2,n)＋an－1)(p為常數(shù))．(1)求p和a2，a3的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解析(1)令n＝1得2S1＝p(2aeq\o\al(2,1)＋a1－1)，又a1＝S1＝1，得p＝1；令n＝2得2S2＝2aeq\o\al(2,2)＋a2－1，又S2＝1＋a2，得2aeq\o\al(2,2)－a2－3＝0，a2＝eq\f(3,2)或a2＝－1(舍去)，∴a2＝eq\f(3,2)；令n＝3得2S3＝2aeq\o\al(2,3)＋a3－1，又S3＝eq\f(5,2)＋a3，得2aeq\o\al(2,3)－a3－6＝0，a3＝2或a3＝－eq\f(3,2)(舍去)，∴a3＝2.(2)由2Sn＝2aeq\o\al(2,n)＋an－1，得2Sn－1＝2aeq\o\al(2,n－1)＋an－1－1(n≥2)，兩式相減，得2an＝2(aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1))＋an－an－1，即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，∵an>0，∴2an－2an－1－1＝0，即an－an－1＝eq\f(1,2)(n≥2)，故{an}是首項(xiàng)為1，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，得an＝eq\f(1,2)(n＋1)．老師備選題1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則eq\f(an,n)的最小值為________．解析(1)在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2；令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)．把上面n－1個(gè)式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝eq\f((2＋2n－2)(n－1),2)＝n2－n，∴an＝n2－n＋33，∴eq\f(an,n)＝eq\f(n2－n＋33,n)＝n＋eq\f(33,n)－1≥2eq\r(33)－1，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(33,n)，即n＝eq\r(33)時(shí)取等號(hào)，而n∈N*，∴“＝”取不到．∵5＜eq\r(33)＜6，∴當(dāng)n＝5時(shí)，eq\f(an,n)＝5－1＋eq\f(33,5)＝eq\f(53,5)，當(dāng)n＝6時(shí)，eq\f(an,n)＝6－1＋eq\f(33,6)＝eq\f(63,6)＝eq\f(21,2)，∵eq\f(53,5)＞eq\f(21,2)，∴eq\f(an,n)的最小值是eq\f(21,2).2．已知f(x)為偶函數(shù)，且f(2＋x)＝f(2－x)，當(dāng)－2≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x，若n∈N*，an＝f(n)，則a2010＝()A．2010B．4C.eq\f(1,4)D．－4答案C解析由f(x)為偶函數(shù)，得0≤x≤2時(shí)f