【名師伴你行】2021屆高考文科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提能專訓(xùn)15-概率

提能專訓(xùn)(十五)概率一、選擇題1．(2022·浙江抽測)從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中依次取(不放回)兩個(gè)數(shù)a，b，使得a2≥4b的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)答案：C解析：基本大事為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12個(gè)，符合條件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6個(gè)，因此使得a2≥4b的概率是eq\f(1,2).2．(2022·邯鄲二模)甲、乙、丙3位老師支配在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多支配1人，則恰好甲支配在另外兩位老師前面值班的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(3,5)答案：A解析：第一種狀況：甲支配在第一天，則有4×3＝12種；其次種狀況：甲支配在其次天，則有3×2＝6種；甲支配在第三天，則有2×1＝2種，所以P＝eq\f(12＋6＋2,5×4×3)＝eq\f(1,3).3．(2022·景德鎮(zhèn)第一次質(zhì)檢)甲、乙兩名棋手競賽正在進(jìn)行中，甲必需再勝2盤才最終獲勝，乙必需再勝3盤才最終獲勝，若甲、乙兩人每盤取勝的概率都是eq\f(1,2)，則甲最終獲勝的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(11,16)C.eq\f(5,8)D.eq\f(9,16)答案：B解析：甲、乙再打2局甲勝的概率eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；甲、乙再打3局甲勝的概率2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；甲、乙再打4局甲勝的概率3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(3,16)，所以甲最終獲勝的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(3,16)＝eq\f(11,16)，故選B.4．(2022·山西康杰中學(xué)二模)在圓的一條直徑上，任取一點(diǎn)作與該直徑垂直的弦，則弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案：C解析：如圖，AB為⊙O的一條直徑，C，D分別是AO，BO的中點(diǎn)，易知取點(diǎn)C，D時(shí)，作出的弦的長度恰好等于圓內(nèi)接正三角形的邊長，而點(diǎn)取在C，D之間時(shí)，弦長超過圓內(nèi)接正三角形的邊長，故所求概率為P＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(1,2).5．(2022·河北石家莊高三模擬)如下莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成果，其中有一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成果超過乙的平均成果的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(7,10)C.eq\f(4,5)D.eq\f(9,10)答案：C解析：記其中被污損的數(shù)字為x，由題知甲的5次綜合測評的平均成果是eq\f(1,5)×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次綜合測評的平均成果是eq\f(1,5)×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(442＋x,5)，令90>eq\f(442＋x,5)，解得x<8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成果超過乙的平均成果的概率是eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，故選C.6．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案：D解析：從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)有5種選法，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)有3種選法，易知共有15種選法．而滿足b>a的選法有：當(dāng)b＝3時(shí)，a有2種，當(dāng)b＝2時(shí)，a有1種，共有2＋1＝3(種)選法．由古典概型知b>a的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).7．(2022·沈陽質(zhì)檢一)在滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≤0，,y≥0))的平面點(diǎn)集中隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)大事A＝“y0<2x0”，那么大事A發(fā)生的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案：B解析：依據(jù)幾何概型的概率公式求解．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，是圖中的三角形ABC，其中大事A對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分，所以大事A發(fā)生的概率為eq\f(3,4)，故選B.8．(2022·河北三市二模)一個(gè)射箭運(yùn)動員在練習(xí)時(shí)只記射中9環(huán)和10環(huán)的成果，未擊中9環(huán)或10環(huán)就以0環(huán)記．該運(yùn)動員在練習(xí)時(shí)擊中10環(huán)的概率為a，擊中9環(huán)的概率為b，既未擊中9環(huán)也未擊中10環(huán)的概率為c[a，b，c∈[0,1)]，假如已知該運(yùn)動員一次射箭擊中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán)，則當(dāng)eq\f(10,a)＋eq\f(1,9b)取最小值時(shí)，c的值為()A.eq\f(1,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(5,11)D．0答案：A解析：由于運(yùn)動員射擊一次擊中環(huán)數(shù)的期望為9，所以有10a＋9b所以eq\f(10,a)＋eq\f(1,9b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,a)＋\f(1,9b)))(9b＋10a)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(90b,a)＋\f(10a,9b)＋101))≥eq\f(121,9).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(90b,a)＝eq\f(10a,9b)時(shí)取等號，即a＝9b.將其和10a＋9b＝9聯(lián)立可解得a＝eq\f(9,11)，b＝eq\f(1,11).又由于a＋b＋c＝1，所以c＝eq\f(1,11).9．(2022·東三省四市二聯(lián))P為圓C1：x2＋y2＝9上任意一點(diǎn)，Q為圓C2：x2＋y2＝25上任意一點(diǎn)，PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在C2內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為()A.eq\f(13,25)B.eq\f(3,5)C.eq\f(13,25π)D.eq\f(3,5π)答案：B解析：設(shè)Q(x0，y0)，中點(diǎn)M(x，y)，則P(2x－x0,2y－y0)，代入x2＋y2＝9，得(2x－x0)2＋(2y－y0)2＝9，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x0,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(y0,2)))2＝eq\f(9,4)，故M軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)，\f(y0,2)))為圓心、以eq\f(3,2)為半徑的圓，又點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋y2＝25上，所以區(qū)域M為在以原點(diǎn)為圓心、寬度為3的圓環(huán)帶，即應(yīng)有x2＋y2＝r2(1≤r≤4)，那么在C2內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為eq\f(16π－π,25π)＝eq\f(3,5)，故選B.10．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則log2xy＝1的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案：C解析：由log2xy＝1?2x＝y(tǒng)，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}，∴x＝1，y＝2或x＝2，y＝4或x＝3，y＝6，共3種狀況，∴P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).11．記a，b分別是投擲兩次骰子所得的數(shù)字，則方程x2－ax＋2b＝0有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為()A.eq\f(5,18)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)答案：B解析：由題意知投擲兩次骰子所得的數(shù)字分別為a，b，則基本大事有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個(gè)．而方程x2－ax＋2b＝0有兩個(gè)不同實(shí)根的條件是a2－8b>0，因此滿足此條件的基本大事有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9個(gè)，故所求的概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).12．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)的概率為()A．1－eq\f(π,8)B．1－eq\f(π,4)C．1－eq\f(π,2)D．1－eq\f(3π,4)答案：B解析：函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)，需Δ＝4a2－4(－b2＋π2)≥0，即a2＋b2≥π2成立．而a，b∈[－π，π]，建立平面直角坐標(biāo)系，滿足a2＋b2≥π2的點(diǎn)(a，b)如圖陰影部分所示，所求大事的概率為P＝eq\f(2π×2π－π3,2π×2π)＝eq\f(4π2－π3,4π2)＝1－eq\f(π,4)，故選B.二、填空題13．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤2，x，y∈Z}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤2，x，y∈Z}，在集合A中任取一個(gè)元素a，則a∈B的概率是________．答案：eq\f(9,13)解析：滿足集合A的點(diǎn)有：(－2,0)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－2)，(0，－1)，(0,1)，(0,0)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共13個(gè)，滿足集合B的有：(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共9個(gè)，則a∈B的概率是eq\f(9,13).14．現(xiàn)從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人參與某項(xiàng)活動，則甲被選中的概率為________．答案：eq\f(2,3)解析：從甲、乙、丙3人中隨機(jī)選派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三種選法，其中甲被選中有甲乙、甲丙兩種選法，所以甲被選中的概率為eq\f(2,3)，枚舉法是求古典概率的一個(gè)有效方法．15．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________．答案：eq\f(1,2)解析：從3只白球、1只黑球中任取兩只顏色不同的小球，取法有3種，從4只小球中任取兩只小球，取法有6種．故取出兩只不同顏色小球的概率是P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).16．(2022·山東濰坊一模)如圖，莖葉圖表示甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在五場競賽中的得分，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為________．答案：eq\f(7,10)解析：由莖葉圖知甲在五場競賽中的得分總和為18＋19＋20＋21＋22＝100；乙運(yùn)動員在已知成果的四場競賽中得分總和為15＋16＋18＋28＝77，乙的另一場得分是20到29十個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)的可能性是相等的，共有10個(gè)基本大事，而大事“甲的平均得分不超過乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7個(gè)基本大事，所以甲的平均得分不超過乙的平均得分的概率為eq\f(7,10).三、解答題17．某城市要建成宜商、宜居的國際化現(xiàn)代新城，該城市的東城區(qū)、西城區(qū)分別引進(jìn)8個(gè)廠家，現(xiàn)對兩個(gè)區(qū)域的16個(gè)廠家進(jìn)行評估，綜合得分狀況如莖葉圖所示．(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪個(gè)區(qū)域廠家的平均分較高；(2)規(guī)定85分以上(含85分)為優(yōu)秀廠家，若從該兩個(gè)區(qū)域各選一個(gè)優(yōu)秀廠家，求得分差距不超過5的概率．解：(1)由莖葉圖易知東城區(qū)的平均分較高．(2)從兩個(gè)區(qū)域各選一個(gè)優(yōu)秀廠家，則全部的基本大事有(88,85)，(88,94)，(88,94)，(88,85)，(88,94)，(88,94)，(89,85)，(89,94)，(89,94)，(93,85)，(93,94)，(93,94)，(94,85)，(94,94)，(94,94)，共15個(gè)，得分差距不超過5的大事有(88,85)，(88,85)，(89,85)，(89,94)，(89,94)，(93,94)，(93,94)，(94,94)，(94,94)，共9個(gè)．所以滿足條件的概率為eq\f(3,5).18．一中食堂有一個(gè)面食窗口，假設(shè)同學(xué)買飯所需的時(shí)間相互獨(dú)立，且都是整分鐘，對以往同學(xué)買飯所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：買飯時(shí)間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個(gè)同學(xué)開頭買飯時(shí)計(jì)時(shí)．(1)求第2分鐘末沒有人買到飯的概率；(2)估量第三個(gè)同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯的概率．解：(1)記“第2分鐘末沒有人買到飯”為大事A，即是第一個(gè)同學(xué)買飯所需的時(shí)間超過2分鐘，所以P(A)＝P(A>2)＝0.5.(2)大事A表示“第三個(gè)同學(xué)恰好等待4分鐘開頭買飯”，則A大事對應(yīng)三種情形：①第一個(gè)同學(xué)買飯所需的時(shí)間為1分鐘，且其次個(gè)同學(xué)買飯所需的時(shí)間為3分鐘；②第一同學(xué)買飯所需的時(shí)間為3分鐘，且其次個(gè)同學(xué)買飯所需的時(shí)間為1分鐘；③第一個(gè)和其次個(gè)同學(xué)所需的時(shí)間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)·P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.19．(2022·陜西五校聯(lián)考)近年來，我國很多省市霧霾天氣頻發(fā)，為增加市民的環(huán)境愛護(hù)意識，某市面對全市征召義務(wù)宣揚(yáng)志愿者，成立環(huán)境愛護(hù)宣揚(yáng)組織．現(xiàn)把該組織的成員按年齡分成5組：第1組[20,25)，第2組[25,30)，第3組[30,35)，第4組[35,40)，第5組[40,45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知第2組有35人．(1)求該組織的人數(shù)；(2)若從第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參與某社區(qū)的宣揚(yáng)活動，應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？(3)在(2)的條件下，該組織打算在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣揚(yáng)閱歷，求第3組至少有一名志愿者被抽中的概率．解：(1)由題意得0.07×5×n＝35，∴n＝100.故該組織有100人．(2)第3組的人數(shù)為0.3×100＝30，第4組的人數(shù)為0.2×100＝20，第5組的人數(shù)為0.1×100＝10.∵第3,4,5組共有60名志愿者，∴利用分層抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者．每組抽取的人數(shù)分別為第3組：eq\f(30,60)×6＝3；第4組：eq\f(20,60)×6＝2；第5組：eq\f(10,60)×6＝1.∴應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人，2人，1人．(3)記第3組的3名志愿者編號為1,2,3，第4組的2名志愿者編號為4,5，第5組的1名志愿者編號為6.從6名志愿者中隨機(jī)抽取2名有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15種，其中沒有第3組的有(4,5)，(4,6)，(5,6)，共3種，故所求的概率為P＝1－eq\f(3,