【優(yōu)化方案】2022高考總復習(人教A版)高中數學-選修4-1-第2講-直線與圓的位置關系

第2講直線與圓的位置關系1．圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理(1)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．(2)圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．(3)弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．推論：弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半．2．圓內接四邊形的判定定理和性質定理定理(或推論)內容判定定理假如一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓判定定理的推論假如四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓性質定理圓的內接四邊形的對角互補圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角3.圓的切線的性質及判定定理定義、定理及推論內容定義假如一條直線與一個圓有唯一公共點，則這條直線叫做這個圓的切線，公共點叫做切點判定定理經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑性質定理的推論經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心4．與圓有關的比例線段定理名稱基本圖形條件結論應用相交弦定理弦AB、CD相交于圓內點P(1)PA·PB＝PC·PD(2)△CAP∽△BDP(1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一(2)求弦長及角割線定理PAB、PCD是⊙O的割線(1)PA·PB＝PC·PD(2)△PAC∽△PDB(1)求線段PA、PB、PC、PD(2)應用相像求AC、BD切割線定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線(1)PA2＝PB·PC(2)△PAB∽△PCA(1)PA、PB、PC知二可求一(2)求解AB、AC切線長定理PA、PB是⊙O的切線(1)PA＝PB(2)∠OPA＝∠OPB(1)證線段相等，已知PA，求PB(2)求角

eq\x\to(F)eq\a\vs4\al(考點一)__圓周角、圓心角、弦切角和圓的切線問題__(1)(2022·高考江蘇卷)如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側的兩點．證明：∠OCB＝∠D.(2)(2021·唐山市統(tǒng)考)如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，點D在⊙O上，AD⊥AB，AD交BC于點E，點F在DA的延長線上，AF＝AE，求證：BF是⊙O的切線．[證明](1)由于B，C是圓O上的兩點，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B.又由于C，D是圓O上位于AB異側的兩點，故∠B，∠D為同弧所對的兩個圓周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D.(2)連接BD.由于AD⊥AB，所以BD是⊙O的直徑．由于AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又由于AB＝AC，所以∠FBA＝∠C.又由于∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切線．[規(guī)律方法](1)圓周角定理、圓心角定理及推論、弦切角定理及推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相像，可求線段或角的大?。?2)判定切線通常有三種方法：①和圓有唯一公共點的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③過半徑外端且和半徑垂直的直線是圓的切線．1.如圖，已知圓上的弧eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點．求證：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.證明：(1)由于eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，所以∠BCD＝∠ABC.又由于EC與圓相切于點C，依據弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)由于∠ECA等于eq\o(AC,\s\up8(︵))所對的圓周角，∠ACB等于eq\o(AB,\s\up8(︵))所對的圓周角，所以∠ECB等于eq\o(CAB,\s\up8(︵))所對的圓周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.eq\a\vs4\al(考點二)__圓內接四邊形的判定及性質____________(2022·高考課標全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE.(1)證明：∠D＝∠E；(2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形．[證明](1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE，由已知CB＝CE，得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如圖，設BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上．又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形．[規(guī)律方法]證明四點共圓的常用方法：(1)四點到確定點的距離相等；(2)四邊形的一組對角互補；(3)四邊形的一個外角等于它的內對角；(4)假如兩個三角形有公共邊，公共邊所對的角相等且在公共邊的同側，那么這兩個三角形的四個頂點共圓．2.(2021·長春市調研)如圖，AB是圓O的直徑，G是AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AG的垂線，交直線AC于點E，交直線AD于點F，過點G作圓O的切線，切點為H.(1)求證：C，D，E，F四點共圓；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的長．解：(1)證明：連接DB，∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四點共圓．(2)∵C，D，E，F四點共圓，∴GE·GF＝GC·GD.∵GH是圓O的切線，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF，又GH＝8，GE＝4，∴GF＝16，∴EF＝GF－GE＝12.eq\a\vs4\al(考點三)__與圓有關的比例線段__________________(2022·高考課標全國卷Ⅱ)如圖，P是⊙O外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與⊙O相交于點B，C，PC＝2PA，D為PC的中點，AD的延長線交⊙O于點E.證明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[證明](1)連接AB，AC.由題設知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.由于∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，從而eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(EC,\s\up8(︵)).因此BE＝EC.(2)由切割線定理得PA2＝PB·PC.由于PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[規(guī)律方法]相交弦定理為圓中證明等積式和有關計算供應了有力的方法和工具，應用時一方面要熟記定理的等積式的結構特征，另一方面在與定理相關的圖形不完整時，要用掛念線補齊相應部分．在實際應用中，見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理，見到兩條割線就要想到割線定理，見到切線和割線時就要想到切割線定理．3.(2021·遼寧省五校聯考)如圖，A、B是兩圓的交點，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的長．解：設CB＝AD＝x，則由割線定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化簡得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.連接AB(圖略)，由于CA為小圓的直徑，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，則由圓的內接四邊形對角互補，得∠D＝90°，則CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6eq\r(3).1.如圖，四邊形ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，連接CF并延長交AB于點E.(1)求證：E是AB的中點；(2)求線段BF的長．解：(1)證明：由題意知，AB與圓D和圓O相切，切點分別為A和B，由切割線定理有：EA2＝EF·EC＝EB2，∴EA＝EB，即E為AB的中點．(2)由BC為圓O的直徑，易得BF⊥CE，∴S△BEC＝eq\f(1,2)BF·CE＝eq\f(1,2)CB·BE，∴eq\f(BF,BE)＝eq\f(CB,CE)，∴BF＝eq\f(\r(5),5)a.2．(2021·鄭州市質量猜想)如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點F.(1)證明：A、E、F、M四點共圓；(2)若MF＝4BF＝4，求線段BC的長．解：(1)證明：如圖，連接AM，由AB為直徑可知∠AMB＝90°，又CD⊥AB，所以∠AEF＝∠AMB＝90°，因此A、E、F、M四點共圓．(2)連接AC，由A、E、F、M四點共圓，可知BF·BM＝BE·BA，在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4，知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝eq\r(5).3．(2021·山西省四校聯考)如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點，PO交圓O于B，C兩點，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點D和E.(1)求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．解：(1)證明：∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP，又∠P為公共角，∴△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA為圓O的切線，PC是過點O的割線，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15，又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，連接EC(圖略)，則∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.4.(2021·河北石家莊質量檢測)如圖，已知AB為圓O的一條直徑，以端點B為圓心的圓交直線AB于C，D兩點，交圓O于E，F兩點，過點D作垂直于AD的直線，交直線AF于H點．(1)求證：B，D，H，F四點共圓；(2)若AC＝2，AF＝2eq\r(2)，求△BDF外接圓的半徑．解：(1)證明：由于AB為圓O的一條直徑，所以BF⊥FH.又DH⊥BD，故B，D，F，H四點在以BH為直徑的圓上．所以，B，D，F，H四點共圓．(2)由題意得AH與圓B相切于點F，由切割線定理得AF2＝AC·AD，即(2eq\r(2))2＝2·AD，AD＝4，所以BD＝eq\f(1,2)(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1.又△AFB∽△ADH，則eq\f(DH,BF)＝eq\f(AD,AF)，得DH＝eq\r(2).連接BH(圖略)，由(1)可知BH為△BDF外接圓的直徑．BH＝eq\r(BD2＋DH2)＝eq\r(3)，故△BDF的外接圓半徑為eq\f(\r(3),2).5．(2022·高考遼寧卷)如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D，G為CE上一點且PG＝PD，連接DG并延長交圓于點A，作弦AB垂直EP，垂足為F.(1)求證：AB為圓的直徑；(2)若AC＝BD，求證：AB＝ED.證明：(1)由于PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，從而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直徑．(2)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又由于∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角．于是ED為直徑．由(1)得ED＝AB.6.(2021·山西省忻州市聯考)如圖，直線AB經過⊙O上的點C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直線OB于E、D，連接EC、CD.(1)求證：直線AB是⊙O的切線；(2)若tan∠CED＝eq\f(1,2)，⊙O的半徑為3，求OA的長．解：(1)證明：如圖，連接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∵OC是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．(2)∵ED是直徑，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴eq\f(BC,BE)＝eq\f(BD,BC)，BC2＝BD·BE.∵tan∠CED＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，△BCD∽△BEC，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(CD,EC)＝eq\f(1,2)，設BD＝x，則BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.1.(2021·蘭州市、張掖市聯考)如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于點M.(1)求證：O、B、D、E四點共圓；(2)求證：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.證明：(1)連接BE、OE(圖略)，則BE⊥EC.又D是BC的中點，所以DE＝BD，又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB.所以∠OED＝∠OBD＝90°，所以O、B、D、E四點共圓．(2)延長DO交圓O于點H(圖略)．由于DE2＝DM·DH＝DM·(DO＋OH)＝DM·DO＋DM·OH，所以DE2＝DM·(eq\f(1,2)AC)＋DM·(eq\f(1,2)AB)，所以2DE2＝DM·AC＋DM·AB.2．(2021·云南省第一次統(tǒng)一檢測)已知：如圖，P是⊙O的直徑AB延長線上的一點，割線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，CF與AB交于點E.(1)求證：PA·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半徑等于2，求弦CF的長．解：(1)證明：連接OD.∵AB是⊙O的直徑，弦DF與直徑AB垂直，H為垂足，C在⊙O上，∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE.又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，∴eq\f(PD,PE)＝eq\f(PO,PC)，即PD·PC＝PO·PE.由割線定理得PA·PB＝PD·PC，∴PA·PB＝PO·PE.(2)由已知，直線AB是弦DF的垂直平分線，∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°，得∠DCF＝60°.由∠DOA＝∠DCF，得∠DOA＝60°.在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝eq\r(3)，∴DE＝EF＝eq\f(DH,sin∠DEH)＝eq\r(6)，CE＝eq\f(DE,tan∠DCE)＝eq\r(2)，∴CF＝CE＋EF＝eq\r(2)＋eq\r(6).3.(2021·沈陽市教學質量監(jiān)測)如圖，已知圓O1與圓O2外切于點P，直線AB是兩圓的外公切線，分別與兩圓相切于A、B兩點，AC是圓O1的直徑，過C作圓O2的切線，切點為D.