【全程復(fù)習(xí)方略】2020年數(shù)學(xué)文(廣西用)課時(shí)作業(yè)：第九章-第七節(jié)球

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課時(shí)提升作業(yè)(四十九)一、選擇題1.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,則球面面積是()(A)QUOTE (B)3π (C)4π (D)QUOTE2.(2021·玉溪模擬)四周體A-BCD中,AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5,則四周體外接球的表面積為()(A)33π (B)43π(C)36π (D)18π3.(2021·桂林模擬)在平行四邊形ABCD中,QUOTE·QUOTE=0,且2QUOTE+-4=0,沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是()(A)16π(B)8π(C)4π(D)2π4.設(shè)球的體積為V1,它的內(nèi)接正方體的體積為V2,下列說法中最合適的是()(A)V1比V2大約多一半(B)V1比V2大約多兩倍半(C)V1比V2大約多一倍(D)V1比V2大約多一倍半5.正六棱柱的底面邊長為4,高為6,則它的外接球的表面積為()(A)20π(B)25π(C)100π(D)200π6.在北緯60°圈上,有甲、乙兩地,它們的緯線圈上的弧長等于QUOTER,R為地球半徑,則這兩地間的球面距離是()(A)QUOTEπR(B)QUOTEπR(C)QUOTEπR(D)QUOTEπR7.如圖,O是半徑為1的球的球心,點(diǎn)A,B,C在球面上,OA,OB,OC兩兩垂直,E,F分別是大圓弧AB,AC的中點(diǎn),則點(diǎn)E,F在該球面上的球面距離是()(A)QUOTE(B)QUOTE(C)QUOTE(D)QUOTE8.已知平面α截一球面得圓M,過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4,圓M的面積為4π,則圓N的面積為()(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π9.(2022·日照模擬)一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,已知這個(gè)球的表面積是12π,那么這個(gè)正方體的體積是()(A)QUOTE(B)4QUOTEπ(C)8(D)2410.(力氣挑戰(zhàn)題)高為QUOTE的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形,點(diǎn)S,A,B,C,D均在半徑為1的同一球面上,則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE二、填空題11.已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的QUOTE,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四周體,類似的結(jié)論是.12.如圖,已知球O的面上四點(diǎn)A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=QUOTE,則球O的體積等于.13.(2021·云南師大模擬)正三棱錐A-BCD內(nèi)接于球O,且底面邊長為QUOTE,側(cè)棱長為2,則球O的表面積為.14.已知A,B,C,D在同一個(gè)球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,若AB=6,AC=2QUOTE,AD=8,則B,C兩點(diǎn)間的球面距離是.三、解答題15.已知正三棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則這樣的三棱柱內(nèi)能否放進(jìn)一個(gè)體積為QUOTE的小球?16.(力氣挑戰(zhàn)題)如圖,半徑為r的圓環(huán)在一個(gè)正方形(邊長>2r)中任意滾動(dòng),則該圓環(huán)滾不到的平面區(qū)域的面積(即正方形的四個(gè)角區(qū)域)=邊長為2r的正方形面積-半徑為r的圓的面積=(4-π)r2.把上述命題拓廣到空間,可得怎樣的結(jié)論?請給出證明.答案解析1.【解析】選D.設(shè)球的半徑為R,△ABC的外接圓半徑r=QUOTE,則S球=4πR2>4πr2=QUOTEπ>5π.2.【解析】選A.分別取AB,CD的中點(diǎn)E,F,連接相應(yīng)的線段,由條件可知,球心G在EF上,可以證明G為EF中點(diǎn),DE=QUOTE=QUOTE,DF=2,EF=QUOTE=,所以GF=QUOTE=QUOTE,球半徑DG=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以外接球的表面積為4πDG2=4π×QUOTE=33π,選A.3.【解析】選C.折成直二面角后,AC為外接球直徑,(2R)2=AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4,R2=1,S=4πR2=4π.4.【思路點(diǎn)撥】先找出球的半徑與其內(nèi)接正方體的棱長之間的關(guān)系,表示出V1與V2后再比較大小.【解析】選D.設(shè)球的半徑為r,正方體的棱長為a,則2r=QUOTEa,又V1=QUOTEπr3,V2=a3,∴V1-V2=QUOTEπ(QUOTE)3-a3=(QUOTEπ-1)a3≈1.7a3,因此V1比V2大約多一倍半.5.【解析】選C.由題意知球的半徑R=QUOTE=5,∴外接球的表面積為4πR2=4π·52=100π.6.【解析】選B.如圖,點(diǎn)A為60°緯線上的一點(diǎn),設(shè)球心為O,緯線圓心為O1,過A作AE⊥赤道平面,垂足為E,則∠AOE=60°,在Rt△AO1O中,O1A=OAcos60°=QUOTER,∵甲、乙兩地緯線圈上的弧長為QUOTER,∴甲、乙兩地在緯線圈上的相應(yīng)的圓心角θ滿足θ·QUOTER=QUOTER,∴θ=π,即甲、乙兩地在緯線圈的直徑端點(diǎn)上,∴甲、乙兩地在相應(yīng)的大圓上的圓心角為QUOTE,∴過甲、乙兩地大圓的劣弧長為QUOTEπR.7.【解析】選B.取OA的中點(diǎn)M,并連接EM,FM,則EM=FM=QUOTE,且EM⊥FM,所以EF=1,故三角形OEF為等邊三角形,∠EOF=QUOTE,所以點(diǎn)E,F在該球面上的球面距離是QUOTE.8.【解析】選D.如圖所示,由圓M的面積為4π,知球心O到圓M的距離OM=2QUOTE,在Rt△OMN中,∠OMN=30°,∴MN=OM·cos30°=3,故圓N的半徑為r=QUOTE=QUOTE,∴圓N的面積為S=πr2=13π.9.【解析】選C.設(shè)球的半徑為R,則4πR2=12π,從而R=QUOTE,所以正方體的體對角線為2QUOTE,故正方體的棱長為2,體積為23=8.10.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意可知球心與四棱錐的頂點(diǎn)在底面同側(cè),然后利用三角形相像進(jìn)行計(jì)算.【解析】選A.設(shè)球心為O,底面四邊形的中心為E,頂點(diǎn)在底面上的射影為F,則易知OE∥SF,且SF=QUOTE,OE=QUOTE.過O作OH⊥SE,則SH=HF=QUOTE,又OS=1,所以直角三角形SHO中,OH=QUOTE.所以EF=OH=QUOTE,在直角三角形SFE中,SE=QUOTE=QUOTE.11.【解析】從方法的類比入手.原問題的解法為等面積法,即S=QUOTEah=3×QUOTEar?r=QUOTEh,類比問題的解法應(yīng)為等體積法,V=QUOTESh=4×QUOTESr?r=QUOTEh,即正四周體的內(nèi)切球的半徑是高的QUOTE.答案:正四周體的內(nèi)切球的半徑是高的QUOTE12.【解析】由題意,△DAC,△DBC都是直角三角形,且有公共的斜邊,所以DC邊的中點(diǎn)到B和A的距離都等于DC的一半,所以DC邊的中點(diǎn)是球心并且半徑為線段DC長的一半.由于DC=QUOTE=3,所以球的體積V=QUOTEπ(QUOTE)3=QUOTEπ.答案:QUOTEπ13.【解析】如圖,設(shè)三棱錐A-BCD的外接球球心為O,半徑為r,BC=CD=BD=QUOTE,AB=AC=AD=2,AM⊥平面BCD,M為正△BCD的中心,則DM=1,AM=QUOTE,OA=OD=r,所以(QUOTE-r)2+1=r2,解得r=QUOTE,所以S=4πr2=QUOTEπ.答案:QUOTEπ14.【思路點(diǎn)撥】查找過B,C兩點(diǎn)的截面或確定四點(diǎn)A,B,C,D與球的特殊關(guān)系.【解析】如圖①,易得BC=QUOTE=4,BD=QUOTE=2QUOTE,∴CD=2QUOTE,則此球內(nèi)接長方體的三條棱長為AB,BC,CD(CD的對邊與CD等長),從而球的直徑為2R=QUOTE=8,R=4,則BC與球心構(gòu)成的大圓如圖②,由于△OBC為正三角形,則B,C兩點(diǎn)間的球面距離是QUOTE.答案:QUOTE15.【解析】設(shè)球半徑為R,則QUOTE=QUOTE,∴R=QUOTE.而正三棱柱底面內(nèi)切圓半徑r=QUOTE,比較R與r的大小,R6=QUOTE=QUOTE×QUOTE,r6=QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE,∴R6>r6,∴R>r,所以不能放進(jìn)一個(gè)體積為QUOTE的小球.【方法技巧】有關(guān)球的組合體的解題思路解決這類問題的關(guān)鍵是精確分析出組合體的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)揮自己的空間想象力氣,把立體圖和截面圖對比分析,找出幾何體中的數(shù)量關(guān)系.與球有關(guān)的截面問題為了增加圖形的直觀性,解題時(shí)經(jīng)常畫一個(gè)截面圓起襯托作用.16.【解析】把上述命題拓廣到空間,可得命題:一棱長為a的正方體封閉盒子中放入一半徑為r(2r<a)的小球.若將小球任意滾動(dòng),則小球達(dá)不到的空間的體積是:[QUOTE-16r+3a(4-π)]r2.證明:由于將小球任意滾動(dòng)時(shí),小球達(dá)不到的空間為:正方體8個(gè)角