2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)一．選擇題（共8小題）1．已知復(fù)數(shù)z=i1+i-A．-12 B．12 C．-12．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，z1，z2是方程z3+z2+z+1＝0的兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，則|z1﹣z2|的值為（）A．1 B．2 C．2 D．2或23．若復(fù)數(shù)a+3i2+A．-32 B．32 C．-24．復(fù)數(shù)i(1+A．-417-117i B．-4175．已知z滿(mǎn)足|z﹣1|＝|z﹣i|，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝06．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+i）z＝i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．55 B．22 C．2 D7．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），則z?z=A．﹣3 B．3 C．4 D．58．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），則z2A．45-25i B．25-4二．填空題（共5小題）9．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)4+3i2-i=10．若復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的兩根，則z12+z11．已知復(fù)數(shù)z=1+ii，則z?z12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則z1?z2＝．13．已知復(fù)數(shù)z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈三．解答題（共7小題）14．高中教材必修第二冊(cè)選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，設(shè)∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角，若0≤θ＜2π，則θ稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz．復(fù)數(shù)有以下三角形式的運(yùn)算法則：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，則：z1?z2?…?zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特別地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），這個(gè)結(jié)論叫做棣莫弗定理．請(qǐng)運(yùn)用上述知識(shí)和結(jié)論解答下面的問(wèn)題：（1）求復(fù)數(shù)z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和輻角主值argz（用θ表示）；（2）設(shè)n≤2024，n∈N，若存在θ∈R滿(mǎn)足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．15．在復(fù)數(shù)集中有這樣一類(lèi)復(fù)數(shù)：z＝a+bi與z=a﹣bi（a，b∈R），我們把它們互稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù)，b≠0（1）z+z=2a（2）z-z=2bi（當(dāng)b≠（3）z=z?z∈（4）(z（5）z?z=（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商．請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：（1）設(shè)z≠i，|z|＝1．求證：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）設(shè)z＝x+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|＝1時(shí)，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．16．我們把a(bǔ)0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）稱(chēng)為一元n次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式方程（即a0，a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即a0+a1x+a2x2+?+anxn=an(x-α1)k1(x-α2)k2?(x-αm)km，其中k，m∈N*，進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即a0，a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：觀察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一個(gè)根，則（x﹣1）一定是多項(xiàng)式x3﹣1的一個(gè)因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系數(shù)法可知，a＝b＝c＝1．（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；（2）設(shè)f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；（ii）記點(diǎn)P（x0，y0）是y＝f（x）的圖象與直線(xiàn)y＝x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)a1+2a2+3a3≤1時(shí)，x0＝1．17．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．（1）若復(fù)數(shù)z=z1（2）求|3z1+z2|的取值范圍．18．如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，∠BDC＝45°．（Ⅰ）求BD的長(zhǎng)；（Ⅱ）已知復(fù)數(shù)z的模為10，且以∠ABD為輻角，求z2．19．已知復(fù)數(shù)z＝（2+i）m+2ii-1（其中i（1）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求m的值；（2）求|z﹣1|的取值范圍．20．設(shè)z+1為關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虛根，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)z＝﹣1+i時(shí)，求m、n的值；（2）若n＝1，在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，復(fù)數(shù)2+4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Q，試求|PQ|的取值范圍．

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之復(fù)數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知復(fù)數(shù)z=i1+i-A．-12 B．12 C．-1【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】先利用i的性質(zhì)化簡(jiǎn)i2024，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可得解．【解答】解：因?yàn)閕4＝1，所以i2024＝（i4）506＝1，由z=∴z=-12故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，z1，z2是方程z3+z2+z+1＝0的兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)根，則|z1﹣z2|的值為（）A．1 B．2 C．2 D．2或2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：由z3+z2+z+1＝0，得z2（z+1）+z+1＝（z2+1）（z+1）＝0，因?yàn)閕2＝﹣1，所以z＝±i或﹣1，所以|z1﹣z2|的值為2或2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．若復(fù)數(shù)a+3i2+A．-32 B．32 C．-2【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；純虛數(shù)．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解．【解答】解：∵a+3∴2a+3=06-a故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．4．復(fù)數(shù)i(1+A．-417-117i B．-417【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)i(1+則共軛復(fù)數(shù)為-4故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．已知z滿(mǎn)足|z﹣1|＝|z﹣i|，且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A．x+y＝0 B．x﹣y＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y+1＝0【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的?；?jiǎn)可解．【解答】解：由題意z＝x+yi，由|z﹣1|＝|z﹣i|，即（x﹣1）2+y2＝x2+（y﹣1）2，化簡(jiǎn)得x﹣y＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．6．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（1+i）z＝i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．55 B．22 C．2 D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：（1+i）z＝i，則z=i故|z|＝|z|=|i故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．7．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），則z?z=A．﹣3 B．3 C．4 D．5【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先求出z，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），則z＝1﹣2i，故z?z=（1﹣2i）（1+2i）＝5故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），則z2A．45-25i B．25-4【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），則z＝1﹣i，所以z2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）9．i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)4+3i2-i=【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)4+3i2-i故答案為：1+2i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．10．若復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的兩根，則z12+z【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2﹣2x+10＝0的兩根，則z1+z2＝2，z1z2＝10，故z12+z1z2+2z2=-10+2z1+z1z2+2z2＝﹣10+2（z1+z2故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．已知復(fù)數(shù)z=1+ii，則z?z【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)可求z，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解．【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=1+ii則z?z=（1+i）（1﹣i）＝2故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則z1?z2＝﹣1﹣3i．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣1﹣3i．【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出復(fù)數(shù)z1，z2，再計(jì)算z1?z2．【解答】解：由題意知，z1＝﹣2﹣i，z2＝1+i，所以z1?z2＝（﹣2﹣i）?（1+i）＝﹣2﹣2i﹣i﹣i2＝﹣1﹣3i．故答案為：﹣1﹣3i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的定義與運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．13．已知復(fù)數(shù)z=2cosθ+isinθ1+i(θ∈【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】43【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，根據(jù)z的實(shí)部為0即可得出tanθ的值，然后即可得解．【解答】解：z=∴2cosθ+sinθ＝0，tanθ＝﹣2，∴tan2故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算，二倍角的正切公式，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共7小題）14．高中教材必修第二冊(cè)選學(xué)內(nèi)容中指出：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，設(shè)∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，則任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，θ稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角，若0≤θ＜2π，則θ稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為argz．復(fù)數(shù)有以下三角形式的運(yùn)算法則：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，則：z1?z2?…?zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特別地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），這個(gè)結(jié)論叫做棣莫弗定理．請(qǐng)運(yùn)用上述知識(shí)和結(jié)論解答下面的問(wèn)題：（1）求復(fù)數(shù)z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和輻角主值argz（用θ表示）；（2）設(shè)n≤2024，n∈N，若存在θ∈R滿(mǎn)足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）|z|＝﹣2cosθ2；argz=（2）506．（3）1017．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模及輻角主值的定義，結(jié)合三角變換求解即得．（2）利用給定定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算，再借助正余弦函數(shù)的周期性求解即可．（3）令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+???+2034sin（2034×20°），利用等比數(shù)列及錯(cuò)位相減法求出S+iT，再利用復(fù)數(shù)相等即可得解．【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），θ2∈（π2，得|z|=(1+cosθ)∵1+cosθ＞0，sinθ＜0，∴3π2＜argz＜2π，tan（∵θ2∈（π2，π），π+θ2∈（3（2）由（sinθ+icosθ）n＝[cos（π2-θ）+isin（π2-θ）]n＝cos（nπ2-nθ）∴cos（nπ2-nθ）+isin（nπ2-nθ）＝sinnθ+∴cos(∴nπ2-nθ，k∈Z，解得n＝4∵n≤2024，n∈N，∴0≤4k+1≤2024，∴0≤k≤505，k∈Z，∴符合條件的k有506個(gè)，∴這樣的n有506個(gè)．（3）令ω＝cos20°+isin20°，而2034×20°＝113×360°，則ω2034＝1，令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+???+2034sin（2034×20°），則s+iT＝ω+2ω2+3ω3+???+2034ω2035，兩邊同乘ω，得：ω（S+iT）＝ω2+2ω3+3ω4+???+ω2034﹣2034ω2035=ω(1-ω2034)1-ω-2034∴S+iT=-ω1-=-1+∴S+iT＝﹣2034（-1∴S＝1017．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)模、輻角主值的定義、三角變換、誘導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)的周期性、等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法、復(fù)數(shù)相等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題．15．在復(fù)數(shù)集中有這樣一類(lèi)復(fù)數(shù)：z＝a+bi與z=a﹣bi（a，b∈R），我們把它們互稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù)，b≠0（1）z+z=2a（2）z-z=2bi（當(dāng)b≠（3）z=z?z∈（4）(z（5）z?z=（6）兩個(gè)復(fù)數(shù)和、差、積、商（分母非零）的共軛復(fù)數(shù)，分別等于兩個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和、差、積、商．請(qǐng)根據(jù)所學(xué)復(fù)數(shù)知識(shí)，結(jié)合以上性質(zhì)，完成下面問(wèn)題：（1）設(shè)z≠i，|z|＝1．求證：z1+（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求z1（3）設(shè)z＝x+yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，當(dāng)|z|＝1時(shí)，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的模．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）z1z2=-（3）|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【分析】（1）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），利用z?z=1，z+z=2a∈R（2）設(shè)z1z2=p+qi（p，q∈R），結(jié)合題意，可得關(guān)于（3）設(shè)z＝cosθ+isinθ，θ∈R，依題意，可得|z2﹣z+1|＝|2cosθ﹣1|，從而可求得|z2﹣z+1|的最大值和最小值．【解答】解：（1）證明：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），∵z≠i，|z|＝1，∴z?z=1，z+z=2a∴z1+（2）設(shè)z1z2=p+qi（p，則z1＝（p+qi）z2，∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，∴3＝|z1|＝|（p+qi）||z2|＝5p∴p2+q2=925又7＝|z1﹣z2|＝|（p+qi）z2﹣z2|＝|z2||（p﹣1）+qi|＝5(p∴（p﹣1）2+q2=4925聯(lián)立①②，解得p=-310，q∴z1z2=-（3）∵|z|＝1，設(shè)z＝cosθ+isinθ，θ∈R，則|z2﹣z+1|＝|z2﹣z+z?z|＝|z（z+z-1）|＝|z||z+z-1|＝|2cos∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣3≤2cosθ﹣1≤1，∴|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及方程思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．16．我們把a(bǔ)0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）稱(chēng)為一元n次多項(xiàng)式方程．代數(shù)基本定理：任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式方程（即a0，a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何復(fù)系數(shù)一元n（n∈N*）次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為n個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積．即a0+a1x+a2x2+?+anxn=an(x-α1)k1(x-α2)k2?(x-αm)km，其中k，m∈N*，進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即a0，a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：觀察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一個(gè)根，則（x﹣1）一定是多項(xiàng)式x3﹣1的一個(gè)因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系數(shù)法可知，a＝b＝c＝1．（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；（2）設(shè)f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；（ii）記點(diǎn)P（x0，y0）是y＝f（x）的圖象與直線(xiàn)y＝x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)．求證：當(dāng)a1+2a2+3a3≤1時(shí)，x0＝1．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化．【答案】（1）x1＝1，x2=-（2）（i）x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）=-（ii）證明過(guò)程見(jiàn)解析．【分析】（1）觀察可知x＝1是方程x3﹣2x+1＝0的一個(gè)根，所以設(shè)x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），對(duì)照可得a＝1，b＝1，c＝﹣1，得到（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即可求出方程的根；（2）（i）x＝1是方程x-(a0+a1x+a2x2+a3x3)=0的一個(gè)根，所以設(shè)x-(（ii）令f（x）﹣x＝0，故x0是方程(a0+a1x+a2x2+a3x3)-x=0的最小正實(shí)根，由（i）知(a0+a1x+a2x2+a3x3)-x=(x-1)[a3x2+(a2【解答】解：（1）觀察可知：（x﹣1）是方程x3﹣2x+1＝0的一個(gè)根；…………1分所以：x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，由待定系數(shù)法可知，a＝1，b＝1，c＝﹣1；所以（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即x＝1或x2+x﹣1＝0，則方程的根為x1＝1，x2=-1+52（2）（i）由a0+a1+a2+a3＝1可知：（x﹣1）是方程x-所以：x-由待定系數(shù)法可知，a＝﹣a3，b＝﹣（a2+a3）＝（a0+a1）﹣1，c＝a0，所以x-(a0+（ii）令f（x）﹣x＝0，即(a點(diǎn)P（x0，y0）是y＝f（x）的圖象與直線(xiàn)y＝x在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)，等價(jià)于x0是方程(a0+a1x+由（i）知：（x﹣1）是方程x-且(a0+設(shè)g(x)=a3x2+(a2+a3)x-又因?yàn)間（0）＝﹣a0＜0，則g（x）一定有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根，設(shè)正實(shí)根為t，又a0+a1+a2+a3＝1，可得a0＝1﹣（a1+a2+a3），所以g（1）＝a3+（a2+a3）﹣a0＝3a3+2a2+a1﹣1，當(dāng)a1+2a2+3a3≤1時(shí)，g（1）≤0，由二次函數(shù)單調(diào)性可知t≥1，即x＝1是方程x-(a0+a1x+【點(diǎn)評(píng)】本題考查三次函數(shù)，解題關(guān)鍵是需要求解出三次函數(shù)的零點(diǎn)，可以先求出一個(gè)零點(diǎn)后將三次函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)再進(jìn)行解題．17．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]．（1）若復(fù)數(shù)z=z1（2）求|3z1+z2|的取值范圍．【考點(diǎn)】共軛復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）θ=3π4．（【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的乘除法法則，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：（1）∵復(fù)數(shù)z1＝1﹣i，∴z1=1+∴z＝（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cosθ﹣sinθ）+（sinθ+cosθ）i，∵復(fù)數(shù)z=∴sinθ+cosθ＝0，即tanθ＝﹣1，∵θ∈[0，π]，∴θ=（2）∵z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，∴3z1+z2＝3﹣3i+cosθ+sinθi＝（3+cosθ）+（sinθ﹣3）i，∴|3z1+z2|=(3+∵θ∈[0，π]，∴-1≤cos∴|3z1+z2|的取值范圍為[32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．18．如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上，∠BDC＝45°．（Ⅰ）求BD的長(zhǎng)；（Ⅱ）已知復(fù)數(shù)z的模為10，且以∠ABD為輻角，求z2．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的三角表示．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）BD=12（Ⅱ）z2＝96+28i．【分析】（Ⅰ）先由題設(shè)求得AC，進(jìn)而求得sin∠ACB，再在△BCD中利用正弦定理求得BD的長(zhǎng)；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得∠ABD的正弦、余弦值，進(jìn)而求得復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得z2．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=42+32=5，sin∠ACB=又在△BCD中，∠BDC＝45°，∴由正弦定理可得：BDsin∠ACB=BCsin（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos∠ABD＝sin∠DBC＝sin（45°+∠ACB）=22（35sin∠ABD=1-又復(fù)數(shù)z的模為10，∴z＝10（7210+210i∴z2＝（72+2i）2＝2（7+i）2＝96+28【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用、復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．19．已知復(fù)數(shù)z＝（2+i）m+2ii-1（其中i（1）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求m的值；（2）求|z﹣1|的取值范圍．【考點(diǎn)】純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)z．（1）由實(shí)部為0且虛部不為0列式求得m值；（2）求出|z﹣1|，利用配方法求范圍．【解答】解：z＝（2+i）m+2（1）∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴2m+1=0m-（2）z﹣1＝2m+（m﹣1）i，|z﹣1|=4∴|z﹣1|的取值范圍是[2【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．20．設(shè)z+1為關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0，m，n∈R的虛根，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)z＝﹣1+i時(shí)，求m、n的值；（2）若n＝1，在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P，復(fù)數(shù)2+4i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Q，試求|PQ|的取值范圍．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)．【專(zhuān)題】方程思想；三角函數(shù)的求值；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由z＝﹣1+i，可得z+1＝i，可得方程x2+mx+n＝0的兩根分別為i，﹣i．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得i-i=-m（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），可得z+1=a+1﹣bi．由題意可得：（z+1）z+1=（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，則方程x2+mx+n＝0的兩根分別為i，﹣i．由根與系數(shù)的關(guān)系可得i-i=-m-i2=（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則z+1=a+1+bi由題意可得：（z+1）z+1=（a+1）2+b2＝令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．|PQ|=(cosθ-1-2)2【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)求值、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．純虛數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實(shí)部和虛部，當(dāng)a