2024屆河北省邢臺(tái)市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3.已知向量，滿足，，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】〖祥解〗由向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳析】因?yàn)?，，所?故選：A.4.已知橢圓的上焦點(diǎn)為，則（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，．因?yàn)?，所以，所?故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且為第三象限角，所以，故，故選：B6.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，所以排除A，C．因?yàn)?，所以，所以排除B．故選：D7.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因平面，、平面，所以，，因?yàn)?，，、平面，所以平面，如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榍?，所以，所以弧的長(zhǎng)為．故選：B.8.設(shè)，若，則的最小值為（）A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】設(shè)，，令，解得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)（23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個(gè).如下表：編號(hào)12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B.早睡群體睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小【答案】BD【解析】因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因?yàn)橥硭后w的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對(duì)比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.故選：BD.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若到一條漸近線的距離為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的坐標(biāo)可能是D.若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與的左支有交點(diǎn)，則【答案】BD【解析】因?yàn)榈綕u近線的距離為，所以．因?yàn)?，可知，為上右支上一點(diǎn)，，所以，．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，，所以的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤．由上知的離心率，所以B正確．因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，直線只與右支相交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與左右兩支各交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與右支相交于兩點(diǎn)，故D正確．故選：BD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，則（）A.B.過(guò)，B，F(xiàn)的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為，連接,故,由于相交，所以不可能平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，連接,則四邊形即為截面，由于,故四邊形為等腰梯形，過(guò)作，則,所以,故B正確，對(duì)于C，由于，所以即為直線BF與AC所成角或其補(bǔ)角，,所以,故C正確，對(duì)于D，由于平面，所以即為與平面所成角,故,故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.1【答案】CD【解析】令，顯然的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則，所以為奇函數(shù)．因，且，，所以，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)榈葍r(jià)于，所以，所以，即在上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，．令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．對(duì)比選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以為和1.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_________．【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知：所得函數(shù)解析式為，令，，得，，所以所得圖象的對(duì)稱(chēng)中心為．故答案為：（答案不唯一）14.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則其展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）【答案】1792【解析】由，得．的通項(xiàng)公式為．令，得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為．故答案為：1792.15.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)?，要使有意義，需滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓．因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1），由正弦定理得．因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以．（2）因?yàn)椋裕驗(yàn)闉殇J角三角形，所以得．因?yàn)椋?，得，所?即的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）證明.證明：（1）由得：，而，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是：．（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為．（1）證明：平面．（2）若二面角為，求銳二面角的余弦值．證明：（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；解：?）取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為菱形，，所以為正三角形，因?yàn)?，均為正三角形，所以，，所以為二面角的平面角，即，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得，所以，所以銳二面角的余弦值為．20某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一的概率．（2）現(xiàn)學(xué)校欲對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對(duì)每道題計(jì)1分，答錯(cuò)計(jì)0分，后2道題答對(duì)每道題計(jì)2分，答錯(cuò)計(jì)0分，累積計(jì)分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員．已知張同學(xué)前2道題每道題答對(duì)的概率均為，后2道題每道題答對(duì)的概率均為，是否正確回答每道題之間互不影響．記張同學(xué)在本次考核中累積計(jì)分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，并求張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱(chēng)號(hào)的概率．解：（1）設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一”，則.（2）由題意可知的取值可為，前兩道題答錯(cuò)的概率為，后兩道題答錯(cuò)的概率也為，，，，，，，，故X的分布列為：X0123456P數(shù)學(xué)期望為，因?yàn)槔鄯e計(jì)分不低于5分的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)員，所以張同學(xué)在本次考核中獲得優(yōu)秀學(xué)員稱(chēng)號(hào)的概率為.21.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析解：（1），，．故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．證明：（2）由（1）得．令函數(shù)，則，所以是增函數(shù)．因?yàn)?，，所以存在，使得，即．所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．因?yàn)?，所以，所以．故?2.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求拋物線的方程．（2）的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為，的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在與之間．（i）證明：，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．（ii）記的面積為，的面積為，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)軸時(shí)，則，，解得，所以拋物線的方程為．證明：（2）（i）當(dāng)軸時(shí)，不妨設(shè)在軸下方，則，直線的方程為與拋物線聯(lián)立，消去得：，，所以直線與拋物線相切，點(diǎn)不存在，所以與軸不垂直，即直線，的斜率都存在．設(shè)，，，則，所以直線的方程為，即．又直線過(guò)點(diǎn)，所以．同理可得直線的方程為．又直線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以，即，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．（ii）不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在與之間，所以，，，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，，故的取值范圍是．河北省邢臺(tái)市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所?故選：A.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.3.已知向量，滿足，，則（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】〖祥解〗由向量數(shù)量積公式計(jì)算即可得.【詳析】因?yàn)椋?，所?故選：A.4.已知橢圓的上焦點(diǎn)為，則（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，．因?yàn)?，所以，所?故選：C.5.若，且為第三象限角，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，且為第三象限角，所以，故，故選：B6.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋耘懦鼳，C．因?yàn)椋?，所以排除B．故選：D7.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因平面，、平面，所以，，因?yàn)?，，、平面，所以平面，如圖所示，設(shè)為球與平面的交線，則，，所以，所以所在的圓是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)榍?，所以，所以弧的長(zhǎng)為．故選：B.8.設(shè)，若，則的最小值為（）A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】設(shè)，，令，解得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.《黃帝內(nèi)經(jīng)》中的十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為：子時(shí)（23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個(gè).如下表：編號(hào)12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B.早睡群體睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小【答案】BD【解析】因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)樵缢后w的睡眠指數(shù)的10個(gè)樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因?yàn)橥硭后w的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯(cuò)誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對(duì)比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.故選：BD.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，若到一條漸近線的距離為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的坐標(biāo)可能是D.若過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與的左支有交點(diǎn)，則【答案】BD【解析】因?yàn)榈綕u近線的距離為，所以．因?yàn)?，可知，為上右支上一點(diǎn)，，所以，．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，，所以的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤．由上知的離心率，所以B正確．因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，直線只與右支相交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與左右兩支各交一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與右支相交于兩點(diǎn)，故D正確．故選：BD11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AD，的中點(diǎn)，則（）A.B.過(guò)，B，F(xiàn)的截面面積為C.直線BF與AC所成角的余弦值為D.EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)為，連接,故,由于相交，所以不可能平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，取的中點(diǎn)為，連接,則四邊形即為截面，由于,故四邊形為等腰梯形，過(guò)作，則,所以,故B正確，對(duì)于C，由于，所以即為直線BF與AC所成角或其補(bǔ)角，,所以,故C正確，對(duì)于D，由于平面，所以即為與平面所成角,故,故D正確，故選：BCD12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.1【答案】CD【解析】令，顯然的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，則，所以為奇函數(shù)．因，且，，所以，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)榈葍r(jià)于，所以，所以，即在上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，．令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．對(duì)比選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以為和1.故選：CD.三、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為_(kāi)_________．【答案】（答案不唯一）【解析】由題意知：所得函數(shù)解析式為，令，，得，，所以所得圖象的對(duì)稱(chēng)中心為．故答案為：（答案不唯一）14.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則其展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）【答案】1792【解析】由，得．的通項(xiàng)公式為．令，得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)為．故答案為：1792.15.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以的定義域?yàn)?，要使有意義，需滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在直線上，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】2【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓．因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.在銳角中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1），由正弦定理得．因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以．（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角三角形，所以得．因?yàn)?，由，得，所?即的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）證明.證明：（1）由得：，而，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是：．（2）由（1）知，所以．19.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為．（1）證明：平面．（2）若二面角為，求銳二面角的余弦值．證明：（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；解：?）取的中點(diǎn)，連接，，，由四邊形為菱形，，所以為正三角形，因?yàn)?，均為正三角形，所以，，所以為二面角的平面角，即，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得，設(shè)平面的法向量為，，，則令，得，所以，所以銳二面角的余弦值為．20某中學(xué)選拔出20名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有8名、高二學(xué)生有7名、高三學(xué)生有5名．（1）若從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)中隨機(jī)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來(lái)自高一的概率．（2）現(xiàn)學(xué)校欲對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考核規(guī)則如下：考核共4道題，前2道題答對(duì)每道題計(jì)1分