【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)浙教版】專題3.2 一元一次不等式（組）應(yīng)用題 五大題型專項(xiàng)講練（解析版）

第第頁(yè)專題3.2一元一次不等式（組）應(yīng)用題五大題型專項(xiàng)講練一元一次不等式（組）的應(yīng)用題應(yīng)用題在中考中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，該份資料就一元一次不等式（組）不等式的應(yīng)用題：分配不足問(wèn)題、方案問(wèn)題、費(fèi)用優(yōu)化問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。不等式的應(yīng)用題，與等式應(yīng)用題類似，主要思路為：1）根據(jù)題意，列寫不等關(guān)系式；2）設(shè)未知數(shù)，使之方便表示不等關(guān)系式；3）根據(jù)不等關(guān)系，列寫不等關(guān)系式；4）解不等式求解問(wèn)題。題型1.分配不足問(wèn)題不等式應(yīng)用題從另一個(gè)角度可分為兩大類：①含有明確的不等詞（不少于、多余、不超過(guò)……）：將不等詞化為不等號(hào)，以不等號(hào)的具體實(shí)際含義列出不等式；②不含有明確的不等詞：根據(jù)題意中的實(shí)際意義列不等式。例1．（2022·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）某校在一次外出郊游中，把學(xué)生編為9個(gè)組，若每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，則學(xué)生總數(shù)超過(guò)200人；若每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，則學(xué)生總數(shù)不到190人，那么每組預(yù)定的學(xué)生人數(shù)為（）A．24人 B．23人 C．22人 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)若每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，則學(xué)生總數(shù)超過(guò)200人；若每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，則學(xué)生總數(shù)不到190人，可以列出相應(yīng)的不等式組，再求解，注意x為整數(shù)．【詳解】解：設(shè)每組預(yù)定的學(xué)生數(shù)為x人，由題意得，解得是正整數(shù)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，屬于常規(guī)題，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·成都市·八年級(jí)期中）安排學(xué)生住宿，若每間住3人，則還有13人無(wú)房可住；若每間住6人，則還有一間不空也不滿，則宿舍的房間數(shù)量可能為_(kāi)____．【答案】5或6【分析】設(shè)共有間宿舍，則共有個(gè)學(xué)生，然后根據(jù)每間住6人，則還有一間不空也不滿，列出不等式組進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)共有間宿舍，則共有個(gè)學(xué)生，依題意得：，解得：．又為正整數(shù)，或6．故答案為：5或6．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確根據(jù)題意列出不等式組進(jìn)行求解．例2．（2022?市中區(qū)八年級(jí)期中）某幼兒園把一筐桔子分給若干個(gè)小朋友，若每人3只，那么還剩59只，若每人5只，那么最后一個(gè)小朋友分到桔子，但不足4只，試求這筐桔子共有多少只？解：設(shè)幼兒園共有x名小朋友，則桔子的個(gè)數(shù)為（3x+59）個(gè)，由“最后一個(gè)小朋友分到桔子，但不足4個(gè)”可得不等式組0＜（3x+59）﹣5（x﹣1）＜4，解得30＜x＜32，∴x＝31，∴有桔子3x+59＝3×31+59＝152（個(gè)）．答：這筐桔子共有152個(gè)．變式2．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）小明和小亮共下了10盤圍棋，小明勝一盤記1分，小亮勝一盤記3分，當(dāng)他倆下完第9盤后，小明的得分高于小亮；等下完第10盤后，小亮的得分高過(guò)小明，小亮勝（

）盤？（已知比賽中沒(méi)有出現(xiàn)平局）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題可設(shè)小亮贏了x盤，然后列出一元一次不等式組，化簡(jiǎn)后得出x的取值范圍，找出取值范圍中的整數(shù)即可得出本題的答案．【詳解】解：設(shè)下完10盤棋后小亮勝了x盤．根據(jù)題意得，解得．∴所列不等式組的整數(shù)解為x＝3．答：小亮勝了3盤．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的運(yùn)用．解此類題目要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，在不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號(hào)的方向不變；在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號(hào)的方向不變；在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向改變．題型2.方案問(wèn)題解決此類問(wèn)題，依舊先按照普通不等式組解決問(wèn)題的題型進(jìn)行，最終會(huì)得到一個(gè)取值范圍。那么提出的方案只需要符合這個(gè)取值范圍即可。例1．（2022·重慶·七年級(jí)期中）“學(xué)黨史，辦實(shí)事”，為解決停車難問(wèn)題，某區(qū)政府治堵辦對(duì)老舊小區(qū)新增停車位給予補(bǔ)貼，對(duì)于通過(guò)劃線方式新增的和建設(shè)改造新增的給予不同的補(bǔ)貼．劃線4個(gè)和建設(shè)改造3個(gè)，共補(bǔ)貼8000元；劃線1個(gè)和建設(shè)改造1個(gè)，共補(bǔ)貼2500元．(1)政府對(duì)劃線新增一個(gè)停車位和建設(shè)改造新增一個(gè)停車位分別補(bǔ)貼多少元？(2)在（1）的條件下，政府計(jì)劃對(duì)老舊小區(qū)一共新增車位100個(gè)，建設(shè)改造新增的停車位不得少于劃線新增停車位的1.5倍，且政府補(bǔ)貼不超過(guò)143000元，則老舊小區(qū)新增停車位共有幾種方案？【答案】(1)政府對(duì)劃線新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼500元，對(duì)建設(shè)改造新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼2000元(2)共有3種方案【分析】（1）設(shè)政府對(duì)劃線新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼x元，對(duì)建設(shè)改造新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼y元，根據(jù)“劃線4個(gè)和建設(shè)改造3個(gè)，共補(bǔ)貼8000元；劃線1個(gè)和建設(shè)改造1個(gè)，共補(bǔ)貼2500元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)老舊小區(qū)劃線新增m個(gè)停車位，則建設(shè)改造新增（100-m）個(gè)停車位，根據(jù)“建設(shè)改造新增的停車位不得少于劃線新增停車位的1.5倍，且政府補(bǔ)貼不超過(guò)143000元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為整數(shù)即可得出老舊小區(qū)新增停車位方案的個(gè)數(shù)．【詳解】(1)設(shè)政府對(duì)劃線新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼元，對(duì)建設(shè)改造新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼元，依題意得：，解得：x=500y=2000．答：政府對(duì)劃線新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼500元，對(duì)建設(shè)改造新增一個(gè)停車位補(bǔ)貼2000元．(2)設(shè)老舊小區(qū)劃線新增個(gè)停車位，則建設(shè)改造新增個(gè)停車位，依題意得：，解得：．又為整數(shù)，可以為38，39，40，老舊小區(qū)新增停車位共有3種方案．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．變式1．（2022·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）某手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種型號(hào)的手機(jī)，已知每部甲種型號(hào)的手機(jī)進(jìn)價(jià)比每部乙種型號(hào)的手機(jī)進(jìn)價(jià)多200元，且購(gòu)進(jìn)3部甲型號(hào)手機(jī)和2部乙型號(hào)手機(jī)，共需要資金9600元；（1）求甲、乙型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為多少元？（2）該店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的手機(jī)共20臺(tái)進(jìn)行銷售，現(xiàn)已有顧客預(yù)定了8臺(tái)甲種型號(hào)手機(jī)，且該店投入購(gòu)進(jìn)手機(jī)的資金不多于3.8萬(wàn)元，請(qǐng)求出有幾種進(jìn)貨方案？并請(qǐng)寫出進(jìn)貨方案．【答案】（1）甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為2000元，乙為1800元；（2）共有3種進(jìn)貨方案，分別是甲8臺(tái)，乙12臺(tái)；甲9臺(tái)，乙11臺(tái)；甲10臺(tái)，乙10臺(tái)；【分析】（1）設(shè)甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為元，乙為元，根據(jù)題意列出方程組，求解即可；（2）根據(jù)題意列出不等式組，求解即可得出方案．【詳解】解：（1）解：設(shè)甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為元，乙為元，由題意得．，解得答：甲型號(hào)手機(jī)每部進(jìn)價(jià)為2000元，乙為1800元．（2）設(shè)甲型號(hào)進(jìn)貨臺(tái)，則乙進(jìn)貨臺(tái)，由題意可知解得故或9或10，則共有種進(jìn)貨方案：分別是甲8臺(tái)，乙12臺(tái)；甲9臺(tái)，乙11臺(tái)；甲10臺(tái)，乙10臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程或不等式組是解本題的關(guān)鍵．例2．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某市七年級(jí)“新體考”新增了“三大球”選考項(xiàng)目，即足球運(yùn)球繞標(biāo)志桿、排球?qū)|球、籃球行進(jìn)間運(yùn)球上籃．為了使學(xué)生得到更好的訓(xùn)練，某學(xué)校計(jì)劃到某商場(chǎng)采購(gòu)一批足球和排球，該商場(chǎng)的每個(gè)足球與每個(gè)排球的標(biāo)價(jià)之和為90元；若按標(biāo)價(jià)購(gòu)買4個(gè)足球、5個(gè)排球，則共需400元．（1）該商場(chǎng)足球和排球的標(biāo)價(jià)分別是多少元？（2）若該商場(chǎng)有兩種優(yōu)惠方式：方式一：足球和排球一律按標(biāo)價(jià)8折優(yōu)惠；方式二：每購(gòu)買2個(gè)足球，贈(zèng)送1個(gè)排球（單買排球按標(biāo)價(jià)計(jì)算）．①若學(xué)校需采購(gòu)足球、排球各50個(gè)，你認(rèn)為應(yīng)該采用哪種優(yōu)惠方式購(gòu)買合算？②若學(xué)校計(jì)劃在此商場(chǎng)采購(gòu)足球、排球共100個(gè)，其中足球數(shù)量為偶數(shù)且不超過(guò)48個(gè)，并且用方式二購(gòu)買的費(fèi)用不超過(guò)用方式一購(gòu)買的費(fèi)用，請(qǐng)問(wèn)學(xué)校有幾種采購(gòu)方案，并說(shuō)明理由．【答案】（1）該商場(chǎng)足球的標(biāo)價(jià)為50元個(gè)，排球的標(biāo)價(jià)為40元個(gè)；（2）①采用優(yōu)惠方式二購(gòu)買合算；②學(xué)校有2種采購(gòu)方案．【分析】（1）設(shè)該商場(chǎng)足球的標(biāo)價(jià)為元個(gè)，排球的標(biāo)價(jià)為元個(gè)，根據(jù)“該商場(chǎng)的每個(gè)足球與每個(gè)排球的標(biāo)價(jià)之和為90元；若按標(biāo)價(jià)購(gòu)買4個(gè)足球、5個(gè)排球，則共需400元”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出該商場(chǎng)足球和排球的標(biāo)價(jià)；（2）①利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合兩種優(yōu)惠方式的優(yōu)惠策略，即可分別求出采用兩次優(yōu)惠方式所需費(fèi)用，比較后即可得出采用優(yōu)惠方式二購(gòu)買合算；②設(shè)購(gòu)買足球個(gè)，則購(gòu)買排球個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買足球的數(shù)量不超過(guò)48個(gè)，并且用方式二購(gòu)買的費(fèi)用不超過(guò)用方式一購(gòu)買的費(fèi)用”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)且為偶數(shù)，即可得出采購(gòu)方案的個(gè)數(shù)．【詳解】解：（1）設(shè)該商場(chǎng)足球的標(biāo)價(jià)為元個(gè)，排球的標(biāo)價(jià)為元個(gè)，依題意得：，解得：．答：該商場(chǎng)足球的標(biāo)價(jià)為50元個(gè)，排球的標(biāo)價(jià)為40元個(gè)．（2）①采用優(yōu)惠方式一的費(fèi)用為（元；采用優(yōu)惠方式二的費(fèi)用為（元．答：采用優(yōu)惠方式二購(gòu)買合算．②設(shè)購(gòu)買足球個(gè)，則購(gòu)買排球個(gè)，依題意得：，解得：．又為正整數(shù)，且為偶數(shù)，可以取46，48，學(xué)校有2種采購(gòu)方案．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）①利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，分別求出采用兩種優(yōu)惠方式所需費(fèi)用；②根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．變式2．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）為緩解并最終解決能源的供需矛盾，改善日益嚴(yán)峻的環(huán)境狀況，我國(guó)大力提倡發(fā)展新能源．新能源汽車市場(chǎng)發(fā)展迅猛，國(guó)家不僅在購(gòu)買新能源車方面有補(bǔ)貼，而且還有免繳購(gòu)置稅等利好政策．某汽車租賃公司準(zhǔn)備購(gòu)買、兩種型號(hào)的新能源汽車10輛．新能源汽車廠商提供了如下兩種購(gòu)買方案：方案汽車數(shù)量（單位：輛）總費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）第一種購(gòu)買方案64170第二種購(gòu)買方案82160(1)、兩種型號(hào)的新能源汽車每輛的價(jià)格各是多少萬(wàn)元？(2)為了支持新能源汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，國(guó)家對(duì)新能源汽車發(fā)放一定的補(bǔ)貼．已知國(guó)家對(duì)、兩種型號(hào)的新能源汽車補(bǔ)貼資金分別為每輛3萬(wàn)元和4萬(wàn)元．通過(guò)測(cè)算，該汽車租賃公司在此次購(gòu)車過(guò)程中，可以獲得國(guó)家補(bǔ)貼資金不少于34萬(wàn)元，公司需要支付資金不超過(guò)145萬(wàn)元，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算求出有幾種購(gòu)買方案．【答案】(1)型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是15萬(wàn)元，型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是20萬(wàn)元(2)共有三種購(gòu)車方案，方案一：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車4輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車6輛；方案二：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車5輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車5輛；方案三：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車6輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車4輛【分析】（1）設(shè)A種型號(hào)的新能源汽車每輛的價(jià)格為x萬(wàn)元，B種型號(hào)的新能源汽車每輛的價(jià)格為y萬(wàn)元，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量結(jié)合汽車廠商提供的兩種購(gòu)買方案，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)該汽車租賃公司購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)的新能源汽車a輛，則購(gòu)進(jìn)B種型號(hào)的新能源汽車（10-a）輛，根據(jù)國(guó)家補(bǔ)貼資金不少于34萬(wàn)元及公司需要支付資金不超過(guò)145萬(wàn)元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍，再結(jié)合a為整數(shù)即可得出各購(gòu)買方案．(1)設(shè)型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是萬(wàn)元，型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是萬(wàn)元.由題意得：解得：.型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是15萬(wàn)元，型號(hào)新能源汽車每輛的價(jià)格是20萬(wàn)元.(2)設(shè)購(gòu)買型號(hào)新能源汽車輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車輛.由題意得：解得：.∵a是整數(shù)，∴a=4，5或6∴共有三種購(gòu)車方案方案一：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車4輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車6輛方案二：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車5輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車5輛方案三：購(gòu)買型號(hào)新能源汽車6輛，則購(gòu)買型號(hào)新能源汽車4輛【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．題型3.利潤(rùn)問(wèn)題例1．（2022·重慶八年級(jí)階段練習(xí)）節(jié)日將至，某水果店打算將紅心獼猴桃、奉節(jié)臍橙、阿克蘇糖心蘋果以鮮果禮盒的方式進(jìn)行銷售．其中一個(gè)紅心獼猴桃與一個(gè)阿克蘇糖心蘋果成本價(jià)之和為一個(gè)奉節(jié)臍橙的成本價(jià)的兩倍，一個(gè)阿克蘇糖心蘋果與一個(gè)紅心獼猴桃成本價(jià)之差的兩倍等于一個(gè)奉節(jié)臍橙的成本價(jià)．商家打算將甲種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃6個(gè)、奉節(jié)臍橙4個(gè)、阿克蘇糖心蘋果6個(gè)；乙種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃8個(gè)、奉節(jié)臍橙4個(gè)、阿克蘇糖心蘋果6個(gè)；丙種鮮果禮盒裝紅心獼猴桃4個(gè)、奉節(jié)臍橙8個(gè)、阿克蘇糖心蘋果8個(gè)．已知每個(gè)鮮果禮盤的成本價(jià)定為各水果成本價(jià)之和，每個(gè)甲種鮮果禮盒在成本價(jià)的基礎(chǔ)上提高之后進(jìn)行銷售，每個(gè)乙種鮮果禮盒的利潤(rùn)等于兩個(gè)阿克蘇糖心蘋果的成本價(jià)，每個(gè)丙種鮮果禮盒的利潤(rùn)率和每個(gè)乙種鮮果禮盒時(shí)利潤(rùn)率相等．某單位元旦節(jié)發(fā)福利，準(zhǔn)備給每個(gè)員工發(fā)一個(gè)鮮果禮盒．采購(gòu)員向該水果店預(yù)訂了80個(gè)甲種鮮果禮盒，預(yù)訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間．該水果店通過(guò)核算，此次訂單的利潤(rùn)率為，則該單位一共有________名員工．【答案】140【分析】設(shè)一個(gè)紅心獼猴桃的成本價(jià)為x元，一個(gè)奉節(jié)臍橙的成本價(jià)為z元，一個(gè)阿克蘇糖心蘋果的成本價(jià)為y元，然后由題意易得，則有甲種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，乙種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，丙種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，進(jìn)而可得甲的利潤(rùn)為元，乙的利潤(rùn)為元，利潤(rùn)率為，丙的利潤(rùn)為元，設(shè)預(yù)定乙種鮮果禮盒的數(shù)量為m，丙種鮮果禮盒的數(shù)量為n，則根據(jù)“訂單的利潤(rùn)率為”列出方程，最后根據(jù)“預(yù)訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間”來(lái)求解即可．【詳解】解：設(shè)一個(gè)紅心獼猴桃的成本價(jià)為x元，一個(gè)奉節(jié)臍橙的成本價(jià)為z元，一個(gè)阿克蘇糖心蘋果的成本價(jià)為y元，由題意得：，解得：，∴甲種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，乙種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，丙種鮮果禮盒的成本價(jià)為元，∴甲的利潤(rùn)為元，乙的利潤(rùn)為元，則有它的利潤(rùn)率為，進(jìn)而可得丙的利潤(rùn)為元，設(shè)預(yù)定乙種鮮果禮盒的數(shù)量為m，丙種鮮果禮盒的數(shù)量為n，由題意得：，化簡(jiǎn)得：，∴，∵預(yù)訂乙種鮮果禮盒的數(shù)量與丙種鮮果禮盒的數(shù)量之差位于12和28之間，∴，即，解得：，∵m為正整數(shù)，∴m的值可能為36、37、38、39、40、41、42、43、44，∵n為正整數(shù)，∴是6的倍數(shù)，∴，∴該單位一共有80+40+20=140（名）；故答案為140．【點(diǎn)睛】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期末）“寒辭去冬雪，暖帶入春風(fēng)”，隨著新春佳節(jié)的臨近，家家戶戶都在準(zhǔn)備年貨，臘肉香腸幾乎是川渝地區(qū)必備的年貨之一．某超市購(gòu)進(jìn)一批川味香腸和廣味香腸進(jìn)行銷售，試銷期間，兩種香腸各銷售100千克，銷售總額為12000元，利潤(rùn)率為20%．正式銷售時(shí)，超市決定將兩種香腸混裝成禮盒的形式促銷（每個(gè)禮盒的成本為混裝香腸的成本之和），其中A禮盒混裝2千克廣味香腸，2千克川味香腸；B禮盒混裝1千克廣味香腸，3千克川味香腸，兩種禮盒的數(shù)量之和不超過(guò)180個(gè)．超市工作人員在對(duì)這批禮盒進(jìn)行成本核算時(shí)將兩種香腸的成本剛好弄反，這樣核算出的成本比實(shí)際成本少了500元，則超巿混裝A、B兩種禮盒的總成本最多為_(kāi)_____元．【答案】36250【分析】設(shè)每千克川味香腸的成本為元，每千克廣味香腸的成本為元，先根據(jù)利潤(rùn)率的計(jì)算公式可得，從而可分別求出每個(gè)禮盒的實(shí)際成本和核算出的成本，再設(shè)禮盒的數(shù)量為個(gè)，禮盒的數(shù)量為個(gè)，根據(jù)“核算出的成本比實(shí)際成本少了500元”可得，從而可得，然后結(jié)合求出超巿混裝兩種禮盒的總成本的最大值即可得．【詳解】解：設(shè)每千克川味香腸的成本為元，每千克廣味香腸的成本為元，由題意得：，即，則每個(gè)禮盒的實(shí)際成本和核算出的成本均為（元），每個(gè)禮盒的實(shí)際成本為（元），核算出的成本為（元），設(shè)禮盒的數(shù)量為個(gè)，禮盒的數(shù)量為個(gè)，由題意得：，即，聯(lián)立，解得，則超巿混裝兩種禮盒的總成本為，即超巿混裝兩種禮盒的總成本最多為36250元，故答案為：36250．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式、二元一次方程組的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)設(shè)立未知數(shù)，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．例2．（2022·浙江新昌·八年級(jí)期末）某種家用電器的進(jìn)價(jià)為每件800元，以每件1200元的標(biāo)價(jià)出售，由于電器積壓，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保證利潤(rùn)率不低于5%，則最低可按標(biāo)價(jià)的______折出售．【答案】七【分析】設(shè)按標(biāo)價(jià)的x折出售，利用利潤(rùn)=售價(jià)-成本，結(jié)合利潤(rùn)不低于5%，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解出不等式取最小值即可．【詳解】解：設(shè)按標(biāo)價(jià)的x折出售由題意得：解得：最低可按標(biāo)價(jià)的7折出售故答案為7【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·上海松江·期末）今年“六一”前夕，某文具店花費(fèi)2200元采購(gòu)了A、B兩種型號(hào)的文具進(jìn)行銷售，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)之間的關(guān)系如表：型號(hào)進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）售價(jià)（元/個(gè)）A型1012B型1520若兩種型號(hào)的文具按表中售價(jià)全部售完，則該商店可以盈利600元．(1)問(wèn)該商店當(dāng)初購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)文具各多少個(gè)？(2)“六一”當(dāng)天，A、B兩種型號(hào)文具各剩下20%還未賣出，文具店老板在第二天降價(jià)出售，且兩種型號(hào)文具每件降了同樣的價(jià)格，要使得這批文具售完后的總盈利不低于546元，那么這兩種型號(hào)的文具每件最多降多少元？【答案】(1)該商店當(dāng)初購(gòu)進(jìn)A型號(hào)文具100個(gè)，B型號(hào)文具80個(gè)(2)1.5元【分析】（1）設(shè)該商店當(dāng)初購(gòu)進(jìn)A型號(hào)文具x個(gè)，B型號(hào)文具y個(gè)，根據(jù)用2200元購(gòu)進(jìn)的A、B兩種型號(hào)的文具全部售出后可盈利600元，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)這兩種型號(hào)的文具每件降m元，利用這批文具售完后的總盈利＝600﹣剩余文具的數(shù)量×每件降低的價(jià)格，結(jié)合使得這批文具售完后的總盈利不低于546元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．【解析】(1)解：（1）設(shè)該商店當(dāng)初購(gòu)進(jìn)A型號(hào)文具x個(gè)，B型號(hào)文具y個(gè)，依題意得：，解得：．答：該商店當(dāng)初購(gòu)進(jìn)A型號(hào)文具100個(gè)，B型號(hào)文具80個(gè)；(2)（2）設(shè)這兩種型號(hào)的文具每件降m元，依題意得：600﹣（100+80）×20%m≥546，解得：m≤1.5．答：這兩種型號(hào)的文具每件最多降1.5元．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意利用方程組或是不等式解決實(shí)際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．題型4.費(fèi)用優(yōu)化問(wèn)題費(fèi)用優(yōu)化問(wèn)題是在方案問(wèn)題上進(jìn)一步深化，再求出費(fèi)用（結(jié)果）最大（?。┑姆桨浮＝忸}方法為：先按照方案問(wèn)題，求解出所有合適的方案，在求出各個(gè)方案的費(fèi)用（結(jié)果），比較得出費(fèi)用最大（?。├麧?rùn)（結(jié)果）的方案。例1．（2022·浙江嘉興市·八年級(jí)期末）某企業(yè)新增了一個(gè)化工項(xiàng)目，為了節(jié)約資源，保護(hù)環(huán)境，該企業(yè)決定購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的污水處理設(shè)備共10臺(tái)，具體情況如下表：經(jīng)預(yù)算，企業(yè)最多支出136萬(wàn)元購(gòu)買設(shè)備，且要求月處理污水能力不低于2150噸．（1）該企業(yè)有哪幾種購(gòu)買方案？（2）哪種方案更省錢？并說(shuō)明理由．A型B型價(jià)格（萬(wàn)元/）1512月污水處理能力（噸/月）250200【答案】（1）有3種購(gòu)買方案：第一種是購(gòu)買3臺(tái)A型污水處理設(shè)備，7臺(tái)B型污水處理設(shè)備；第二種是購(gòu)買4臺(tái)A型污水處理設(shè)備，6臺(tái)B型污水處理設(shè)備；第三種是購(gòu)買5臺(tái)A型污水處理設(shè)備，5臺(tái)B型污水處理設(shè)備；（2）購(gòu)買3臺(tái)A型污水處理設(shè)備，7臺(tái)B型污水處理設(shè)備更省錢【分析】（1）設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型號(hào)x臺(tái)，則購(gòu)買B型號(hào)（10﹣x）臺(tái)，由不等量關(guān)系購(gòu)買A型號(hào)的費(fèi)用+購(gòu)買B型號(hào)的費(fèi)用≤136；A型號(hào)每月處理的污水總量+B型號(hào)每月處理的污水總量≥2150，列出不等式組，然后找出最合適的方案即可．（2）計(jì)算出每一方案的花費(fèi)，通過(guò)比較即可得到答案．【詳解】設(shè)購(gòu)買污水處理設(shè)備A型號(hào)x臺(tái)，則購(gòu)買B型號(hào)（10﹣x）臺(tái)，根據(jù)題意，得，解這個(gè)不等式組，得：．∵x是整數(shù)，∴x=3或x=4或x=5．當(dāng)x=3時(shí)，10﹣x=7；當(dāng)x=4時(shí)，10﹣x=6；當(dāng)x=5時(shí)，10-x=5．答：有3種購(gòu)買方案：第一種是購(gòu)買3臺(tái)A型污水處理設(shè)備，7臺(tái)B型污水處理設(shè)備；第二種是購(gòu)買4臺(tái)A型污水處理設(shè)備，6臺(tái)B型污水處理設(shè)備；第三種是購(gòu)買5臺(tái)A型污水處理設(shè)備，5臺(tái)B型污水處理設(shè)備；（2）當(dāng)x=3時(shí)，購(gòu)買資金為15×3+12×7=129（萬(wàn)元），當(dāng)x=4時(shí)，購(gòu)買資金為15×4+12×6=132（萬(wàn)元），當(dāng)x=5時(shí)，購(gòu)買資金為15×5+12×5=135（萬(wàn)元）．因?yàn)?35＞132>129，所以應(yīng)購(gòu)污水處理設(shè)備A型號(hào)3臺(tái)，B型號(hào)7臺(tái)．答：購(gòu)買3臺(tái)A型污水處理設(shè)備，7臺(tái)B型污水處理設(shè)備更省錢．【點(diǎn)睛】此題考查方案類不等式組的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，根據(jù)題意列得不等式組是解題的關(guān)鍵．變式1.（2022·沙坪壩區(qū)·八年級(jí)月考）某木板加工廠將購(gòu)進(jìn)的A型、B型兩種木板加工成C型，D型兩種木板出售，已知一塊A型木板的進(jìn)價(jià)比一塊B型木板的進(jìn)價(jià)多10元，且購(gòu)買2塊A型木板和3塊B型木板共花費(fèi)220元．（1）A型木板與B型木板的進(jìn)價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)市場(chǎng)需求，該木板加工廠決定用不超過(guò)8780元購(gòu)進(jìn)A型木板、B型木板共200塊，若一塊A型木板可制成2塊C型木板、1塊D型木板；一塊B型木板可制成1塊C型木板、2塊D型木板，且生產(chǎn)出來(lái)的C型木板數(shù)量不少于D型木板的數(shù)量的．①該木板加工廠有幾種進(jìn)貨方案？②若C型木板每塊售價(jià)30元，D型木板每塊售價(jià)25元，且生產(chǎn)出來(lái)的C型木板、D型木板全部售出，哪一種方案獲得的利潤(rùn)最大，求出最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）A型木板的進(jìn)價(jià)為50元/塊，B型木板的進(jìn)價(jià)為40元/塊；（2）①該木板加工廠有4種進(jìn)貨方案；方案1：購(gòu)進(jìn)A型木板75塊，B型木板125塊；方案2：購(gòu)進(jìn)A型木板76塊，B型木板124塊；方案3：購(gòu)進(jìn)A型木板77塊，B型木板123塊；方案4：購(gòu)進(jìn)A型木板78塊，B型木板122塊．②方案1購(gòu)進(jìn)A型木板75塊，B型木板125塊利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7625元．【分析】（1）設(shè)A型木板的進(jìn)價(jià)為x元/塊，B型木板的進(jìn)價(jià)為y元/塊，根據(jù)“一塊A型木板的進(jìn)價(jià)比一塊B型木板的進(jìn)價(jià)多10元，購(gòu)買2塊A型木板和3塊B型木板共花費(fèi)220元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)購(gòu)入A型木板m塊，則購(gòu)入B型木板（200-m）塊，由購(gòu)進(jìn)木板的總資金不超過(guò)8780元且生產(chǎn)出來(lái)的C型木板數(shù)量不少于D型木板的數(shù)量的，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為整數(shù)即可得出各進(jìn)貨方案；②根據(jù)利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本，分別求出4個(gè)進(jìn)貨方案的銷售利潤(rùn)，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)A型木板的進(jìn)價(jià)為x元/塊，B型木板的進(jìn)價(jià)為y元/塊，依題意，得：，解得：．答：A型木板的進(jìn)價(jià)為50元/塊，B型木板的進(jìn)價(jià)為40元/塊．（2）①設(shè)購(gòu)入A型木板m塊，則購(gòu)入B型木板（200-m）塊，依題意，得：，解得：75≤m≤78．∵m為整數(shù)，∴m=75，76，77，78．∴該木板加工廠有4種進(jìn)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)A型木板75塊，B型木板125塊；方案2：購(gòu)進(jìn)A型木板76塊，B型木板124塊；方案3：購(gòu)進(jìn)A型木板77塊，B型木板123塊；方案4：購(gòu)進(jìn)A型木板78塊，B型木板122塊．②方案1獲得的利潤(rùn)為（75×2+125）×30+（75+125×2）×25-75×50-125×40=7625（元），方案2獲得的利潤(rùn)為（76×2+124）×30+（76+124×2）×25-76×50-124×40=7620（元），方案3獲得的利潤(rùn)為（77×2+123）×30+（77+123×2）×25-77×50-123×40=7615（元），方案4獲得的利潤(rùn)為（78×2+122）×30+（78+122×2）×25-78×50-122×40=7610（元）．∵7625＞7620＞7615＞7610，∴方案1購(gòu)進(jìn)A型木板75塊，B型木板125塊利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為7625元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）①根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；②利用利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本，分別求出4個(gè)進(jìn)貨方案的銷售利潤(rùn)．變式2．（2022·吉林前郭爾羅斯·七年級(jí)期末）某商店需要購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共160件，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）1535售價(jià)（元/件）2045（1）若商店計(jì)劃銷售完這批商品后能獲利1100元．則甲、乙兩種商品應(yīng)分別購(gòu)進(jìn)多少件？（2）若商店計(jì)劃投入資金不多于4300元，且銷售完這批商品獲利多于1260元，商店有哪幾種購(gòu)貨方案？哪種購(gòu)貨方案銷售利潤(rùn)最大？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品100件，乙種商品60件；（2）商店共同3種購(gòu)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)甲種商品65件，乙種商品95件；方案2：購(gòu)進(jìn)甲種商品66件，乙種商品94件；方案3：購(gòu)進(jìn)甲種商品67件，乙種商品93件．方案1的銷售利潤(rùn)最大，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件，根據(jù)“購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共160件，且全部銷售完能獲利1100元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品的數(shù)量；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品m件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品（160-m）件，根據(jù)“投入資金不少于4300元，且銷售完批商品獲利多于1260元”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)貨方案，利用銷售總利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)×銷售數(shù)量，可分別求出各方案可獲得的銷售利潤(rùn)，比較后可得出購(gòu)貨方案1銷售利潤(rùn)最大．【詳解】解：（1）設(shè)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件，依題意得：，解得：．答：應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲種商品100件，乙種商品60件；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種商品m件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品（160﹣m）件，依題意得：，解得：65≤m＜68．又∵m為正整數(shù)，∴m可以為65，66，67，∴商店共同3種購(gòu)貨方案，方案1：購(gòu)進(jìn)甲種商品65件，乙種商品95件；方案2：購(gòu)進(jìn)甲種商品66件，乙種商品94件；方案3：購(gòu)進(jìn)甲種商品67件，乙種商品93件．方案1的銷售利潤(rùn)最大，理由如下：方案1的銷售利潤(rùn)為（20﹣15）×65+（45﹣35）×95＝1275（元）；方案2的銷售利潤(rùn)為（20﹣15）×66+（45﹣35）×94＝1270（元）；方案3的銷售利潤(rùn)為（20﹣15）×67+（45﹣35）×93＝1265（元）．∵1275＞1270＞1265，∴購(gòu)貨方案1銷售利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．題型5.其他問(wèn)題例1．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）中午放學(xué)后，有a個(gè)同學(xué)在學(xué)校一食堂門口等侯進(jìn)食堂就餐，由于二食堂面積較大，所以配餐前二食堂等待就餐的學(xué)生人數(shù)是一食堂的2倍，開(kāi)始配餐后，仍有學(xué)生續(xù)前來(lái)排隊(duì)等候就餐，設(shè)一食堂排隊(duì)的學(xué)生人數(shù)按固定的速度增加，且二食堂學(xué)生人數(shù)增加的速度是一食堂的2倍，兩個(gè)食堂每個(gè)窗口阿姨配餐的速度是一樣的，一食堂若開(kāi)放12個(gè)配餐窗口，則需10分鐘才可為排隊(duì)就餐的同學(xué)配餐完畢；二食堂若開(kāi)放2個(gè)配餐窗口，則14分鐘才可為排隊(duì)就餐的同學(xué)配餐完畢；若需要在15分鐘內(nèi)配餐完畢，則兩個(gè)食堂至少需要同時(shí)一共開(kāi)放_(tái)__個(gè)配餐窗口．【答案】29【分析】設(shè)每分鐘來(lái)一食堂就餐的人數(shù)為x人，食堂每個(gè)窗口阿姨配餐的速度為每分鐘y人，則每分鐘來(lái)二食堂就餐的人數(shù)為2x人，根據(jù)“一食堂若開(kāi)放12個(gè)配餐窗口，則需10分鐘才可為排隊(duì)就餐的同學(xué)配餐完畢；二食堂若開(kāi)放20個(gè)配餐窗口，則14分鐘才可為排隊(duì)就餐的同學(xué)配餐完畢”，即可得出關(guān)于x，y，a的三元一次方程組，解之即可用含y的代數(shù)式表示出a，x，設(shè)設(shè)兩個(gè)食堂同時(shí)一共開(kāi)放m個(gè)配餐窗口，根據(jù)需要在15分鐘內(nèi)配餐完畢，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每分鐘來(lái)一食堂就餐的人數(shù)為x人，食堂每個(gè)窗口阿姨配餐的速度為每分鐘y人，則每分鐘來(lái)二食堂就餐的人數(shù)為2x人，依題意得：，∴，設(shè)兩個(gè)食堂同時(shí)一共開(kāi)放m個(gè)配餐窗口，依題意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案為：29．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·山東青州·八年級(jí)期末）小明要從甲地到乙地，兩地相距2千米．已知小明步行的平均速度為100米/分，跑步的平均速度為200米/分，若要在不超過(guò)15分鐘的時(shí)間內(nèi)到達(dá)乙地，至少需要跑步多少分鐘？設(shè)小明需要跑步x分鐘，根據(jù)題意可列不等式為（）A．200x+100（15﹣x）≥2000 B．200x+100（15﹣x）≤2000C．200x+100（15﹣x）≥2 D．100x+200（15﹣x）≥2【答案】A【分析】根據(jù)“跑步的路程+步行的路程≥2000米”可得不等式．【詳解】解：設(shè)小明需要跑步x分鐘，根據(jù)題意可列不等式為200x+100（15-x）≥2000，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，弄清運(yùn)算其蘊(yùn)含的不等式關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河南·九年級(jí)專題練習(xí)）小明與小紅開(kāi)展讀書比賽．小明找出了一本以前已讀完84頁(yè)的古典名著打算繼續(xù)往下讀，小紅上個(gè)周末恰好剛買了同一版本的這本名著，不過(guò)還沒(méi)開(kāi)始讀．于是，兩人開(kāi)始了讀書比賽．他們利用右表來(lái)記錄了兩人5天的讀書進(jìn)程．例如，第5天結(jié)束時(shí)，小明還領(lǐng)先小紅24頁(yè)，此時(shí)兩人所讀到位置的頁(yè)碼之和為424．已知兩人各自每天所讀頁(yè)數(shù)相同．讀書天數(shù)12345頁(yè)碼之差7260483624頁(yè)碼之和152220424(1)表中空白部分從左到右2個(gè)數(shù)據(jù)依次為，；(2)小明、小紅每人每天各讀多少頁(yè)？(3)已知這本名著有488頁(yè)，問(wèn)：從第6天起，小明至少平均每天要比原來(lái)多讀幾頁(yè)，才能確保第10天結(jié)束時(shí)還不被小紅超過(guò)？（答案取整數(shù)）【答案】(1)288，356(2)小明每天讀28頁(yè)，小紅每天讀40頁(yè)(3)小明至少平均每天要比原來(lái)多讀8頁(yè)，才能確保第10天結(jié)束時(shí)還不被小紅超過(guò)【分析】（1）第一天兩人一共讀了152-84=68頁(yè)，故第三天頁(yè)碼之和=220+68=288頁(yè)，第四天頁(yè)碼之和=288+68=356頁(yè)；（2）小明每天讀x頁(yè)，小紅每天讀y頁(yè)．由題意列得議程組，解方程組即可解決問(wèn)題；（3）從第6天起，小明至少平均每天要比原來(lái)多讀m頁(yè)．由題意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解不等式即可解決問(wèn)題．【解析】(1)解：第一天兩人一共讀了152-84=68頁(yè)，故第三天頁(yè)碼之和=220+68=288頁(yè)，第四天頁(yè)碼之和=288+68=356頁(yè)，故答案為：288，356．(2)解：小明每天讀x頁(yè)，小紅每天讀y頁(yè)，由題意，解得，答：小明每天讀28頁(yè)，小紅每天讀40頁(yè)；(3)解：從第6天起，小明至少平均每天要比原來(lái)多讀m頁(yè)．由題意：84+28×5+5（28+m）-10×40≥0，解得m≥7.2，∵m是整數(shù)，∴m=8，∴小明至少平均每天要比原來(lái)多讀8頁(yè)，才能確保第10天結(jié)束時(shí)還不被小紅超過(guò)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式、二元一次方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂表格中的信息，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組或不等式解決問(wèn)題．變式3．（2022·福建·廈門一中八年級(jí)期末）A、B兩地相距25km，甲上午8點(diǎn)由A地出發(fā)騎自行車去B地，乙上午9點(diǎn)30分由A地出發(fā)乘汽車去B地．(1)若乙的速度是甲的速度的4倍，兩人同時(shí)到達(dá)B地，請(qǐng)問(wèn)兩人的速度各是多少?(2)已知甲的速度為，若乙出發(fā)半小時(shí)后還未追上甲，此時(shí)甲、乙兩人的距離不到，判斷乙能否在途中超過(guò)甲，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)甲的速度是12.5千米/時(shí)，乙的速度是50千米/時(shí)；(2)乙能在途中超過(guò)甲．理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)甲的速度是x千米/時(shí)，乙的速度是4x千米/時(shí)，根據(jù)A、B兩地相距25千米，甲騎自行車從A地出發(fā)到B地，出發(fā)1.5小時(shí)后，乙乘汽車也從A地往B地，且兩人同時(shí)到達(dá)B地，可列分式方程求解；（2）根據(jù)乙出發(fā)半小時(shí)后還未追上甲，此時(shí)甲、乙兩人的距離不到，列不等式組求得乙的速度范圍，進(jìn)步計(jì)算即可判斷．(1)解：設(shè)甲的速度是x千米/時(shí)，乙的速度是4x千米/時(shí)，由題意，得，解得x=12.5，經(jīng)檢驗(yàn)x=12.5是分式方程的解，12.5×4=50．答：甲的速度是12.5千米/時(shí)，乙的速度是50千米/時(shí)；(2)解：乙能在途中超過(guò)甲．理由如下：設(shè)乙的速度是y千米/時(shí)，由題意，得，解得：44<y<48，甲走完全程花時(shí)間：小時(shí)，則乙的時(shí)間為：小時(shí)，∴乙小時(shí)走的路程s為：×44<s<×48，即25<s<28，∴乙能在途中超過(guò)甲．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等和不等關(guān)系，并據(jù)此列出方程和不等式組．例2．（2022年廣東八年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)展示試題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開(kāi)門.出東門一十五里有木.問(wèn)出南門幾何步而見(jiàn)木？”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹(shù)距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見(jiàn)到樹(shù)，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹(shù)，出南門750步能見(jiàn)到此樹(shù)，則該小城周長(zhǎng)的最小值為（

）（注：1里=300步，且兩個(gè)正數(shù)的和大于等于其積開(kāi)方的兩倍，當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)取等號(hào)）．A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得出EF?GF＝AG?BE＝10，結(jié)合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．【詳解】因?yàn)?里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里，由題意，得，則，所以該小城的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選D【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的能力，屬于中檔題．變式1．（2022·北京西城·八年級(jí)期末）已知三條線段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是（

）A．10 B．8 C．7 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，根據(jù)不等式的解集求整數(shù)m的最大值．【詳解】解：條線段的長(zhǎng)分別是4，4，m，若它們能構(gòu)成三角形，則，即又為整數(shù)，則整數(shù)m的最大值是7故選C【點(diǎn)睛】本題考查求不等式的整數(shù)解，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·河北長(zhǎng)安·七年級(jí)期末）如圖．已知點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），，若為鈍角三角形，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】當(dāng)兩角的和小于90°或一個(gè)角大于90°時(shí)三角形是一個(gè)鈍角三角形，由此可求解．【詳解】解：由三角形內(nèi)角和可得：，∵，∴當(dāng)與∠O的和小于90°時(shí)，三角形為鈍角三角形，則有；當(dāng)大于90°時(shí)，此時(shí)三角形為鈍角三角形，則有；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握三角形內(nèi)角和及一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·浙江諸暨·八年級(jí)期中）某工廠用如圖甲所示的長(zhǎng)方形和正方形紙板，做成如圖乙所示的豎式與橫式兩種長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋的紙盒．（1）現(xiàn)有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板340張，若要做兩種紙盒共100個(gè)，設(shè)豎式紙盒x個(gè)，需要長(zhǎng)方形紙板________________張，正方形紙板_____________張（請(qǐng)用含有x的式子）（2）在（1）的條件下，有哪幾種生產(chǎn)方案？（3）若有正方形紙板162張，長(zhǎng)方形紙板a張，做成上述兩種紙盒，紙板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．【答案】（1）長(zhǎng)方形紙板用了（x+300）張，正方形紙板用了（200﹣x）張；（2）共有3種生產(chǎn)方案，方案1：生產(chǎn)豎式紙盒38個(gè)，橫式紙盒62個(gè)；方案2：生產(chǎn)豎式紙盒39個(gè)，橫式紙盒61個(gè)；方案3：生產(chǎn)豎式紙盒40個(gè)，橫式紙盒60個(gè)；（3）293或298【分析】（1）可根據(jù)豎式紙盒+橫式紙盒=100個(gè)，每個(gè)豎式紙盒需1個(gè)正方形紙板和4個(gè)長(zhǎng)方形紙板，每個(gè)橫式紙盒需3個(gè)長(zhǎng)方形紙板和2個(gè)正方形紙板來(lái)填空；（2）根據(jù)題意，列不等式組求解即可；（3）設(shè)可以生產(chǎn)豎式紙盒m個(gè)，橫式紙盒個(gè)，可列出方程，再根據(jù)a的取值范圍求出a的取值范圍即可．【詳解】解：（1）設(shè)生產(chǎn)豎式紙盒x個(gè)，則生產(chǎn)橫式紙盒（100﹣x）個(gè)，則長(zhǎng)方形紙板用了張，正方形紙板用了張∴長(zhǎng)方形紙板用了（x+300）張，正方形紙板用了（200﹣x）張．（2）依題意，得：，

解得：．∵x為整數(shù)，∴x＝38，39，40，∴共有3種生產(chǎn)方案，方案1：生產(chǎn)豎式紙盒38個(gè)，橫式紙盒62個(gè)；方案2：生產(chǎn)豎式紙盒39個(gè)，橫式紙盒61個(gè)；方案3：生產(chǎn)豎式紙盒40個(gè)，橫式紙盒60個(gè)．（3）設(shè)可以生產(chǎn)豎式紙盒m個(gè)，橫式紙盒個(gè)，由此可得，為偶數(shù)，依題意，得：∵∴∴∴或∴或答：a的值為293或298．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列不等式求解，注意實(shí)際問(wèn)題最后取整數(shù)解．例3．（2022·重慶一中九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）春節(jié)期間，某超市推出了甲、乙、丙三種臘味套盒，各套盒均含有香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳等四種臘味各若干袋，每袋臘味的重量為500克，一袋臘肉的售價(jià)不低于30元，一袋香腸的售價(jià)比一袋臘肉的售價(jià)貴，單袋臘味的售價(jià)均為整數(shù)元，套盒的售價(jià)即為單袋臘味的售價(jià)之和，甲套盒中含有香腸2袋，臘肉5袋，臘排骨2袋，臘豬腳2袋，乙套盒中含有香腸4袋，臘肉5袋，臘排骨1袋，臘豬腳1袋，丙套盒中含有香腸3袋，臘肉5袋，臘排骨2袋，臘豬腳1袋，甲、乙禮盒售價(jià)均為415元，丙禮盒售價(jià)比甲禮盒貴10元，則臘排骨每袋______元．【答案】50【分析】設(shè)香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳四種臘味的單價(jià)分別為每袋元，元，元，元，再列方程組，分別用含的代數(shù)式再利用都為正整數(shù)，且求解的范圍，從而可得答案.【詳解】解：設(shè)香腸、臘肉、臘排骨、臘豬腳四種臘味的單價(jià)分別為每袋元，元，元，元，則由①②得：由②③得：則把代入①可得：都為正整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則或當(dāng)時(shí)，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，符合題意，此時(shí)，所以：臘排骨每袋50元.故答案為：50【點(diǎn)睛】本題考查的是方程組的應(yīng)用，方程組的正整數(shù)解問(wèn)題，一元一次不等式組的應(yīng)用，熟練的利用方程組與不等式組解決實(shí)際問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.變式1．（2022·湖南新邵·八年級(jí)期末）某學(xué)校為落實(shí)“五項(xiàng)管理”工作，促進(jìn)學(xué)生健康和全面發(fā)展，豐富學(xué)生的體育活動(dòng)，準(zhǔn)備從體育用品商店購(gòu)買一些排球、足球和籃球，排球和足球的單價(jià)相同，買一個(gè)足球需要50元，買一個(gè)籃球需要80元．根據(jù)實(shí)際需要，該學(xué)校從體育用品商店一次性購(gòu)買了三種球共100個(gè)，且購(gòu)買三種球的總費(fèi)用不超過(guò)6000元，則這所中學(xué)最多可購(gòu)買籃球________個(gè)．【答案】33【分析】購(gòu)買足球和籃球的總費(fèi)用不超過(guò)6000元，列式求得解集后得到相應(yīng)整數(shù)解，從而求解．【詳解】解：設(shè)該中學(xué)購(gòu)買籃球m個(gè)，根據(jù)題意得出：80m+50（100-m）≤6000，解得：m≤33，∵m是整數(shù)，∴m≤33（m的最大整數(shù)解是33）．故答案為：33．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用；得到相應(yīng)總費(fèi)用的不等式是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣西江州·七年級(jí)期末）崇左市甲超市和乙超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：甲超市乙超市全場(chǎng)商品一律優(yōu)惠15%購(gòu)物不超過(guò)200元，不優(yōu)惠購(gòu)物超過(guò)200元而不超過(guò)500元，一律八折購(gòu)物超過(guò)500元，其中的500元優(yōu)惠10%，超過(guò)的部分打七五折．已知兩家超市相同的商品的標(biāo)價(jià)都一樣．(1)若小華同學(xué)一次性購(gòu)物200元，請(qǐng)問(wèn)小華同學(xué)到兩家超市實(shí)際付款分別是多少？(2)當(dāng)購(gòu)物總額為多少時(shí)，小華同學(xué)到兩家超市實(shí)際付款相同？(3)若小華在乙超市購(gòu)物實(shí)際付款480元，則買同樣的商品到甲超市實(shí)際付款多少元，他的選擇劃算嗎？試說(shuō)明理由．【答案】(1)小華同學(xué)到甲乙兩家超市實(shí)付款分別170元和200元．(2)當(dāng)購(gòu)物總額是750元時(shí)，小華同學(xué)到甲乙兩家超市實(shí)付款相同；(3)小華選擇在乙超市購(gòu)物不劃算．【分析】（1）根據(jù)甲超市和乙超市促銷方式代入計(jì)算即可；（2）設(shè)購(gòu)物總額是x元時(shí)，先計(jì)算出x的取值范圍，確定打折方式后根據(jù)題意列出方程即可求出答案；（3）由于500×0.8＝400＜480，所以小華在乙超市購(gòu)物實(shí)際總額多于500元，設(shè)小華在乙超市購(gòu)物總額為y元，y＞500時(shí)，根據(jù)乙超市的促銷方式列方程即可求得，再將求出的金額用甲超市促銷方式進(jìn)行計(jì)算后比較，即可判斷．【解析】(1)解：（1）由題意可知，一次性購(gòu)物總額是200元時(shí)：甲超市實(shí)付款：200×（1?15%）＝170（元），乙超市實(shí)付款：200（元），小華同學(xué)到甲乙兩家超市實(shí)付款分別170元和200元．(2)（2）設(shè)購(gòu)物總額是x元時(shí)，甲乙兩家超市實(shí)付款相同，當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額恰好是500元時(shí)，甲超市實(shí)付款＝500×0.85＝425（元），乙超市實(shí)付款＝500×0.8＝400（元），∵425＞400，∴x＞500．根據(jù)題意得x（1?15%）＝500（1?10%）＋（x?500）×0.75，解得x＝750，∴當(dāng)購(gòu)物總額是750元時(shí)，小華同學(xué)到甲乙兩家超市實(shí)付款相同；（3）∵500×0.8＝400＜480，∴該小華在乙超市購(gòu)物實(shí)際總額多于500元，設(shè)該小華同學(xué)在乙超市購(gòu)物總額為y元，且y＞500，根據(jù)題意得：500（1?10%）＋（y?500）×0.75＝480，解得

y＝540．540×（1?15%）＝459（元），∴該顧客在步步高超市購(gòu)物，購(gòu)買總額540元的商品，實(shí)際付款為459元，∵459＜480，∴小華選擇在乙超市購(gòu)物不劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式，有理數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是判斷清楚題目中描述的促銷方式并準(zhǔn)確找出等量關(guān)系進(jìn)行求解．課后專項(xiàng)訓(xùn)練：1.（2022·浙江余杭·八年級(jí)期末）檢測(cè)游泳池的水質(zhì)，要求三次檢驗(yàn)的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗(yàn)，pH的讀數(shù)分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗(yàn)的pH應(yīng)該為多少才能合格？設(shè)第3次的pH值為x，由題意可得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義，并結(jié)合三次檢驗(yàn)的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)的定義．2．（2022·浙江·八年級(jí)期中）研究表明，運(yùn)動(dòng)時(shí)將心率p（次）控制在最佳燃脂心率范圍內(nèi)，能起到燃燒脂肪并且保護(hù)心臟功能的作用．最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過(guò)（220-年齡）×0.8，最低值不低于（220-年齡）×0.6．以30歲為例計(jì)算，，，1，所以30歲的年齡最佳燃脂心率的范圍用不等式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題干中信息可得“不超過(guò)”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30歲的年齡最佳燃脂心率范圍用不等式表示為114≤p≤152．【詳解】最佳燃脂心率最高值不應(yīng)該超過(guò)（220-年齡）×0.8，，p≤152最佳燃脂心率最低值不低于（220-年齡）×0.6，，114≤p在四個(gè)選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)正確.故選:A．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，能將體現(xiàn)不等關(guān)系的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言是解決題目的關(guān)鍵．體現(xiàn)不等關(guān)系的文字語(yǔ)言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．3．（2022·浙江寧波·八年級(jí)期末）某次知識(shí)競(jìng)賽共20道題，每一題答對(duì)得10分，不答得0分，答錯(cuò)扣5分，小聰有一道題沒(méi)答，競(jìng)賽成績(jī)超過(guò)90分．設(shè)他答對(duì)了x道題，則根據(jù)題意可列出不等式為（）A．10x﹣5（19﹣x）≥90B．10x﹣5（19﹣x）＞90C．10x﹣（19﹣x）≥90D．10x﹣（19﹣x）＞90【答案】B【分析】小聰答對(duì)題的得分：10x；小聰答錯(cuò)的得分：-5（19-x），不等關(guān)系：小聰?shù)梅殖^(guò)90分．【詳解】解：設(shè)他答對(duì)了x道題，根據(jù)題意，得10x-5（19-x）＞90．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，找到不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上海市八年級(jí)期中）一件商品的成本價(jià)是30元，若按標(biāo)價(jià)的八八折銷售，至少可獲得10%的利潤(rùn)；若按標(biāo)價(jià)的九折銷售，可獲得不足20%的利潤(rùn)，設(shè)這件商品的標(biāo)價(jià)為元，則x的取值范圍是______________【答案】【分析】根據(jù)“八八折銷售至少可獲得10%的利潤(rùn)、九折銷售可獲得不足20%的利潤(rùn)”列不等式組求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意，得：解得：37.5≤x＜40，故答案為：37.5≤x＜40．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意抓住題目中的關(guān)鍵語(yǔ)句，列出不等式組．此題用到的公式是：進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=售價(jià)．5．（2022·浙江義烏·八年級(jí)期末）某產(chǎn)品進(jìn)價(jià)為每件200元，商店標(biāo)價(jià)為每件300元．現(xiàn)商店準(zhǔn)備將這批服裝打折出售，但要保證毛利潤(rùn)不低于5%，則商店最低可按______折出售．【答案】7【分析】設(shè)售價(jià)可以按標(biāo)價(jià)打x折，根據(jù)“保證毛利潤(rùn)不低于5%”列出不等式，解之可得．【詳解】解：設(shè)售價(jià)可以按標(biāo)價(jià)打x折，根據(jù)題意，得：200+200×5%≤300×，解得：x≥7，答：售價(jià)最低可按標(biāo)價(jià)的7折．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的不等關(guān)系，并據(jù)此列出不等式．6．（2022·浙江余杭·八年級(jí)期中）若等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，則它的腰長(zhǎng)x的取值范圍是______；若等腰三角形的腰長(zhǎng)為6，則它的底邊長(zhǎng)y的取值范圍是______．【答案】

x>3

0<y<12【分析】由等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，則它的腰長(zhǎng)x，已知腰長(zhǎng)是6，底邊長(zhǎng)為y，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，通過(guò)解不等式即可得到答案；等腰三角形的兩腰長(zhǎng)度相等，根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可求出解．【詳解】等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，則它的腰長(zhǎng)x，則根據(jù)x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．腰長(zhǎng)是6，底邊長(zhǎng)為y，根據(jù)三邊關(guān)系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．故答案為x＞3．0＜y＜12；【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關(guān)系．7．（2022·重慶九年級(jí)月考）圖圖餅干店所售餅干款式新穎、價(jià)格實(shí)惠，深受大眾喜愛(ài)．2020年，圖圖店新推出抹茶、奶油、芒果、草莓味四款小餅干，抹茶味與奶油味的銷量之和等于草莓味的銷量，芒果味的銷量占草莓味銷量的，四款餅干的銷量之和不少于2850包，不多于手3540包，抹茶味、奶油味兩款餅干的成本相同，均為芒果味與草莓味的成本之和，四款餅干的成本均為正整數(shù)且草莓味餅干的成本是偶數(shù)，店家制作這四款餅干成本一共12012元，且四款餅干全部售出，2021年，受疫情影響，圖圖店不再制作芒果味餅干，每包抹茶味餅干成本是去年的倍，每包奶油味餅干成本較去年上漲了20%，每包草莓味餅干成本是去年的2倍，銷量之比為4：3：5，其中抹茶味、奶油味餅干單件利潤(rùn)之比為3：4，最后三款餅干的總利潤(rùn)率為90%，則抹茶味、奶油味、草莓味餅干單價(jià)之和為_(kāi)_____元．（每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)）【答案】35【分析】設(shè)2020年芒果的銷量為x包，則草莓的為9x包，抹茶和奶油的銷量之和為9x包，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的不等式，再結(jié)合題意即得出x的取值范圍．設(shè)2020年芒果的成本為a元，草莓的成本為b元，則抹茶和奶油的均為(a+b)元，根據(jù)題意可列出關(guān)于x和a、b的等式，由此即可得出．由題意可得出且b為偶數(shù)，即可由開(kāi)始試數(shù)，得出符合題意的a的值．再將所求出的a和b的值代入由關(guān)于x和a、b的等式所整理的式子，即可求出x的值．即得出2020年芒果的成本，草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．從而可求2021年草莓的成本，抹茶的成本和奶油的的成本．設(shè)抹茶味餅干2021年銷售量為包，則奶油的為包，草莓的為包，由此可求出總成本，從而可求出，總銷售額．設(shè)抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價(jià)分別為r元、s元、t元．根據(jù)題意可得出，即．即可得出總銷售額，由此可得出．再由抹茶味、奶油味餅干單件利潤(rùn)之比為3：4，每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，得出，．即可由開(kāi)始試數(shù)，求出符合題意的t和r的值．最后將r、s、t相加即可．【詳解】設(shè)2020年芒果的銷量為x包，則草莓的為9x包，抹茶和奶油的銷量之和為9x包，根據(jù)題意可列不等式：，解得：，∵x為整數(shù)，∴．設(shè)2020年芒果的成本為a元，草莓的成本為b元，則抹茶和奶油的均為(a+b)元，根據(jù)題意可列等式：，整理得：．∴,整理得：，∵四款餅干的成本均為正整數(shù)，∴．又∵草莓味餅干的成本是偶數(shù)，∴．當(dāng)時(shí)，即，解得：，即a的值為3或4．當(dāng)時(shí)，即，解得：，與四款餅干的成本均為正整數(shù)不符，舍去．當(dāng)時(shí)，即，不符合題意，舍去．∴當(dāng)a=3，時(shí)，代入，得：，解得：；當(dāng)a=4，時(shí)，代入，得：，解得：，與x為整數(shù)不符；∴2020年芒果的成本為3元，草莓的成本為2元，則抹茶和奶油的均為5元．∴2021年抹茶的成本為元，奶油的成本為元，草莓的成本為元．設(shè)抹茶味餅干2021年銷售量為包，則奶油的為包，草莓的為包，∴總成本為元．∵三款餅干的總利潤(rùn)率為90%，∴總銷售額為元．設(shè)抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價(jià)分別為r元、s元、t元．∵抹茶味、奶油味餅干單件利潤(rùn)之比為3：4，∴，整理得：．∵總銷售額為元，∴，即．將代入，得．∵抹茶味、奶油味餅干單件利潤(rùn)之比為3：4，即售賣奶油味餅干純?cè)诶麧?rùn)，又∵每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，∴，．當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，將，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，將，代入，得，解得：；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；當(dāng)時(shí)，代入，得，解得：；將，代入，得，解得：，不符合每款餅干售價(jià)均為正整數(shù)，舍；綜上可知，，．∴抹茶味、奶油味和草莓味餅干的單價(jià)和為元．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．?dāng)?shù)據(jù)處理較大，為困難題型．根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，列出不等式或等式是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江仙居·七年級(jí)期末）某楊梅經(jīng)銷商以每千克40元的價(jià)格分三批向果農(nóng)購(gòu)進(jìn)楊梅，均分揀成“特優(yōu)”和“普通”兩類銷售，分揀和包裝費(fèi)用為每千克6元．每批楊梅中最差的10%不能銷售，為損耗，其余楊梅均能售完．“特優(yōu)”楊梅售價(jià)是每千克110元，“普通”楊梅售價(jià)為每千克30元．（1）該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)的第一批楊梅為500千克，分揀出“特優(yōu)”楊梅150千克，則他獲得的利潤(rùn)是元；（2）該經(jīng)銷商購(gòu)進(jìn)的第二批楊梅為800千克，獲利4800元，求其中售出“特優(yōu)”和“普通”楊梅各多少千克？（3）該經(jīng)銷商希望自己第三批楊梅的銷售的利潤(rùn)率不少于35%，他收購(gòu)楊梅時(shí)要確保能分揀出“特優(yōu)”楊梅占收購(gòu)總量的百分比至少要達(dá)到多少（精確到1%）？（利潤(rùn)＝銷售收入﹣總成本，利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷總成本×100%）【答案】（1）2500；（2）售出“特優(yōu)”楊梅250千克，“普通”楊梅470千克；（3）44%【分析】（1）用總收入?成本?包裝費(fèi)即可求解；（2）設(shè)售出“特優(yōu)”楊梅x千克，“普通”楊梅y千克，根據(jù)購(gòu)進(jìn)的第二批楊梅為800千克，獲利4800元列出方程即可解答；（3）設(shè)收購(gòu)總量為m千克，“特優(yōu)”楊梅占收購(gòu)總量的百分比為a，根據(jù)第三批楊梅的銷售的利潤(rùn)率不少于35%列出不等式即可解答．【詳解】解：（1）110×150＋（500?150?500×10%）×30?6×500?40×500＝2500；故答案為：2500；（2）設(shè)售出“特優(yōu)”楊梅x千克，“普通”楊梅y千克，則解得；答：售出“特優(yōu)”楊梅250千克，“普通”楊梅470千克．（3）設(shè)收購(gòu)總量為m千克，“特優(yōu)”楊梅占收購(gòu)總量的百分比為a，則，解得a≥43.875%，即a≥44%．答：他收購(gòu)楊梅時(shí)要確保能分揀出“特優(yōu)”楊梅占收購(gòu)總量的百分比至少要達(dá)到44%．【點(diǎn)睛】本題已銷售為背景考查了一元一次不等式和二元一次方程組的知識(shí)，解題時(shí)找到等量關(guān)系和不等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，不等量關(guān)系列出不等式是解題的關(guān)鍵．9.（2022·河南長(zhǎng)垣·模擬預(yù)測(cè)）2021年元旦新冠病毒肆虐，為抗疫救災(zāi)，甲、乙兩運(yùn)輸隊(duì)接受了運(yùn)輸20000箱抗疫物資的任務(wù)，任務(wù)要求在11天之內(nèi)（包含11天）完成．已知兩隊(duì)共有18輛汽車，甲隊(duì)每輛車每天能夠運(yùn)輸120箱的抗疫物資，乙隊(duì)每輛車每天能夠運(yùn)輸100箱的抗疫物資，前4天兩隊(duì)一共運(yùn)輸了8000箱．(1)求甲、乙兩隊(duì)各有多少輛汽車；(2)4天后，甲隊(duì)另有緊急任務(wù)需要抽調(diào)車輛支援，在不影響工期的情況下，甲隊(duì)最多可以抽調(diào)多少輛汽車走？【答案】(1)甲隊(duì)有10輛汽車，乙隊(duì)有8輛汽車(2)甲隊(duì)最多可以抽調(diào)2輛汽車走【分析】（1）設(shè)甲隊(duì)有x輛汽車，乙隊(duì)有y輛汽車，根據(jù)題意得：，計(jì)算求解即可；（2）設(shè)甲隊(duì)可以抽調(diào)m輛汽車走，根據(jù)題意得：，求解最大的整數(shù)即可．【解析】(1)解：設(shè)甲隊(duì)有x輛汽車，乙隊(duì)有y輛汽車根據(jù)題意得：解得：∴甲隊(duì)有10輛汽車，乙隊(duì)有8輛汽車．(2)解：設(shè)甲隊(duì)可以抽調(diào)m輛汽車走根據(jù)題意得：解得：則m最大的整數(shù)是2∴甲隊(duì)最多可以抽調(diào)2輛汽車走．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于依據(jù)題意列正確的等式或不等式．10．（2022?柳南區(qū)校級(jí)期末）某服裝店老板到廠家選購(gòu)A、B兩種型號(hào)的服裝，如果購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝9件，B種型號(hào)服裝10件，就需要1810元；如果購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝12件，B種型號(hào)服裝8件，就需要1880元．問(wèn)題：（1）求A、B兩種型號(hào)的服裝每件分別為多少錢？（2）已知銷售1件A種型號(hào)服裝可獲利18元，銷售B種型號(hào)服裝可獲利30元．根據(jù)市場(chǎng)需求，服裝店老板的決定，購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝的數(shù)量要比B種型號(hào)服裝數(shù)量的2倍多4件，且A種型號(hào)服裝最多購(gòu)進(jìn)28件，這樣服裝全部售出后，可使總的獲利不少于732元．問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案？解：（1）設(shè)A種型號(hào)的服裝每件x元，B種型號(hào)的服裝每件y元，，解得，，即A種型號(hào)的服裝每件90元，B種型號(hào)的服裝每件100元；（2）設(shè)B型號(hào)x件，則A型號(hào)（2x+4）件，，解得，10≤x≤12故有三種進(jìn)貨方案：方案一：進(jìn)24件A型號(hào)，10件B型號(hào)；方案二：26件A型號(hào)，11件B型號(hào)；方案三：28件A型號(hào)，12件B型號(hào)．11．（2022?饒平縣校級(jí)期末）開(kāi)學(xué)之前，學(xué)?？倓?wù)部門安排新生宿舍，算了一筆細(xì)賬、如果每間宿舍住4個(gè)學(xué)生，那么還余20個(gè)人無(wú)處安身，如果每間住8個(gè)人，那么其中一間不滿也不空，其余各間全滿，試問(wèn)，共有多少位要住宿的新生？共為他們提供了多少間宿舍？解：設(shè)宿舍為x間，則有學(xué)生4x+20，，解得5＜x＜7，∵x是正整數(shù)，∴x＝6，而4x+20＝44．答：新生有44人，學(xué)校準(zhǔn)備了6間宿舍．12．（2022·湖南·八年級(jí)期末）為獎(jiǎng)勵(lì)在文藝匯演中表現(xiàn)突出的同學(xué)，班主任派小亮到文具店為獲獎(jiǎng)同學(xué)購(gòu)買獎(jiǎng)品．小亮發(fā)現(xiàn)，如果買1個(gè)筆記本和3支鋼筆，則需要18元；如果買2個(gè)筆記本和5支鋼筆，則需要31元．（1）求購(gòu)買每個(gè)筆記本和每支鋼筆各多少元？（2）班主任給小亮的班費(fèi)是100元，需要獎(jiǎng)勵(lì)的同學(xué)是24名（每人獎(jiǎng)勵(lì)一件獎(jiǎng)品），若購(gòu)買的鋼筆數(shù)不少于筆記本數(shù)，求小亮有哪幾種購(gòu)買方案？【答案】（1）設(shè)每個(gè)筆記本3元，每支鋼筆5元；（2）有三種購(gòu)買方案：①購(gòu)買筆記本10個(gè)，則購(gòu)買鋼筆14個(gè)；②購(gòu)買筆記本11個(gè)，則購(gòu)買鋼筆13個(gè)；③購(gòu)買筆記本12個(gè)，則購(gòu)買鋼筆12個(gè)．【分析】（1）每個(gè)筆記本x元，每支鋼筆y元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買筆記本m個(gè)，則購(gòu)買鋼筆(24-m)個(gè)利用總費(fèi)用不超過(guò)100元和鋼筆數(shù)不少于筆記本數(shù)列出不等式組求得m的取值范圍后即可確定方案．【詳解】解：（1）設(shè)每個(gè)筆記本x元，每支鋼筆y元依題意得：解得：答：設(shè)每個(gè)筆記本3元，每支鋼筆5元．（2）設(shè)購(gòu)買筆記本m個(gè)，則購(gòu)買鋼筆(24-m)個(gè)依題意得：解得：12≥m≥10∵m取正整數(shù)∴m＝10或11或12∴有三種購(gòu)買方案：①購(gòu)買筆記本10個(gè)，則購(gòu)買鋼筆14個(gè)．②購(gòu)買筆記本11個(gè)，則購(gòu)買鋼筆13個(gè)．③購(gòu)買筆記本12個(gè)，則購(gòu)買鋼筆12個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的分析題意并找到等量關(guān)系列方程或不等關(guān)系列不等式．13．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)）在重慶南開(kāi)中學(xué)建校85周年之際，學(xué)校舉行了隆重的慶?；顒?dòng)．為感謝參與活動(dòng)的師生，學(xué)校定制了水杯和手賬兩種紀(jì)念品，已知定制2個(gè)水杯和3本手賬共需180元，定制5個(gè)水杯和6本手賬共需420元．（1）定制一個(gè)水杯和一本手賬的單價(jià)各是多少元？（2）學(xué)校最終決定定制水杯和手賬的總數(shù)量為600件（其中水杯不超過(guò)300個(gè)），并委托商家進(jìn)行包裝，現(xiàn)有如下兩種方案：方案1：一個(gè)水杯的包裝費(fèi)為6元，一本手賬的包裝費(fèi)為1元，總費(fèi)用打8折；方案2：定制一個(gè)水杯，就贈(zèng)送一本手賬，并將一個(gè)水杯和一本手賬作為套裝進(jìn)行包裝，此種方案中每個(gè)套裝的包裝費(fèi)為4元，剩下需要單獨(dú)定制的單品每件包裝費(fèi)為2元．求定制水杯多少個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用相同？（總費(fèi)用=定制物品的總費(fèi)用+包裝總費(fèi)用）【答案】（1）定制一個(gè)水杯的單價(jià)為60元，一本手賬的單價(jià)為20元；（2）定制水杯195個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用．【分析】（1）設(shè)定制一個(gè)水杯的單價(jià)為x，一本手賬的單價(jià)為y，根據(jù)“定制2個(gè)水杯和3本手賬共需180元，定制5個(gè)水杯和6本手賬共需420元”，列二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)定制水杯的個(gè)數(shù)為m個(gè)，且m300，則手賬的個(gè)數(shù)為(600-m)個(gè)，分別求得方案1和方案2的總費(fèi)用，依題意解一元一次方程即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)定制一個(gè)水杯的單價(jià)為x元，一本手賬的單價(jià)為y元，依題意得：，解得：，答：定制一個(gè)水杯的單價(jià)為60元，一本手賬的單價(jià)為20元；（2）設(shè)定制水杯的個(gè)數(shù)為m個(gè)，且m300，則手賬的個(gè)數(shù)為(600-m)個(gè)，方案1：設(shè)總費(fèi)用為w1，則w1=；