2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之直線與方程（2024年9月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之直線與方程（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）已知直線l1：x+my+1＝0與直線l2：x+（1﹣2m）y﹣3＝0，則“m∈{1，﹣2}”是“l(fā)1⊥l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024?碑林區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）直線l1：x﹣y+1＝0與直線l2：2x﹣2y+3＝0的距離是（）A．24 B．22 C．2 D3．（2024?如東縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）若直線l：x=tan2π5的傾斜角為A．0 B．2π5 C．π2 4．（2023秋?青銅峽市校級(jí)期末）若直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的傾斜角為45°，則m的值為（）A．12 B．2 C．1 D．5．（2024?珠海模擬）過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2）且與直線x+2y+3＝0垂直的直線方程是（）A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y﹣3＝0 C．2x﹣y+4＝0 D．2x+y＝06．（2023秋?西寧期末）過(guò)點(diǎn)（﹣1，2）且與直線x﹣y﹣1＝0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝07．（2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末）已知直線l1：x+ay﹣1＝0與l2：2x﹣y+1＝0平行，則l1與l2的距離為（）A．15 B．55 C．35 8．（2023秋?新城區(qū)校級(jí)期末）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則直線l的方程為（）A．y=3x B．y=3x-2 C．y=二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?青秀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，﹣2），且l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則l的方程可能是（）A．x﹣y﹣2＝0 B．2x+y﹣6＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+4y+4＝0（多選）10．（2024秋?濱城區(qū)校級(jí)月考）下列四個(gè)選項(xiàng)中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率 B．直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則a＝﹣1 C．過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)（x1≠x2，y1≠y2）的所有直線的方程為y-yD．經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0．（多選）11．（2024秋?涉縣校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．直線xsinα+y+2＝0的傾斜角θ的取值范圍是[0，B．“a＝﹣1”是“直線a2x﹣y+1＝0與直線x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要條件 C．過(guò)點(diǎn)P（1，2）且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0 D．經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）的直線都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示（多選）12．（2023秋?南平期末）已知直線l1：4x﹣3y﹣3＝0，直線l2：（m+2）x﹣（m+1）y+m＝0（m∈R），則（）A．當(dāng)m＝﹣1時(shí)，l1⊥l2 B．當(dāng)m＝2時(shí)，l1∥l2 C．當(dāng)l1∥l2時(shí)，l1與1之間的距離為1 D．直線l2過(guò)定點(diǎn)（2，1）三．填空題（共4小題）13．（2024?湖南開(kāi)學(xué)）若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有2OA→-OC→=2cosα?OB→（14．（2024?如東縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）經(jīng)過(guò)兩條直線3x+y﹣5＝0與x﹣2y+3＝0的交點(diǎn)，且在y軸上的截距是x軸上的3倍的直線方程為．15．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知直線l：x+y﹣3＝0，點(diǎn)M（3，m）到直線l的距離等于2，則m＝．16．（2024秋?涉縣校級(jí)月考）過(guò)點(diǎn)P（3，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是．四．解答題（共4小題）17．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，2），B（4，﹣1），C（4，6）．求：（1）AC邊的中線所在直線l1的方程；（2）BC邊的中垂線所在的直線l2的方程．18．（2024?原陽(yáng)縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），且重心G的坐標(biāo)為(-（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．求△ABC的歐拉線的一般式方程．19．（2023秋?武漢期末）已知直線l1：x+ay﹣a＝0和直線l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．（1）若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若l1∥l2，求實(shí)數(shù)a的值．20．（2024?啟東市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），求：（1）BC邊上的高所在直線方程；（2）△ABC的外心坐標(biāo)；（3）△ABC的面積．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之直線與方程（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）已知直線l1：x+my+1＝0與直線l2：x+（1﹣2m）y﹣3＝0，則“m∈{1，﹣2}”是“l(fā)1⊥l2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；充分不必要條件的判斷．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由l1⊥l2，計(jì)算得m＝1或m=-【解答】解：因?yàn)閘1⊥l2，所以1+m（1﹣2m）＝0，解得m＝1或m=-所以“m∈{1，﹣2}”是“l(fā)1⊥l2”的既不充分也不必要條件．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?碑林區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）直線l1：x﹣y+1＝0與直線l2：2x﹣2y+3＝0的距離是（）A．24 B．22 C．2 D【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】將直線l1的方程化為2x﹣2y+2＝0，根據(jù)平行線間的距離公式，計(jì)算求解即可．【解答】解：直線l1：x﹣y+1＝0化為2x﹣2y+2＝0，又直線l2：2x﹣2y+3＝0，所以l1∥l2，所以直線l1與直線l2的距離是|3-2|2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024?如東縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）若直線l：x=tan2π5的傾斜角為A．0 B．2π5 C．π2 【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)直線的方程即可求解．【解答】解：因?yàn)閘：x=tan2π故直線的傾斜角為π2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角，是基礎(chǔ)題．4．（2023秋?青銅峽市校級(jí)期末）若直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，m），B（﹣m，2m﹣1）且l的傾斜角為45°，則m的值為（）A．12 B．2 C．1 D．【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角的定義得到關(guān)于m的方程，解出即可．【解答】解：由題意得：m-(2m-1)2-(-m)=1，解得：m故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的斜率，傾斜角問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．5．（2024?珠海模擬）過(guò)點(diǎn)P（﹣1，2）且與直線x+2y+3＝0垂直的直線方程是（）A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y﹣3＝0 C．2x﹣y+4＝0 D．2x+y＝0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由題意設(shè)所求的直線方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，即求出所求直線的方程．【解答】解：設(shè)與直線x+2y+3＝0的垂直的直線方程為：2x﹣y+a＝0，將點(diǎn)P（﹣1，2）代入可得﹣2﹣2+a＝0，解得a＝4，即2x﹣y+4＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查與已知直線垂直的直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023秋?西寧期末）過(guò)點(diǎn)（﹣1，2）且與直線x﹣y﹣1＝0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣3＝0 B．x﹣y+3＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由直線的垂直關(guān)系，設(shè)所求的直線的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得參數(shù)的值，即求出直線的方程．【解答】解：設(shè)與直線x﹣y﹣1＝0垂直的直線方程為x+y+a＝0，將點(diǎn)（﹣1，2）代入可得：﹣1+2+a＝0，解得a＝﹣1，即直線的方程為x+y﹣1＝0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條直線垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末）已知直線l1：x+ay﹣1＝0與l2：2x﹣y+1＝0平行，則l1與l2的距離為（）A．15 B．55 C．35 【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】直線l1：x+ay﹣1＝0與l2：2x﹣y+1＝0平行，即可得到a，然后利用平行線之間的距離公式求解即可．【解答】解：直線l1：x+ay﹣1＝0與l2：2x﹣y+1＝0平行，可得a=-則由兩平行直線的距離公式可得d=|-2-1|則l1與l2的距離為35故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平行直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023秋?新城區(qū)校級(jí)期末）已知直線l的傾斜角為60°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則直線l的方程為（）A．y=3x B．y=3x-2 C．y=【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可．【解答】解：由題意知：直線l的斜率為3，則直線l的方程為y=3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?青秀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，﹣2），且l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則l的方程可能是（）A．x﹣y﹣2＝0 B．2x+y﹣6＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+4y+4＝0【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】CD【分析】設(shè)直線l的方程y＝k（x﹣4）﹣2，分別求出直線在x軸與y軸上的截距，由三角形面積為2列方程求出k即可得直線l的方程．【解答】解：易知直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程y＝k（x﹣4）﹣2，令x＝0，得y＝﹣4k﹣2；令y＝0，得x=2故圍成的三角形面積為S=1化簡(jiǎn)可得4k2+3k+1＝0或4k2+5k+1＝0．對(duì)于方程4k2+3k+1＝0，Δ＝32﹣4×4×1＜0，故方程4k2+3k+1＝0無(wú)解．對(duì)于方程4k2+5k+1＝0，可得k＝﹣1或k=-故直線l的方程y＝﹣（x﹣4）﹣2或y=-即x+y﹣2＝0或x+4y+4＝0．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解和面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024秋?濱城區(qū)校級(jí)月考）下列四個(gè)選項(xiàng)中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率 B．直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則a＝﹣1 C．過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)（x1≠x2，y1≠y2）的所有直線的方程為y-yD．經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y﹣2＝0．【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系；直線的兩點(diǎn)式方程；直線的傾斜角；直線的斜率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】根據(jù)直線的傾斜角與斜率判斷A；根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，即可判斷B；根據(jù)兩點(diǎn)式方程判斷C；分截距都為0與都不為0兩種情況討論，即可判斷D．【解答】解：對(duì)于A：坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角，但是與y軸平行（重合）的直線的傾斜角為90°，斜率不存在，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)橹本€ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0互相平行，則a（a﹣1）＝2×1，解得a＝2或a＝﹣1，當(dāng)a＝2時(shí)直線ax+2y+6＝0與直線x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0重合，故舍去，當(dāng)a＝﹣1時(shí)直線﹣x+2y+6＝0與直線x﹣2y＝0平行，符合題意，綜上可得a＝﹣1，故B正確；對(duì)于C：過(guò)（x1，y1），（x2，y2）兩點(diǎn)（x1≠x2，y1≠y2）的所有直線的方程為y-y1y對(duì)于D：當(dāng)截距都為0時(shí)直線方程為y＝x，當(dāng)截距都不為0時(shí)，設(shè)直線方程為xa+ya=1(a≠0)，則1所以直線方程為x+y﹣2＝0，綜上可得滿足條件的直線方程為x﹣y＝0或x+y﹣2＝0，故D錯(cuò)誤．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的方程及直線的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024秋?涉縣校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．直線xsinα+y+2＝0的傾斜角θ的取值范圍是[0，B．“a＝﹣1”是“直線a2x﹣y+1＝0與直線x﹣ay﹣2＝0互相垂直”的充要條件 C．過(guò)點(diǎn)P（1，2）且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0 D．經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）的直線都可以用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；直線的兩點(diǎn)式方程；直線的傾斜角．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AD【分析】對(duì)于A：根據(jù)tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]可求傾斜角θ的取值范圍；對(duì)于B：根據(jù)兩直線垂直的條件求出a的值即可判斷；對(duì)于C：分截距是否為0兩種情況求解可判斷；對(duì)于D：對(duì)斜率為0、斜率不存在特殊情況討論可以確定所求直線均可用（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示．【解答】解：對(duì)于A：直線的傾斜角為θ，則tanθ＝﹣sinα∈[﹣1，1]，因?yàn)?≤θ＜π，所以θ∈[0，對(duì)于B：當(dāng)a＝﹣1時(shí)，直線x﹣y+1＝0與直線x+y﹣2＝0斜率分別為1，﹣1，斜率之積為﹣1，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線a2x﹣y+1＝0與直線x﹣ay﹣2＝0互相垂直“，則a2+a＝0，故a＝0或a＝﹣1，所以得不到a＝﹣1，故必要性不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，又直線過(guò)點(diǎn)P（1，2），所以可得k＝2，所以直線方程為y＝2x，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為xa+ya=1，又直線過(guò)點(diǎn)P所以可得a＝3，所以直線方程為x+y﹣3＝0，所以過(guò)點(diǎn)P（1，2）且在x軸，y軸截距相等的直線方程為x+y﹣3＝0或y＝2x，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）的直線，當(dāng)斜率等于0時(shí)，y1＝y(tǒng)2，x1≠x2，方程為y＝y(tǒng)1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，y1≠y2，x1＝x2，方程為x＝x1，能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，當(dāng)斜率不為0且斜率存在時(shí)，直線方程為y-y也能用方程（x2﹣x1）（y﹣y1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1）表示，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角、兩直線垂直的性質(zhì)和截距相等直線方程的計(jì)算，屬于中檔題．（多選）12．（2023秋?南平期末）已知直線l1：4x﹣3y﹣3＝0，直線l2：（m+2）x﹣（m+1）y+m＝0（m∈R），則（）A．當(dāng)m＝﹣1時(shí)，l1⊥l2 B．當(dāng)m＝2時(shí)，l1∥l2 C．當(dāng)l1∥l2時(shí)，l1與1之間的距離為1 D．直線l2過(guò)定點(diǎn)（2，1）【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；兩條平行直線間的距離；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BCD【分析】由已知把m＝﹣1代入，結(jié)合直線垂直的條件檢驗(yàn)選項(xiàng)A；把m＝2代入，結(jié)合直線平行的條件及兩平行線間的距離公式檢驗(yàn)選項(xiàng)B，C；結(jié)合直線系方程恒過(guò)定點(diǎn)檢驗(yàn)選項(xiàng)D．【解答】解：當(dāng)m＝﹣1時(shí)，直線l1：4x﹣3y﹣3＝0，直線l2：x﹣1＝0，此時(shí)兩直線不垂直，A錯(cuò)誤；當(dāng)m＝2時(shí)，直線l1：4x﹣3y﹣3＝0，直線l2：4x﹣3y+2＝0，此時(shí)兩直線平行，B正確；當(dāng)l1∥l2時(shí)，﹣4（m+1）＝﹣3（m+2），即m＝2，此時(shí)兩直線直線分別為l1：4x﹣3y﹣3＝0，直線l2：4x﹣3y+2＝0，則兩直線的距離為|2+3|42+3直線l2：（m+2）x﹣（m+1）y+m＝0可變形為m（x﹣y+1）+2x﹣y＝0，聯(lián)立x-y+1=02x-y=0，解得x＝1，y＝2，即直線l2過(guò)定點(diǎn)（1，2故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線平行及垂直條件的應(yīng)用，還考查了兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024?湖南開(kāi)學(xué)）若A，B，C三點(diǎn)共線，對(duì)任意一點(diǎn)O，有2OA→-OC→=2cosα?OB→（【考點(diǎn)】三點(diǎn)共線．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】π3【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線得到存在λ使得AB→=λCB→，故OA→【解答】解：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在λ使得AB→即OB→故OA→=(1-λ)OB(2-即(2λ-由于上式恒成立，故2λ+2cosα-2=02λ-1=0因?yàn)棣翞殇J角，所以α=π故答案為：π3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三點(diǎn)共線的應(yīng)用以及向量的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?如東縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）經(jīng)過(guò)兩條直線3x+y﹣5＝0與x﹣2y+3＝0的交點(diǎn)，且在y軸上的截距是x軸上的3倍的直線方程為2x﹣y＝0或3x+y﹣5＝0．【考點(diǎn)】直線的截距式方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2x﹣y＝0或3x+y﹣5＝0．【分析】解方程組3x+y-5=0x-2y+3=0，得x＝1，y＝2，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，2），當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)截距為a，則直線方程為【解答】解：解方程組3x+y-5=0x-2y+3=0，得x＝1，y當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0，），（1，2），直線方程為yx=21，即2x﹣當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)x軸上截距為a，則直線方程為xa+y3a=1，把（1，2）代入，得1∴直線方程為3x+y﹣5＝0．綜上，直線方程為2x﹣y＝0或3x+y﹣5＝0．故答案為：2x﹣y＝0或3x+y﹣5＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的求法，考查直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知直線l：x+y﹣3＝0，點(diǎn)M（3，m）到直線l的距離等于2，則m＝±2．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】±2．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，列式計(jì)算即得．【解答】解：直線l：x+y﹣3＝0，點(diǎn)M（3，m），由點(diǎn)到直線的距離公式可得：d=|3+m-3|所以m＝±2．故答案為：±2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024秋?涉縣校級(jí)月考）過(guò)點(diǎn)P（3，2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是2x﹣3y＝0或x﹣y﹣1＝0．【考點(diǎn)】直線的截距式方程．【專題】分類討論；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2x﹣3y＝0或x﹣y﹣1＝0．【分析】分直線的截距為0和不為0兩種情況討論，設(shè)直線的方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得直線的方程．【解答】解：當(dāng)直線的截距為0時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)P（3，2），則直線方程為y=23x，即2x﹣3y＝當(dāng)截距不為0時(shí)，由題意設(shè)直線的方程為xa+將點(diǎn)P（3，2）代入直線的方程可得：3a+2-a=1即直線的方程為x﹣y﹣1＝0．綜上所述：直線的方程為2x﹣3y＝0或x﹣y﹣1＝0．故答案為：2x﹣3y＝0或x﹣y﹣1＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的截距式方程的應(yīng)用，分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，2），B（4，﹣1），C（4，6）．求：（1）AC邊的中線所在直線l1的方程；（2）BC邊的中垂線所在的直線l2的方程．【考點(diǎn)】直線的點(diǎn)斜式方程；中點(diǎn)坐標(biāo)公式；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）5x+2y﹣18＝0；（2）2y﹣5＝0．【分析】（1）求出AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出kBD，再代入直線的點(diǎn)斜式方程，求出直線方程；（2）首先可知直線BC的方程，且線段BC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到BC邊的中垂線所在的直線的方程．【解答】解：（1）因?yàn)锳（0，2），B（4，﹣1），C（4，6），所以AC的中點(diǎn)D（2，4），所以kBD則AC邊的中線所在直線l1的方程為y-即5x+2y﹣18＝0；（2）因?yàn)橹本€BC的方程為x＝4，且線段BC的中點(diǎn)E(4，所以BC邊的中垂線所在的直線l2的方程為y=5即2y﹣5＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段的中點(diǎn)坐標(biāo)的求法及直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?原陽(yáng)縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知△ABC的頂點(diǎn)A（2，0），B（0，4），且重心G的坐標(biāo)為(-（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．求△ABC的歐拉線的一般式方程．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）C（﹣4，0）；（2）x﹣y+2＝0．【分析】（1）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)重心的坐標(biāo)公式可得；（2）設(shè)出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心在邊AC中垂線上，及到頂點(diǎn)距離相等列方程可得，再根據(jù)斜率與點(diǎn)斜式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)C（x，y），則由重心G的坐標(biāo)為(-則13解得x＝﹣4，y＝0，即C（﹣4，0），所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0）．（2）設(shè)△ABC的外心P（x，y），則由外心性質(zhì)可得P在AC的中垂線x＝﹣1上，即P（﹣1，y），由|PC|=(-1+4)2+y2，|PB|=(-1)2+則9+y2＝1+（y﹣4）2，即9+y2＝1+y2﹣8y+16，解得y＝1，即P（﹣1，1）．又G(-23故△ABC的歐拉線的方程為y﹣1＝x﹣（﹣1），即x﹣y+2＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，還考查了直線斜率公式，直線方程的求解，屬于中檔題．19．（2023秋?武漢期末）已知直線l1：x+ay﹣a＝0和直線l2：ax﹣（2a﹣3）y+a﹣2＝0．（1）若l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若l1∥l2，求實(shí)數(shù)a的值．【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式A1A2+B1B2＝0，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，A1B2＝A2B1，求解a，再代回直線驗(yàn)證．【解答】解：（1）若l1⊥l2，則1×a+a×[﹣（2a﹣3）]＝0，解得a＝0或2；（2）若l1∥l2，則∴a2＝﹣2a+3，解得a＝﹣3或1．a(chǎn)＝﹣3時(shí)，l1：x﹣3y+3＝0，l2：3x﹣9y+5＝0，滿足l1∥l2，a＝1時(shí)，l1：x+y﹣1＝0，l2：x+y﹣1＝0，此時(shí)l1與l2重合，所以a＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線平行與垂直的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?啟東市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），求：（1）BC邊上的高所在直線方程；（2）△ABC的外心坐標(biāo)；（3）△ABC的面積．【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系；直線的點(diǎn)斜式方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）4x+y﹣7＝0；（2）(910，910【分析】（1）首先求出直線BC的斜率，由互相垂直的直線間斜率關(guān)系得出BC邊上的高線的斜率，由高線過(guò)A（1，3），得出BC邊上的高所在直線方程；（2）分別求出邊AB，BC的垂直平分線，聯(lián)立即可得出△ABC的外心坐標(biāo)；（3）先寫(xiě)出直線BC的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得出點(diǎn)A到直線BC的距離，再由兩點(diǎn)之間的距離公式求出邊BC的長(zhǎng)，三角形面積．【解答】解：（1）由B（3，1），C（﹣1，0）得，kBC所以BC邊上的高線的斜率為k＝﹣4，且高線過(guò)點(diǎn)A（1，3），所以BC邊上的高線的直線方程為：y﹣3＝﹣4（x﹣1），即4x+y﹣7＝0．（2）由A（1，3），B（3，1）得，kAB＝﹣1，邊AB的中點(diǎn)為(1+32，3+12所以邊AB的垂直平分線的直線方程為：y﹣2＝x﹣2，即y＝x；由B（3，1），C（﹣1，0），得kBC=14，邊所以邊BC的垂直平分線的直線方程為：y-12由y=xy=-4x+92所以△ABC的外心坐標(biāo)為(9（3）由（1）知，kBC=14，則直線BC的方程為：y=14(x+1)，即x邊BC上的高為：d=|1-4×3+1||BC|=(3+1所以S△ABC【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．充分不必要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件Q成立時(shí)，條件P不一定成立．用符號(hào)表示為P?Q，但Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表明某個(gè)條件足以保證結(jié)果成立，但不是唯一條件．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充分不必要條件，可以先驗(yàn)證P?Q，然后找反例驗(yàn)證Q成立但P不成立．舉反例是關(guān)鍵步驟，找到一個(gè)Q成立但P不成立的例子即可證明P不是Q的必要條件．例如，可以通過(guò)幾何圖形性質(zhì)驗(yàn)證某些充分不必要條件．【命題方向】充分不必要條件的命題方向包括幾何圖形的特殊性質(zhì)、函數(shù)的特定性質(zhì)等．已知命題p：x2﹣4x+3＜0，那么命題p成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，則1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要條件．故選：BD．2．直線的傾斜角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線l的傾斜角為0°）3．意義：體現(xiàn)了直線對(duì)x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫(huà)直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫(huà)直線的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)a≠π2時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，π2）時(shí)，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（π2，π）時(shí)，k＜0且tanα隨【解題方法點(diǎn)撥】直線的傾斜角常結(jié)合直線的斜率進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題．【命題方向】（1）直接根據(jù)直線斜率求傾斜角例：直線3x+y﹣1＝0的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直線的斜率，然后求解直線的傾斜角即可．解答：因?yàn)橹本€3x+y﹣1＝0的斜率為：-3直線的傾斜角為：α．所以tanα=-α＝120°故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，基本知識(shí)的應(yīng)用．（2）通過(guò)條件轉(zhuǎn)換求直線傾斜角例：若直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，則直線AB的傾斜角為（）A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，能求出直線AB的斜率，從而能求出直線AB的傾斜角．解答：∵直線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（3，4）兩點(diǎn)，∴直線AB的斜率k=4-13-0∴直線AB的傾斜角α＝45°．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的傾斜角的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．3．直線的斜率【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)直線傾斜角α≠π2時(shí)，其傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定義：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫(huà)直線的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫(huà)直線的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)α≠π2時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，π2）時(shí)，k＞0且隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（π2，π）時(shí)，k＜0且隨【解題方法點(diǎn)撥】直線的斜率常結(jié)合直線的傾斜角進(jìn)行考查．直線傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題．【命題方向】（1）已知傾斜角范圍求斜率的范圍；（2）已知斜率求傾斜角的問(wèn)題．（3）斜率在數(shù)形結(jié)合中的應(yīng)用．4．三點(diǎn)共線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三點(diǎn)共線字面意思就很明確了，即三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上．那么三點(diǎn)共線會(huì)有什么樣的性質(zhì)呢？如何判斷三點(diǎn)共線呢？這里面常用的方法有兩種：①這三點(diǎn)任意兩點(diǎn)所確定的斜率相同；②向量法．【解題方法點(diǎn)撥】例：若A（0，8），B（5，m），C（6，2）三點(diǎn)共線，則m＝3解：∵A（0，8），B（5，m），C（6，2）三點(diǎn)共線，∴kAB＝kAC，即m-85-0解得m＝3．這是孤立的考查三點(diǎn)共線的題，應(yīng)該說(shuō)屬于單元測(cè)試題．這個(gè)例題的入口就是利用了三點(diǎn)共線中任意兩點(diǎn)的斜率相等的特點(diǎn)，這也是我們要掌握的最實(shí)用最普遍的一個(gè)技巧．【命題方向】這個(gè)考點(diǎn)內(nèi)容比較簡(jiǎn)單，稍微看一下理應(yīng)都能掌握，唯一注意的就是計(jì)算的時(shí)候要認(rèn)真、仔細(xì)．5．兩條直線平行與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)芍本€平行與傾斜角、斜率的關(guān)系：①如果兩條直線的斜率存在，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則有：兩直線平行?傾斜角α1＝α2?斜率k1＝k2②如果兩條直線的斜率都不存在，那么這兩條直線的傾斜角都為90°，這兩條直線平行．6．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】在同一個(gè)平面中，直線的關(guān)系可能是相交、平行、重合；這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中我們探討的是相交直線的一個(gè)特例，直線垂直．顧名思義，直線垂直就是兩條直線的夾角為90°．兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系：①當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，這兩條直線互相垂直；②當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為k1，k2，若兩條直線互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，若兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直．l1⊥l2?k2=-1k1?k1?k【解題方法點(diǎn)撥】例：設(shè)A、B為x軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x﹣2y+1＝0，則直線PB的方程是．解：根據(jù)|PA|＝|PB|得到點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線上，根據(jù)x﹣2y+1＝0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），由P的橫坐標(biāo)是2代入x﹣2y+1＝0求得縱坐標(biāo)為32，則P（2，32），P在x軸上的投影為Q（2，0），又因?yàn)镼為A與B的中點(diǎn)，所以得到B（5，0），所以直線PB的方程為：y﹣0=32-02-5（x﹣5）化簡(jiǎn)后為x故答案為：x+2y﹣5＝0．7．直線的點(diǎn)斜式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)P（x，y）是直線l上不同于P0的任意一點(diǎn)．方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直線上一點(diǎn)和直線的斜率確定的，所以叫做直線的點(diǎn)斜式方程．8．直線的兩點(diǎn)式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線的兩點(diǎn)式方程：經(jīng)過(guò)直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直線方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式．y-y1y2-y1=x-x1x2#注意：兩點(diǎn)式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直的直線．特別地：①當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線l的方程為x＝x1；②當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線l的方程為y＝y(tǒng)1．9．直線的截距式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線的截距式方程：若直線l與x軸交點(diǎn)為（a，0），與y軸交點(diǎn)為（0，b），其中a≠0，b≠0，a為直線l在x軸上的截距，b為直線l在y軸上的截距，由兩點(diǎn)式：y-0b-0=x-a#注意：斜截式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)原點(diǎn)的直線．10．中點(diǎn)坐標(biāo)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：x=x2、△ABC的重心坐標(biāo)公式：x=x11．直線的一般式方程與直線的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線方程表示的是只有一個(gè)自變量，自變量的次數(shù)為一次，且因變量隨著自變量的變化而變化．直線的一般方程的表達(dá)式是ay+bx+c＝0．1、兩條直線平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y=-ABx-CB，表示斜率為-（2）與直線l：Ax+By+C＝0平行的直線，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線Ax+By+C＝0垂直的直線，可設(shè)所求